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P2_Q_II.1
Chaine diatomique : relation de dispersion
Le principe de mise en équation est identique à la chaine monoatomique. Du fait de l’existence de 2 masses distinctes,
il est nécessaire de différencie les masses paires et les masses impaires. On va donc devoir résoudre un problème de
2 équations différentielles couplées.
()
= [ (2)]
()
= [ (2)]
Les principes à connaitre et maitriser :
• la manipulation des exponentielles complexes et les formules de trigo ! comme pour la question I.3
• le principe de résolution de système d’équations à 2nd membre nul (ici seulement 2 c’est facile !) : utilisation
du déterminant ; sinon plus généralement c’est un problème de vecteurs/valeurs propres.
On va s’inspirer des solutions trouvées précédemment et rechercher u2n et u2n+1 sous la forme sinusoïdale, de même
pulsation, mais d’amplitude différente.
u2n = A exp j(ωt – kx2n) = A exp j(ωt – k 2na)
u2n+1 = B exp j(ωt – kx2n+1) = B exp j(ωt – k(2n+1)a)
On injecte ces formes de solutions dans les 2 équations du mouvement et on combine les termes pour obtenir le
système d’équations suivant :
(2)2 = 0
2 +(2)= 0
Ce système a 2 inconnues A et B. Il admet des solutions non triviales (ie non nulles) à la condition que son déterminant
soit nul, ce qui pose des conditions sur ω
(2)(2)4()= 0
Plus généralement on aurait pu écrire le problème aux vecteurs/valeurs propres sous la forme matricielle
([]+ [])
= 0
On cherche les solutions de l’équation en ω4 : () 2
+ 4
()= 0
• on peut montrer que le discriminant est positif, donc qu’il existe des solutions réelles
• on écrit ces solutions en ω2
• on extrait les 2 racines positives qui donnent 2 valeurs possibles de ω : ce sont les valeurs propres du système
±=
(+)±[(+)4()]//
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Résultats importants :
o pour une valeur de k, il existe donc 2 pulsations susceptibles de se propager dans la chaine diatomique. Il
y a 2 relations de dispersion distinctes, 2 branches dans le schéma de dispersion
o la zone d’intérêt est limitée par sin(ka) donc à un intervalle réduit compris entre 0 et π/2
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/
2
100%
