Université François Rabelais de Tours Département de Mathématiques Examen final UE 6-3 Algèbre Semestre 6 L’épreuve dure 2h. Les exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction. Toute affirmation doit être justifiée sauf mention contraire. Exercice 1. (2 points) Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimension respective n et p. On désigne par E ∗ le dual de E et par F ∗ le dual de F . Soit (f1 , . . . , fp ) une base de F et soit (f1∗ , . . . , fp∗ ) sa base duale. Soient v ∈ L(E) et u ∈ L(E, F ). On désigne par t u l’application transposée de u. Dans chacune des relations suivantes, indiquer en mettant un indice de quel zéro il s’agit. On notera par exemple 0K le zéro de K, 0F ∗ le zéro de F ∗ etc. . . 1) Si fi∗ ◦ u = 0 pour tout i alors u = 0. 2) Si fi∗ (u(x)) = 0 pour tout i et pour tout x ∈ E alors u = 0. 3) Si Im(u) ⊂ ker(v) alors u ◦ v = 0. 4) Soit P ∈ K[X] un polynôme annulateur de v. Alors si λ est une valeur propre de v, P (λ) = 0. 5) Pour tout f ∈ ker(t u), on a t u(f ) = 0. 6) t u(0) = 0. Exercice 2. (7 × 2 points) 1) (a) Donner, sans justifier, les polynômes irréductibles de R[X]. (b) Donner, sans justifier, les polynômes irréductibles de C[X]. (c) Factoriser X 4 − 1 en produit d’irréductibles sur C puis sur R. (d) Quel est la factorisation de X 4 − 1 sur Q ? 2) Soient ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 trois formes linéaires de K2 [X] définies par ϕ1 (P ) = P (1), ϕ2 (P ) = P 0 (1) Z et ϕ3 (P ) = 1 P (t)dt. 0 Montrer que la famille (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) est une base de (K2 [X])∗ et déterminer sa base préduale. 3) Soient (a0 , . . . , an ) une famille d’éléments distincts de K. Pour tout i, soit fi la forme linéaire définie par fi (P ) = P (ai ). (a) Montrer que (f0 , . . . , fn ) est une base de (Kn [X])∗ . (b) Déterminer la base préduale de (f0 , . . . , fn ). 4) (a) Justifier que le polynôme X 2 + X + 1 est irréductible sur F2 [X]. (b) Construire un corps à quatre éléments et déterminer sa table d’addition et de multiplication. 5) Soit p ∈ L(E) tel que p ◦ p = p. (a) Énoncer le lemme des noyaux. (b) Montrer que p est diagonalisable. (c) Soit (e1 , . . . , ep ) une base de ker(p) et (ep+1 , . . . , en ) une base de Im(p). Justifier que (e1 , . . . , en ) est une base de E et déterminer la matrice de p dans cette base. 6) Déterminer une matrice de M3 (R) ayant pour polynôme minimal (X − 1)(X + 1) et une matrice M3 (R) ayant pour polynôme minimal (X − 1)(X + 1)2 . 7) Soit u un endomorphisme nilpotent de E d’indice r ∈ N et soit x ∈ E tel que ur−1 (x) 6= 0. (a) Montrer que F := (x, u(x), . . . , ur−1 (x)) forme une famille libre de E. (b) On pose F = Vect(F). Déterminer la matrice de u|F dans la base F. 1 Exercice 3. (3 points) Soit q l’application suivante de R3 dans R. q(x, y, z) = x2 + 9y 2 − z 2 + 2xy + 2xz − 6yz. 1) Montrer que q est une forme quadratique et donner la matrice de q dans la base canonique de R3 . 2) Déterminer une base dans laquelle la matrice de q est diagonale. 3) Déterminer la signature de q. Exercice 4. (4 −1 Soit A = 1 −1 points) 0 1 −2 0 et soit f l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à A. 1 0 1) Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 2) Déterminer la décomposition de Dunford de A. 3) Calculer An pour tout n ∈ N. Exercice 5. (4 points) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soient f et g deux endomorphismes diagonalisables de E tels que f ◦ g = g ◦ f . L’objectif de cet exercice est de montrer que l’on peut trouver une base de E dans laquelle la matrice de f et la matrice de g sont diagonales. Soient λ1 , . . . , λr les valeurs propres de f que l’on supposera distinctes deux à deux et soient Eλ1 , . . . ,Eλr les sous-espaces propres correspondants. 1) Montrer que Eλi est stable par g pour tout i ∈ {1, . . . , r}. 2) Montrer que la restriction g|Eλi de g au s.e.v Eλi est diagonalisable. 3) Conclure. Exercice 6. (6 points) Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et soit f un endomorphisme de E. On désigne par Πf le polynôme minimal de f . Pour tout x ∈ E, on note ∗ Px le polynôme unitaire de plus bas degré tel que Px (f )(x) = 0E . ∗ Ex = {P (f )(x) | P ∈ K[X]}. Le polynôme Px s’appelle le polynôme minimal de x relatif à f . 1) (a) Justifier l’existence et l’unicité de Px et montrer que si P (f )(x) = 0 alors Px divise P . (b) Montrer que Ex est un sous-espace vectoriel de E de dimension deg(Px ). 2) (a) Si Ex ∩ Ey = {0}, montrer que Px+y = ppcm(Px , Py ). [ On rappelle que le ppcm(Px , Py ) est l’unique polynôme unitaire qui engendre l’idéal (Px ) ∩ (Py ).] (b) Si Px et Py sont premiers entre-eux, montrer que Ex+y = Ex ⊕ Ey . 3) (a) Soit M un facteur irréductible de Πf de multiplicité α ∈ N. Montrer qu’il existe x ∈ ker(M α (f )) tel que Px = M α . (b) Montrer qu’il existe x ∈ E tel que Px = Πf . 2