Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre linéaire II Rafael

Cours du Prof. Dr. Anand Dessai
Rafael Guglielmetti, Muriel Galley
Algèbre linéaire II
http ://homeweb1.unifr.ch/guglielr/pub/teaching.html
Série 19
À rendre avant le mercredi 17 avril, 12h00
Remarque 1
Pour toute application linéaire T (respectivement matrice A), on note pT et MT les polynômes
caractéristiques et minimaux de T (respectivement de l’application linéaire associée à A).
Exercice 1 (Polynômes minimaux et polynômes caractéristiques, 4 points) 1. On considère
une application linéaire T : R3 → R3 de polynôme minimal MT (t) = t(t2 − 1). Quel est
le polynôme caracteristique pT ?
2. Calculez le polynôme characteristique et minimal des matrices suivantes :




−5 3 2
3 −1 0
1 4




−7 4 3 , C =
2 0 0 , B :=
.
A :=
4 1
−3 2 1
2 −1 1
3. Pour la matrice C du point précédent, vérifiez par calcul le théorème de Cayley-Hamilton,
c’est-à-dire que pC (C) = 0, l’application linéaire triviale.
Exercice 2 (Matrice triangulaire supérieure, élément diagonal et polynôme minimal, 2 points)
Soit A ∈ M(n × n, K) une matrice triangulaire supérieure et λ ∈ K un élément de la diagonale
de A. Montrez que λ est une racine du polynôme MA (t).
Exercice 3 (Evaluations de polynômes, 4 points) 1. Soit D ∈ M(n × n, K) une matrice diagonale. Montrez (sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton) que pD (D) = 0.


λ1
∗


..
2. Soit A := 
 la matrice associée à F ∈ End(V ) par rapport à la base
.
0
λn
(v1 , . . . , vn ). On définit le sous-espace Vk := span(v1 , . . . , vk ) et l’endomorphisme Gk :
V −→ V par
Gk := (λ1 · idV − F ) ◦ · · · ◦ (λk · idV − F ).
pour k = 1, . . . , n. Montrer que Gk (Vk ) = {0} pour tout k.
Exercice 4 (Divisions euclidiennes, 4 points)
Soit R[t]n , l’espace des polynômes à coefficients réels de degré plus petit ou égal à n et soit
g(t) = 12 · t2 + 4 · t + 2013. On définit l’endomorphisme R : R[t]n −→ R[t]n de la manière
suivante : un polynôme p est envoyé sur le reste r de sa division par g, c’est-à-dire que p
est envoyé sur r où r est l’unique polynôme de degré strictement inférieur à deg(g) tel que
p = q · g + r. Montrez :
1. R est effectivement un endomorphisme.
2. R est diagonalisable.
Exercice 5 (Espaces caractéristiques, 4 points)
Déterminer les espaces caractéristiques de


−1 4 −2
1
 0 1 −2 −1 
.
A := 
 0 0
1 −3 
0 0
0 −1
Exercice 6 (Vrai ou faux, 0 points) 1. Soit A ∈ M(3×3, R) une matrice qui satisfait l’équation A3 = A2 + 2A. Alors A est diagonalisable.
2. Soient A, B ∈ M(n × n, R) deux matrices ayant le même polynôme caracteristique. Alors
A est semblable à B.
3. Soit T : V −→ V un endomorphisme triangularisable. Alors T possède une valeur propre.