TD n˚4 : Quelques équations différentielles linéaires

TD n˚4 : Quelques équations différentielles linéaires
Exercice 1 : sans complication
Résoudre sur Rles équations différentielles suivantes :
1. y0+ 2y=x2
2. y0+ 2xy = 2x(solution particulière évidente !)
3. (1 + exp(x))y0+ exp(x)y= 1 + exp(x)
4. (x2+ 1)y0+ 2xy + 1 = 0
Exercice 2 : avec recollement
Résoudre sur Rles équations différentielles suivantes :
1. xy0−y=x2
2. x2y0+y= 1 (solution particulière évidente !)
Attention, les théorèmes d’existence et de structure du cours ne valent que sur les intervalles où le terme
devant y0ne s’annule pas ! Ensuite il faut "recoller" à la main les solutions obtenues de part et d’autre
en s’assurant la continuité et la dérivabilité aux points problématiques.
Exercice 3 : à l’envers
De quelle é. d. linéaire du premier ordre les fonctions nf(x) = C+x
1+x2, C ∈Rosont-elles les solutions ?
Exercice 4 : entracte
Déterminer les fonctions f: [0,1] →Rdérivables telles que f0(x) + f(x) = f(0) + f(1).
Exercice 5 : exponentielle de matrices et é.d. à coefficients constants
On introduit l’exponentielle de matrices et on en donne quelques propriétés :
Definition. Si M∈Mn(R), on appelle exp(M) = eM=P∞
k=0
Mk
k!l’exponentielle de la matrice M.
Proposition. •La somme définissant l’exponentielle est bien définie dans Mn(R).
•Si Aet Bsont deux matrices carrées qui commutent (c’est-à-dire AB =BA), alors exp(A+B) =
exp(A) exp(B) = exp(B) exp(A). Par conséquent, pour toute matrice M,exp(M)est inversible,
d’inverse exp(−M).
•Une matrice commute avec son exponentielle : AeA=eAA.
1. Si Mest une matrice carrée, on note f:R→Mn(R)l’application f(t) = exp(tM ). En admettant
que fest dérivable et qu’on peut dériver la somme définissant fterme à terme, montrer que
f0(t) = Mf(t).
2. Soient a1,· · · annréels et b:I→Rune application continue. On cherche les solutions nfois
dérivables sur Ide l’équation différentielle suivante, notée (E):
f(n)(t) + a1f(n−1)(t) + · · · +anf(t) = b(t).
1

En notant X(t) = 
f(t)
f0(t)
.
.
.
f(n−1)(t)
, déterminer la matrice Ade Mn(R)et la fonction B:I→Rn
telles que :
fvérifie (E)⇐⇒ X0(t) + AX(t) = B(t).
On note l’équation différentielle de droite (E0).
3. Soit t0∈R. Montrer que :
X0(t) + AX(t)=0pour tout t∈R⇐⇒ X(t) = e(t0−t)AX(t0)pour tout t∈R.
Pourquoi l’ensemble des solutions de l’équation homogène décrite ici est-il de dimension n? Donner
une base de cet ensemble.
4. Montrer que X:I→Rnvérifie (E0)si et seulement si quelque soit t0dans I:
X(t) = e(t0−t)AX(t0) + Zt
t0
e(u−t)AB(u)du.
5. Constater que l’ensemble des solutions de (E)est un espace affine de dimension n.
Exercice 6 : équations différentielles accessibles d’ordre deux
1. Résolution de l’équation homogène y00 +ay0+by = 0 sur R, où aet bsont des réels.
Vérifier que si rest une racine réelle du polynôme r2+ar +b= 0,y(t) = ert est solution de
l’équation. Montrer que si rest une racine double du polynôme r2+ar +b= 0, alors y(t) = tert
est solution de l’équation. Conclure dans le cas où b2−4ac est positif ou nul.
2. Résolution de l’équation homogène y00 +w2y= 0, où west un réel.
Comme précédemment, vérifier que les applications à valeurs complexes y(t) = eiwt et ¯y(t) = e−iwt
sont solutions de l’équation. En déduire l’ensemble des solutions à valeurs réelles.
3. Résoudre y00 + 4y= 4xen remarquant l’existence d’une solution particulière simple.
Exercice 7 : lemme de Gronwall
1. Soient y,φet ψtrois fonctions continues et positives sur un intervalle I= [a, b]. Montrer que si
y(t)≤φ(t) + Zt
a
y(s)ψ(s)ds pour tout t∈I
alors :
y(t)≤φ(t) + Zt
a
φ(s)ψ(s) exp Zt
s
ψ(u)duds pour tout t∈I.
On pourra par exemple dériver la fonction f:t7→ e−Rt
aψ(s)ds Rt
aψ(s)y(s)ds, utiliser l’hypothèse,
intégrer le résultat, puis réutiliser l’hypothèse pour conclure.
2. En utilisant ce qui précède avec une fonction φbien choisie, montrer que si cest une constante
positive telle que
y(t)≤c+Zt
a
y(s)ψ(s)ds pour tout t∈I,
alors :
y(t)≤cexp Zt
a
ψ(s)dspour tout t∈I.
3. En déduire que si y1et y2sont deux solutions de l’équation différentielle y0(t)−u(t)y(t) = v(t), où u
et vsont des fonctions continues sur I= [a, b], alors |y1(t)−y2(t)|≤|y1(a)−y2(a)|exp Rt
a|u(s)|ds
pour tout tdans I.
2