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Université François Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Examen final
UE 6-3 Algèbre Semestre 6
L’épreuve dure 2h. Les exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction.
Toute affirmation doit être justifiée sauf mention contraire.
Exercice 1. (2 points)
Soit Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension respective net p. On désigne par E∗le dual de Eet
par F∗le dual de F. Soit (f1, . . . , fp)une base de Fet soit (f∗
1, . . . , f∗
p)sa base duale. Soient v∈ L(E)
et u∈ L(E, F ). On désigne par tul’application transposée de u. Dans chacune des relations suivantes,
indiquer en mettant un indice de quel zéro il s’agit. On notera par exemple 0Kle zéro de K,0F∗le zéro de
F∗etc. . .
1) Si f∗
i◦u= 0 pour tout ialors u= 0.
2) Si f∗
i(u(x)) = 0 pour tout iet pour tout x∈Ealors u= 0.
3) Si Im(u)⊂ker(v)alors u◦v= 0.
4) Soit P∈K[X]un polynôme annulateur de v. Alors si λest une valeur propre de v,P(λ)=0.
5) Pour tout f∈ker(tu), on a tu(f)=0.
6) tu(0) = 0.
Exercice 2. (7×2points)
1) (a) Donner, sans justifier, les polynômes irréductibles de R[X].
(b) Donner, sans justifier, les polynômes irréductibles de C[X].
(c) Factoriser X4−1en produit d’irréductibles sur Cpuis sur R.
(d) Quel est la factorisation de X4−1sur Q?
2) Soient ϕ1, ϕ2, ϕ3trois formes linéaires de K2[X]définies par
ϕ1(P) = P(1), ϕ2(P) = P0(1) et ϕ3(P) = Z1
0
P(t)dt.
Montrer que la famille (ϕ1, ϕ2, ϕ3)est une base de (K2[X])∗et déterminer sa base préduale.
3) Soient (a0, . . . , an)une famille d’éléments distincts de K. Pour tout i, soit fila forme linéaire définie
par fi(P) = P(ai).
(a) Montrer que (f0, . . . , fn)est une base de (Kn[X])∗.
(b) Déterminer la base préduale de (f0, . . . , fn).
4) (a) Justifier que le polynôme X2+X+ 1 est irréductible sur F2[X].
(b) Construire un corps à quatre éléments et déterminer sa table d’addition et de multiplication.
5) Soit p∈ L(E)tel que p◦p=p.
(a) Énoncer le lemme des noyaux.
(b) Montrer que pest diagonalisable.
(c) Soit (e1, . . . , ep)une base de ker(p)et (ep+1 , . . . , en)une base de Im(p). Justifier que (e1, . . . , en)
est une base de Eet déterminer la matrice de pdans cette base.
6) Déterminer une matrice de M3(R)ayant pour polynôme minimal (X−1)(X+ 1) et une matrice
M3(R)ayant pour polynôme minimal (X−1)(X+ 1)2.
7) Soit uun endomorphisme nilpotent de Ed’indice r∈Net soit x∈Etel que ur−1(x)6= 0.
(a) Montrer que F:= (x, u(x), . . . , ur−1(x)) forme une famille libre de E.
(b) On pose F= Vect(F). Déterminer la matrice de u|Fdans la base F.
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Exercice 3. (3 points)
Soit ql’application suivante de R3dans R.
q(x, y, z) = x2+ 9y2−z2+ 2xy + 2xz −6yz.
1) Montrer que qest une forme quadratique et donner la matrice de qdans la base canonique de R3.
2) Déterminer une base dans laquelle la matrice de qest diagonale.
3) Déterminer la signature de q.
Exercice 4. (4 points)
Soit A=
−101
1−2 0
−110
et soit fl’endomorphisme de R3canoniquement associé à A.
1) Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A.
2) Déterminer la décomposition de Dunford de A.
3) Calculer Anpour tout n∈N.
Exercice 5. (4points)
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension n. Soient fet gdeux endomorphismes diagonalisables de E
tels que f◦g=g◦f. L’objectif de cet exercice est de montrer que l’on peut trouver une base de Edans
laquelle la matrice de fet la matrice de gsont diagonales. Soient λ1, . . . , λrles valeurs propres de fque
l’on supposera distinctes deux à deux et soient Eλ1, . . . ,Eλrles sous-espaces propres correspondants.
1) Montrer que Eλiest stable par gpour tout i∈ {1, . . . , r}.
2) Montrer que la restriction g|Eλide gau s.e.v Eλiest diagonalisable.
3) Conclure.
Exercice 6. (6points)
Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie et soit fun endomorphisme de E. On désigne par Πf
le polynôme minimal de f. Pour tout x∈E, on note
∗Pxle polynôme unitaire de plus bas degré tel que Px(f)(x)=0E.
∗Ex={P(f)(x)|P∈K[X]}.
Le polynôme Pxs’appelle le polynôme minimal de xrelatif à f.
1) (a) Justifier l’existence et l’unicité de Pxet montrer que si P(f)(x)=0alors Pxdivise P.
(b) Montrer que Exest un sous-espace vectoriel de Ede dimension deg(Px).
2) (a) Si Ex∩Ey={0}, montrer que Px+y=ppcm(Px, Py).
[On rappelle que le ppcm(Px, Py)est l’unique polynôme unitaire qui engendre l’idéal (Px)∩(Py).]
(b) Si Pxet Pysont premiers entre-eux, montrer que Ex+y=Ex⊕Ey.
3) (a) Soit Mun facteur irréductible de Πfde multiplicité α∈N. Montrer qu’il existe x∈ker(Mα(f))
tel que Px=Mα.
(b) Montrer qu’il existe x∈Etel que Px= Πf.
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