UNE QUESTION D`APPUIS Introduction. La motivation originale de

UNE QUESTION D’APPUIS
FR´ ED´ ERIC MANGOLTE ET CHRISTOPHE RAFFALLI
Introduction.
La motivation originale de ce travail est une ´etape dans la preuve du r´esultat
suivant tir´e de l’article [2].
Th´eor`eme 1. Let Xbe a real Del Pezzo surface of degree 1 homeomorphic to
the disjoint union of 4 spheres and a projective plane, then every smooth map
f:X→S2can be approximated by regular maps.
Voir l’article cit´e pour les d´efinitions et motivations de ce th´eor`eme.
1. Rappels.
D´efinition 2 (Convexe).Soit Eun espace euclidien de dimension n. Un sous-
ensemble A⊂Eest convexe dans Esi et seulement si
∀x, y ∈A, ∀t∈[0,1], tx + (1 −t)y∈A .
D´efinition 3 (Enveloppe convexe).Soit A⊂Eun sous-ensemble quelconque,
l’enveloppe convexe de Adans Eest le plus petit (au sens de l’inclusion) convexe
de Equi contient A.
D´efinition 4 (Point extr´emal).Soit A un ensemble. On dira qu’un point x∈A
est un point extr´emal de Asi l’enveloppe convexe de Apriv´ee de xest toujours
convexe.
Th´eor`eme 5 (Krein-Milman).Tout compact convexe non vide d’un espace eucli-
dien admet un point extr´emal.
D´emonstration. Voir par exemple [1]. ut
Corollaire 6. Tout compact non vide d’un espace euclidien admet un point extr´emal.
D´emonstration. Soit Aun compact non vide d’un espace euclidien. Soit Acl’enve-
loppe convexe de A. Par Krein-Milman, il existe x∈Acextremal. On a x∈A. En
effet, Ac\ {x}est convexe et si x6∈ A, c’est un convexe contenant Aet strictement
inclus dans Acce qui est impossible. ut
2. Hyperplan de n-appui.
D´efinition 7 (Hyperplan d’appui).Soit Hun hyperplan d’un espace euclidien E
d’´equation l(x) = ao`u lest une forme lin´eaire et a∈R. On note H+le demi-espace
{x∈E;l(x)≥a}et H−le demi-espace {x∈E;l(x)≤a}. Soit Aun sous-ensemble
de Eet x∈A. On dira que Hest un hyperplan d’appui `a Aen x, si et seulement
si
(1) x∈A∩H
(2) A⊂H+ou A⊂H−
Nous remercions P. Verovic pour une discussion fondatrice et V. Grandjean pour sa relecture
attentive.
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On dira aussi que Hs’appuie sur Aen x.
Si Aest un sous ensemble de Pn(R)et x∈A, on dira que Hs’appuie sur Aen
xssi il existe une carte affine Ede Pn(R)telle que x∈Eet telle que Hs’appuie
sur Aen xdans E.
D´efinition 8 (Hyperplan de r-appui).Soient A1, . . . , Ar, des sous-ensembles de
Pn(R). On dira que Hest un hyperplan de r-appui `a A1, . . . , Ars’il existe des points
x1∈A1, x2∈A2, . . . , xr∈Artels que Hsoit un hyperplan d’appui `a Aien xipour
tout 1≤i≤r.
Th´eor`eme 9. Soit n∈Net soient {Ai}1≤i≤n, des sous-ensembles ferm´es et
connexes de Pn(R). Supposons qu’il existe un point p∈Pn(R)tel qu’aucun hy-
perplan passant par pne rencontre tous les Ai, alors il existe un hyperplan de
n-appui `a A1, . . . , An.
D´emonstration. On note P=Pn(R) et P∗= (Pn(R))∗le projectif dual.
Remarque : l’hypoth`ese sur l’existence du point pimplique que les ensembles Ai
sont deux `a deux disjoints.
`
A chaque hyperplan H⊂Pd’´equation Pλkxk= 0, on associe le point H∗=
(λ1:λ2:. . . :λn) du projectif dual P∗.` A chaque point pde P, on associe l’hyperplan
dual de P∗, not´e p∗={H∗, p ∈H}.
Notons Hl’ensemble des hyperplans de Pqui rencontrent tous les Ai. Par le
nombre de sous-ensembles Ai, l’ensemble Hest non vide.
Soit H∈ H, pour tout i, 1 ≤i≤n,H∩Ai6=∅. Notons H∗l’image de H
dans le projectif dual P∗. Par hypoth`ese, H∗est contenu dans le compl´ementaire
de l’hyperplan p∗de P∗. En effet, p∗correspond `a l’ensemble des hyperplans de P
passant par p.
Notons Upl’ouvert affine compl´ementaire de p∗dans P∗.
Lemme 10. H∗est compact dans Up.
D’apr`es le Corollaire 6 de Krein-Milman et le Lemme 10, H∗admet donc un
point extr´emal H∗. Montrons que Hest un hyperplan de n-appui aux A1, . . . , An.
En contraposant, consid´erons un hyperplan Hde Hqui ne s’appuie pas sur A1.
Comme H∈ H, pour tout i, 2 ≤i≤n, il existe yi∈Ai∩H. Soit P1un hyperplan
qui passe par pet y2, . . . , yn. Par hypoth`ese P1ne rencontre pas A1. Donc A1est
connexe dans P\P1. Comme Hn’est pas d’appui `a A1, il n’est pas d’appui dans
la carte affine E=P\P1. Pla¸cons nous dans l’espace affine E. L’hyperplan Hy
d´efinit deux demi-espaces et il existe x1∈A1∩H+\Het x2∈A1∩H−\H.
Soit Sle segment ferm´e [x1, x2] de E(qui passe donc par H). Montrons que tout
hyperplan de Erencontrant Srencontre A1(1) : soit Pun hyperplan de Epassant
par S. Si P∩S=x1ou x2c’est imm´ediat. Sinon supposons que P∩S∈]x1, x2[ et
A1∩P=∅. Soit O+=P+\Pet O−=P−\P.O+et O−sont deux ouverts de
Eet A1⊂O+∪O−. Le sous-espace A1´etant connexe dans E, on a A1⊂O+ou
A1⊂O−, ce qui est impossible car x1∈O+et x2∈O−(ou l’inverse).
Pour tout yappartenant `a S, soit Hyl’hyperplan d´etermin´e par y, y2, . . . , yn(Hy
est bien d´efini car les points y2, . . . , ynsont deux `a deux distincts et n’appartiennent
pas `a Etandis que y∈S⊂E). L’hyperplan Hyappartient `a Hpuisqu’il rencontre
A1par la propri´et´e (1) et car y∈Hy∩E6=∅.
Les points y2, . . . , ynd´efinissent une droite Dde P∗et on a H∗
y∈D. Donc
l’ensemble des H∗
ypour y∈[x1, x2] est un segment S∗ferm´e de Up(car p6∈ Hy)
dont les deux extr´emit´es sont dans H∗. Soit y0=S∩H,H∗=H∗
y0est un point `a
l’int´erieur de S∗, il appartient donc `a l’enveloppe convexe de H∗et il ne peut ˆetre
extr´emal, car on perd la convexit´e si on le retire. ut

UNE QUESTION D’APPUIS 3
Preuve du lemme 10. Notons Hil’ensemble des hyperplans qui rencontrent Ai. On
aH∗=∩1≤i≤nH∗
i.Ai´etant ferm´e H∗ iest ferm´e, c’est la classe d’´equivalence d’une
sous-ensemble ferm´e Bide la sph`ere unit´e de Rn+1. Soit Hun hyperplan de Pne
rencontrant pas Ai, c’est un hyperplan de Rn+1 ne rencontrant pas Bi. Comme Bi
est compact il y a un voisinage de Hqui ne rencontre pas Bidonc Ai.
De plus, H∗est born´e dans Upcar H∗∩p∗=∅et H∗est un ferm´e de P∗donc
finalement H∗est un compact de Up.ut
R´ ef´ erences
[1] N. Bourbaki Espaces vectoriels topologiques, chap. II.4.th. 1, Hermann, Paris 1953
[2] N. Joglar, F. Mangolte, Real algebraic morphisms and Del Pezzo surfaces of degree 2 Journal
of Algebraic Geometry 13 (2004) 269–285
Laboratoire de Math´ ematiques, Universit´ e de Savoie, 73376 Le Bourget du Lac Ce-
dex, France, Fax : [phone]
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