TD n˚4 : Quelques équations différentielles linéaires

TD n˚4 : Quelques équations différentielles linéaires
Exercice 1 : sans complication
Résoudre sur R les équations différentielles suivantes :
1. y 0 + 2y = x2
2. y 0 + 2xy = 2x (solution particulière évidente !)
3. (1 + exp(x))y 0 + exp(x)y = 1 + exp(x)
4. (x2 + 1)y 0 + 2xy + 1 = 0
Exercice 2 : avec recollement
Résoudre sur R les équations différentielles suivantes :
1. xy 0 − y = x2
2. x2 y 0 + y = 1 (solution particulière évidente !)
Attention, les théorèmes d’existence et de structure du cours ne valent que sur les intervalles où le terme
devant y 0 ne s’annule pas ! Ensuite il faut "recoller" à la main les solutions obtenues de part et d’autre
en s’assurant la continuité et la dérivabilité aux points problématiques.
Exercice 3 : à l’envers
n
De quelle é. d. linéaire du premier ordre les fonctions f (x) =
C+x
1+x2 , C
o
∈ R sont-elles les solutions ?
Exercice 4 : entracte
Déterminer les fonctions f : [0, 1] → R dérivables telles que f 0 (x) + f (x) = f (0) + f (1).
Exercice 5 : exponentielle de matrices et é.d. à coefficients constants
On introduit l’exponentielle de matrices et on en donne quelques propriétés :
P∞
k
Definition. Si M ∈ Mn (R), on appelle exp(M ) = eM = k=0 Mk! l’exponentielle de la matrice M .
Proposition.
• La somme définissant l’exponentielle est bien définie dans Mn (R).
• Si A et B sont deux matrices carrées qui commutent (c’est-à-dire AB = BA), alors exp(A + B) =
exp(A) exp(B) = exp(B) exp(A). Par conséquent, pour toute matrice M , exp(M ) est inversible,
d’inverse exp(−M ).
• Une matrice commute avec son exponentielle : AeA = eA A.
1. Si M est une matrice carrée, on note f : R → Mn (R) l’application f (t) = exp(tM ). En admettant
que f est dérivable et qu’on peut dériver la somme définissant f terme à terme, montrer que
f 0 (t) = M f (t).
2. Soient a1 , · · · an n réels et b : I → R une application continue. On cherche les solutions n fois
dérivables sur I de l’équation différentielle suivante, notée (E) :
f (n) (t) + a1 f (n−1) (t) + · · · + an f (t) = b(t).
1



En notant X(t) = 


f (t)
f 0 (t)
..
.


, déterminer la matrice A de Mn (R) et la fonction B : I → Rn

f (n−1) (t)
telles que :
f vérifie (E) ⇐⇒ X 0 (t) + AX(t) = B(t).
On note l’équation différentielle de droite (E 0 ).
3. Soit t0 ∈ R. Montrer que :
X 0 (t) + AX(t) = 0 pour tout t ∈ R ⇐⇒ X(t) = e(t0 −t)A X(t0 ) pour tout t ∈ R.
Pourquoi l’ensemble des solutions de l’équation homogène décrite ici est-il de dimension n ? Donner
une base de cet ensemble.
4. Montrer que X : I → Rn vérifie (E 0 ) si et seulement si quelque soit t0 dans I :
Z t
e(u−t)A B(u)du.
X(t) = e(t0 −t)A X(t0 ) +
t0
5. Constater que l’ensemble des solutions de (E) est un espace affine de dimension n.
Exercice 6 : équations différentielles accessibles d’ordre deux
1. Résolution de l’équation homogène y 00 + ay 0 + by = 0 sur R, où a et b sont des réels.
Vérifier que si r est une racine réelle du polynôme r2 + ar + b = 0, y(t) = ert est solution de
l’équation. Montrer que si r est une racine double du polynôme r2 + ar + b = 0, alors y(t) = tert
est solution de l’équation. Conclure dans le cas où b2 − 4ac est positif ou nul.
2. Résolution de l’équation homogène y 00 + w2 y = 0, où w est un réel.
Comme précédemment, vérifier que les applications à valeurs complexes y(t) = eiwt et ȳ(t) = e−iwt
sont solutions de l’équation. En déduire l’ensemble des solutions à valeurs réelles.
3. Résoudre y 00 + 4y = 4x en remarquant l’existence d’une solution particulière simple.
Exercice 7 : lemme de Gronwall
1. Soient y, φ et ψ trois fonctions continues et positives sur un intervalle I = [a, b]. Montrer que si
Z t
y(t) ≤ φ(t) +
y(s)ψ(s)ds pour tout t ∈ I
a
alors :
Z
y(t) ≤ φ(t) +
t
Z
φ(s)ψ(s) exp
a
t
ψ(u)du ds pour tout t ∈ I.
s
Rt
On pourra par exemple dériver la fonction f : t 7→ e− a ψ(s)ds
intégrer le résultat, puis réutiliser l’hypothèse pour conclure.
Rt
a
ψ(s)y(s)ds, utiliser l’hypothèse,
2. En utilisant ce qui précède avec une fonction φ bien choisie, montrer que si c est une constante
positive telle que
Z t
y(t) ≤ c +
y(s)ψ(s)ds pour tout t ∈ I,
a
alors :
Z
y(t) ≤ c exp
t
ψ(s)ds pour tout t ∈ I.
a
3. En déduire que si y1 et y2 sont deux solutions de l’équation différentielle y 0 (t)−u(t)y(t) = v(t), où u
Rt
et v sont des fonctions continues sur I = [a, b], alors |y1 (t) − y2 (t)| ≤ |y1 (a) − y2 (a)| exp a |u(s)|ds
pour tout t dans I.
2