Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre linéaire II Rafael

Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre linéaire II
Rafael Guglielmetti, Muriel Galley http ://homeweb1.unifr.ch/guglielr/pub/teaching.html
Série 19
À rendre avant le mercredi 17 avril, 12h00
Remarque 1
Pour toute application linéaire T(respectivement matrice A), on note pTet MTles polynômes
caractéristiques et minimaux de T(respectivement de l’application linéaire associée à A).
Exercice 1 (Polynômes minimaux et polynômes caractéristiques, 4 points) 1. On considère
une application linéaire T:R3→R3de polynôme minimal MT(t) = t(t2−1). Quel est
le polynôme caracteristique pT?
2. Calculez le polynôme characteristique et minimal des matrices suivantes :
A:= 
3−1 0
200
2−1 1
, B := 
−532
−743
−321
, C =1 4
4 1 .
3. Pour la matrice Cdu point précédent, vérifiez par calcul le théorème de Cayley-Hamilton,
c’est-à-dire que pC(C) = 0, l’application linéaire triviale.
Exercice 2 (Matrice triangulaire supérieure, élément diagonal et polynôme minimal, 2 points)
Soit A∈M(n×n, K)une matrice triangulaire supérieure et λ∈Kun élément de la diagonale
de A. Montrez que λest une racine du polynôme MA(t).
Exercice 3 (Evaluations de polynômes, 4 points) 1. Soit D∈M(n×n, K)une matrice di-
agonale. Montrez (sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton) que pD(D) = 0.
2. Soit A:= 
λ1∗
...
0λn
la matrice associée à F∈End(V)par rapport à la base
(v1, . . . , vn). On définit le sous-espace Vk:= span(v1, . . . , vk)et l’endomorphisme Gk:
V−→ Vpar
Gk:= (λ1·idV−F)◦ · · · ◦ (λk·idV−F).
pour k= 1, . . . , n. Montrer que Gk(Vk) = {0}pour tout k.
Exercice 4 (Divisions euclidiennes, 4 points)
Soit R[t]n, l’espace des polynômes à coefficients réels de degré plus petit ou égal à net soit
g(t) = 12 ·t2+ 4 ·t+ 2013. On définit l’endomorphisme R:R[t]n−→ R[t]nde la manière
suivante : un polynôme pest envoyé sur le reste rde sa division par g, c’est-à-dire que p
est envoyé sur roù rest l’unique polynôme de degré strictement inférieur à deg(g)tel que
p=q·g+r. Montrez :

1. Rest effectivement un endomorphisme.
2. Rest diagonalisable.
Exercice 5 (Espaces caractéristiques, 4 points)
Déterminer les espaces caractéristiques de
A:= 
−1 4 −2 1
0 1 −2−1
0 0 1 −3
0 0 0 −1
.
Exercice 6 (Vrai ou faux, 0 points) 1. Soit A∈M(3×3,R)une matrice qui satisfait l’équa-
tion A3=A2+ 2A. Alors Aest diagonalisable.
2. Soient A, B ∈M(n×n, R)deux matrices ayant le même polynôme caracteristique. Alors
Aest semblable à B.
3. Soit T:V−→ Vun endomorphisme triangularisable. Alors Tpossède une valeur propre.