P2_Q_II.1 Chaine diatomique : relation de dispersion Le principe de mise en équation est identique à la chaine monoatomique. Du fait de l’existence de 2 masses distinctes, il est nécessaire de différencie les masses paires et les masses impaires. On va donc devoir résoudre un problème de 2 équations différentielles couplées. 𝑀𝑀 𝑚𝑚 𝑑𝑑2 (𝑢𝑢2𝑛𝑛 ) = 𝛽𝛽 [ (𝑢𝑢2𝑛𝑛+1 − 2𝑢𝑢2𝑛𝑛 − 𝑢𝑢2𝑛𝑛−1 )] 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑑𝑑2 (𝑢𝑢2𝑛𝑛+1 ) = 𝛽𝛽 [ (𝑢𝑢2𝑛𝑛+2 − 2𝑢𝑢2𝑛𝑛+1 − 𝑢𝑢2𝑛𝑛 )] 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 Les principes à connaitre et maitriser : • • la manipulation des exponentielles complexes et les formules de trigo ! comme pour la question I.3 le principe de résolution de système d’équations à 2nd membre nul (ici seulement 2 c’est facile !) : utilisation du déterminant ; sinon plus généralement c’est un problème de vecteurs/valeurs propres. On va s’inspirer des solutions trouvées précédemment et rechercher u 2n et u 2n+1 sous la forme sinusoïdale, de même pulsation, mais d’amplitude différente. u 2n = A exp j(ωt – kx 2n ) = A exp j(ωt – k 2na) u 2n+1 = B exp j(ωt – kx 2n+1 ) = B exp j(ωt – k(2n+1)a) On injecte ces formes de solutions dans les 2 équations du mouvement et on combine les termes pour obtenir le système d’équations suivant : 𝐴𝐴 (2𝛽𝛽 − 𝑀𝑀𝜔𝜔2 ) − 2𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0 � −2𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝐵𝐵(2𝛽𝛽 − 𝑚𝑚𝜔𝜔2 ) = 0 Ce système a 2 inconnues A et B. Il admet des solutions non triviales (ie non nulles) à la condition que son déterminant soit nul, ce qui pose des conditions sur ω (2𝛽𝛽 − 𝑀𝑀𝜔𝜔2 )(2𝛽𝛽 − 𝑚𝑚𝜔𝜔2 ) − 4𝛽𝛽 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑘𝑘𝑘𝑘) = 0 Plus généralement on aurait pu écrire le problème aux vecteurs/valeurs propres sous la forme matricielle 𝐴𝐴 ([Μ] + 𝜔𝜔2 [Ι]) � � = 0 𝐵𝐵 On cherche les solutions de l’équation en ω4 : (𝜔𝜔4 ) − �2𝛽𝛽 • • • 09.04.20 𝑀𝑀+𝑚𝑚 2 𝜔𝜔 � + 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝛽𝛽 2 4 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝑘𝑘𝑘𝑘) = 0 on peut montrer que le discriminant est positif, donc qu’il existe des solutions réelles on écrit ces solutions en ω2 on extrait les 2 racines positives qui donnent 2 valeurs possibles de ω : ce sont les valeurs propres du système 𝛽𝛽 1/2 𝜔𝜔 ± = � �(𝑀𝑀 + 𝑚𝑚) ± [(𝑀𝑀 + 𝑚𝑚)2 − 4𝑀𝑀𝑀𝑀𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝑘𝑘𝑘𝑘)]1/2 � 𝑀𝑀𝑀𝑀 21.04.20 1/2 Résultats importants : o pour une valeur de k, il existe donc 2 pulsations susceptibles de se propager dans la chaine diatomique. Il y a 2 relations de dispersion distinctes, 2 branches dans le schéma de dispersion o la zone d’intérêt est limitée par sin(ka) donc à un intervalle réduit compris entre 0 et π/2 09.04.20 21.04.20 2/2
