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REP P2 Q II.1

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P2_Q_II.1
Chaine diatomique : relation de dispersion
Le principe de mise en équation est identique à la chaine monoatomique. Du fait de l’existence de 2 masses distinctes,
il est nécessaire de différencie les masses paires et les masses impaires. On va donc devoir résoudre un problème de
2 équations différentielles couplées.
𝑀𝑀
𝑚𝑚
𝑑𝑑2 (𝑢𝑢2𝑛𝑛 )
= 𝛽𝛽 [ (𝑢𝑢2𝑛𝑛+1 − 2𝑢𝑢2𝑛𝑛 − 𝑢𝑢2𝑛𝑛−1 )]
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
𝑑𝑑2 (𝑢𝑢2𝑛𝑛+1 )
= 𝛽𝛽 [ (𝑢𝑢2𝑛𝑛+2 − 2𝑢𝑢2𝑛𝑛+1 − 𝑢𝑢2𝑛𝑛 )]
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
Les principes à connaitre et maitriser :
•
•
la manipulation des exponentielles complexes et les formules de trigo ! comme pour la question I.3
le principe de résolution de système d’équations à 2nd membre nul (ici seulement 2 c’est facile !) : utilisation
du déterminant ; sinon plus généralement c’est un problème de vecteurs/valeurs propres.
On va s’inspirer des solutions trouvées précédemment et rechercher u 2n et u 2n+1 sous la forme sinusoïdale, de même
pulsation, mais d’amplitude différente.
u 2n = A exp j(ωt – kx 2n ) = A exp j(ωt – k 2na)
u 2n+1 = B exp j(ωt – kx 2n+1 ) = B exp j(ωt – k(2n+1)a)
On injecte ces formes de solutions dans les 2 équations du mouvement et on combine les termes pour obtenir le
système d’équations suivant :
𝐴𝐴 (2𝛽𝛽 − 𝑀𝑀𝜔𝜔2 ) − 2𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0
�
−2𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝐵𝐵(2𝛽𝛽 − 𝑚𝑚𝜔𝜔2 ) = 0
Ce système a 2 inconnues A et B. Il admet des solutions non triviales (ie non nulles) à la condition que son déterminant
soit nul, ce qui pose des conditions sur ω
(2𝛽𝛽 − 𝑀𝑀𝜔𝜔2 )(2𝛽𝛽 − 𝑚𝑚𝜔𝜔2 ) − 4𝛽𝛽 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑘𝑘𝑘𝑘) = 0
Plus généralement on aurait pu écrire le problème aux vecteurs/valeurs propres sous la forme matricielle
𝐴𝐴
([Μ] + 𝜔𝜔2 [Ι]) � � = 0
𝐵𝐵
On cherche les solutions de l’équation en ω4 : (𝜔𝜔4 ) − �2𝛽𝛽
•
•
•
09.04.20
𝑀𝑀+𝑚𝑚 2
𝜔𝜔 � +
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝛽𝛽 2
4 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝑘𝑘𝑘𝑘) = 0
on peut montrer que le discriminant est positif, donc qu’il existe des solutions réelles
on écrit ces solutions en ω2
on extrait les 2 racines positives qui donnent 2 valeurs possibles de ω : ce sont les valeurs propres du système
𝛽𝛽
1/2
𝜔𝜔 ± = �
�(𝑀𝑀 + 𝑚𝑚) ± [(𝑀𝑀 + 𝑚𝑚)2 − 4𝑀𝑀𝑀𝑀𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝑘𝑘𝑘𝑘)]1/2 �
𝑀𝑀𝑀𝑀
21.04.20
1/2
 Résultats importants :
o pour une valeur de k, il existe donc 2 pulsations susceptibles de se propager dans la chaine diatomique. Il
y a 2 relations de dispersion distinctes, 2 branches dans le schéma de dispersion
o la zone d’intérêt est limitée par sin(ka) donc à un intervalle réduit compris entre 0 et π/2
09.04.20
21.04.20
2/2
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