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Université François Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Examen final
UE 6-3 Algèbre
Semestre 6
L’épreuve dure 2h. Les exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction.
Toute affirmation doit être justifiée sauf mention contraire.
Exercice 1. (2 points)
Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimension respective n et p. On désigne par E ∗ le dual de E et
par F ∗ le dual de F . Soit (f1 , . . . , fp ) une base de F et soit (f1∗ , . . . , fp∗ ) sa base duale. Soient v ∈ L(E)
et u ∈ L(E, F ). On désigne par t u l’application transposée de u. Dans chacune des relations suivantes,
indiquer en mettant un indice de quel zéro il s’agit. On notera par exemple 0K le zéro de K, 0F ∗ le zéro de
F ∗ etc. . .
1) Si fi∗ ◦ u = 0 pour tout i alors u = 0.
2) Si fi∗ (u(x)) = 0 pour tout i et pour tout x ∈ E alors u = 0.
3) Si Im(u) ⊂ ker(v) alors u ◦ v = 0.
4) Soit P ∈ K[X] un polynôme annulateur de v. Alors si λ est une valeur propre de v, P (λ) = 0.
5) Pour tout f ∈ ker(t u), on a t u(f ) = 0.
6) t u(0) = 0.
Exercice 2. (7 × 2 points)
1) (a) Donner, sans justifier, les polynômes irréductibles de R[X].
(b) Donner, sans justifier, les polynômes irréductibles de C[X].
(c) Factoriser X 4 − 1 en produit d’irréductibles sur C puis sur R.
(d) Quel est la factorisation de X 4 − 1 sur Q ?
2) Soient ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 trois formes linéaires de K2 [X] définies par
ϕ1 (P ) = P (1),
ϕ2 (P ) = P 0 (1)
Z
et
ϕ3 (P ) =
1
P (t)dt.
0
Montrer que la famille (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) est une base de (K2 [X])∗ et déterminer sa base préduale.
3) Soient (a0 , . . . , an ) une famille d’éléments distincts de K. Pour tout i, soit fi la forme linéaire définie
par fi (P ) = P (ai ).
(a) Montrer que (f0 , . . . , fn ) est une base de (Kn [X])∗ .
(b) Déterminer la base préduale de (f0 , . . . , fn ).
4) (a) Justifier que le polynôme X 2 + X + 1 est irréductible sur F2 [X].
(b) Construire un corps à quatre éléments et déterminer sa table d’addition et de multiplication.
5) Soit p ∈ L(E) tel que p ◦ p = p.
(a) Énoncer le lemme des noyaux.
(b) Montrer que p est diagonalisable.
(c) Soit (e1 , . . . , ep ) une base de ker(p) et (ep+1 , . . . , en ) une base de Im(p). Justifier que (e1 , . . . , en )
est une base de E et déterminer la matrice de p dans cette base.
6) Déterminer une matrice de M3 (R) ayant pour polynôme minimal (X − 1)(X + 1) et une matrice
M3 (R) ayant pour polynôme minimal (X − 1)(X + 1)2 .
7) Soit u un endomorphisme nilpotent de E d’indice r ∈ N et soit x ∈ E tel que ur−1 (x) 6= 0.
(a) Montrer que F := (x, u(x), . . . , ur−1 (x)) forme une famille libre de E.
(b) On pose F = Vect(F). Déterminer la matrice de u|F dans la base F.
1
Exercice 3. (3 points)
Soit q l’application suivante de R3 dans R.
q(x, y, z) = x2 + 9y 2 − z 2 + 2xy + 2xz − 6yz.
1) Montrer que q est une forme quadratique et donner la matrice de q dans la base canonique de R3 .
2) Déterminer une base dans laquelle la matrice de q est diagonale.
3) Déterminer la signature de q.
Exercice 4. (4
−1
Soit A = 1
−1
points)
0 1
−2 0 et soit f l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à A.
1 0
1) Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A.
2) Déterminer la décomposition de Dunford de A.
3) Calculer An pour tout n ∈ N.
Exercice 5. (4 points)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soient f et g deux endomorphismes diagonalisables de E
tels que f ◦ g = g ◦ f . L’objectif de cet exercice est de montrer que l’on peut trouver une base de E dans
laquelle la matrice de f et la matrice de g sont diagonales. Soient λ1 , . . . , λr les valeurs propres de f que
l’on supposera distinctes deux à deux et soient Eλ1 , . . . ,Eλr les sous-espaces propres correspondants.
1) Montrer que Eλi est stable par g pour tout i ∈ {1, . . . , r}.
2) Montrer que la restriction g|Eλi de g au s.e.v Eλi est diagonalisable.
3) Conclure.
Exercice 6. (6 points)
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et soit f un endomorphisme de E. On désigne par Πf
le polynôme minimal de f . Pour tout x ∈ E, on note
∗ Px le polynôme unitaire de plus bas degré tel que Px (f )(x) = 0E .
∗ Ex = {P (f )(x) | P ∈ K[X]}.
Le polynôme Px s’appelle le polynôme minimal de x relatif à f .
1) (a) Justifier l’existence et l’unicité de Px et montrer que si P (f )(x) = 0 alors Px divise P .
(b) Montrer que Ex est un sous-espace vectoriel de E de dimension deg(Px ).
2) (a) Si Ex ∩ Ey = {0}, montrer que Px+y = ppcm(Px , Py ).
[ On rappelle que le ppcm(Px , Py ) est l’unique polynôme unitaire qui engendre l’idéal (Px ) ∩ (Py ).]
(b) Si Px et Py sont premiers entre-eux, montrer que Ex+y = Ex ⊕ Ey .
3) (a) Soit M un facteur irréductible de Πf de multiplicité α ∈ N. Montrer qu’il existe x ∈ ker(M α (f ))
tel que Px = M α .
(b) Montrer qu’il existe x ∈ E tel que Px = Πf .
2
