UNE QUESTION D`APPUIS Introduction. La motivation originale de

UNE QUESTION D’APPUIS
FR´
ED´
ERIC MANGOLTE ET CHRISTOPHE RAFFALLI
Introduction.
La motivation originale de ce travail est une ´etape dans la preuve du r´esultat
suivant tir´e de l’article [2].
Th´eor`eme 1. Let Xbe a real Del Pezzo surface of degree 1 homeomorphic to
the disjoint union of 4 spheres and a projective plane, then every smooth map
f:XS2can be approximated by regular maps.
Voir l’article cit´e pour les d´efinitions et motivations de ce th´eor`eme.
1. Rappels.
efinition 2 (Convexe).Soit Eun espace euclidien de dimension n. Un sous-
ensemble AEest convexe dans Esi et seulement si
x, y A, t[0,1], tx + (1 t)yA .
efinition 3 (Enveloppe convexe).Soit AEun sous-ensemble quelconque,
l’enveloppe convexe de Adans Eest le plus petit (au sens de l’inclusion) convexe
de Equi contient A.
efinition 4 (Point extr´emal).Soit A un ensemble. On dira qu’un point xA
est un point extr´emal de Asi l’enveloppe convexe de Apriv´ee de xest toujours
convexe.
Th´eor`eme 5 (Krein-Milman).Tout compact convexe non vide d’un espace eucli-
dien admet un point extr´emal.
D´emonstration. Voir par exemple [1]. ut
Corollaire 6. Tout compact non vide d’un espace euclidien admet un point extr´emal.
D´emonstration. Soit Aun compact non vide d’un espace euclidien. Soit Acl’enve-
loppe convexe de A. Par Krein-Milman, il existe xAcextremal. On a xA. En
effet, Ac\ {x}est convexe et si x6∈ A, c’est un convexe contenant Aet strictement
inclus dans Acce qui est impossible. ut
2. Hyperplan de n-appui.
efinition 7 (Hyperplan d’appui).Soit Hun hyperplan d’un espace euclidien E
d’´equation l(x) = ao`u lest une forme lin´eaire et aR. On note H+le demi-espace
{xE;l(x)a}et Hle demi-espace {xE;l(x)a}. Soit Aun sous-ensemble
de Eet xA. On dira que Hest un hyperplan d’appui `a Aen x, si et seulement
si
(1) xAH
(2) AH+ou AH
Nous remercions P. Verovic pour une discussion fondatrice et V. Grandjean pour sa relecture
attentive.
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ERIC MANGOLTE ET CHRISTOPHE RAFFALLI
On dira aussi que Hs’appuie sur Aen x.
Si Aest un sous ensemble de Pn(R)et xA, on dira que Hs’appuie sur Aen
xssi il existe une carte affine Ede Pn(R)telle que xEet telle que Hs’appuie
sur Aen xdans E.
efinition 8 (Hyperplan de r-appui).Soient A1, . . . , Ar, des sous-ensembles de
Pn(R). On dira que Hest un hyperplan de r-appui `a A1, . . . , Ars’il existe des points
x1A1, x2A2, . . . , xrArtels que Hsoit un hyperplan d’appui `a Aien xipour
tout 1ir.
Th´eor`eme 9. Soit nNet soient {Ai}1in, des sous-ensembles ferm´es et
connexes de Pn(R). Supposons qu’il existe un point pPn(R)tel qu’aucun hy-
perplan passant par pne rencontre tous les Ai, alors il existe un hyperplan de
n-appui `a A1, . . . , An.
D´emonstration. On note P=Pn(R) et P= (Pn(R))le projectif dual.
Remarque : l’hypoth`ese sur l’existence du point pimplique que les ensembles Ai
sont deux `a deux disjoints.
`
A chaque hyperplan HPd’´equation Pλkxk= 0, on associe le point H=
(λ1:λ2:. . . :λn) du projectif dual P.`
A chaque point pde P, on associe l’hyperplan
dual de P, not´e p={H, p H}.
Notons Hl’ensemble des hyperplans de Pqui rencontrent tous les Ai. Par le
nombre de sous-ensembles Ai, l’ensemble Hest non vide.
Soit H∈ H, pour tout i, 1 in,HAi6=. Notons Hl’image de H
dans le projectif dual P. Par hypoth`ese, Hest contenu dans le compl´ementaire
de l’hyperplan pde P. En effet, pcorrespond `a l’ensemble des hyperplans de P
passant par p.
Notons Upl’ouvert affine compl´ementaire de pdans P.
Lemme 10. Hest compact dans Up.
D’apr`es le Corollaire 6 de Krein-Milman et le Lemme 10, Hadmet donc un
point extr´emal H. Montrons que Hest un hyperplan de n-appui aux A1, . . . , An.
En contraposant, consid´erons un hyperplan Hde Hqui ne s’appuie pas sur A1.
Comme H∈ H, pour tout i, 2 in, il existe yiAiH. Soit P1un hyperplan
qui passe par pet y2, . . . , yn. Par hypoth`ese P1ne rencontre pas A1. Donc A1est
connexe dans P\P1. Comme Hn’est pas d’appui `a A1, il n’est pas d’appui dans
la carte affine E=P\P1. Pla¸cons nous dans l’espace affine E. L’hyperplan Hy
d´efinit deux demi-espaces et il existe x1A1H+\Het x2A1H\H.
Soit Sle segment ferm´e [x1, x2] de E(qui passe donc par H). Montrons que tout
hyperplan de Erencontrant Srencontre A1(1) : soit Pun hyperplan de Epassant
par S. Si PS=x1ou x2c’est imm´ediat. Sinon supposons que PS]x1, x2[ et
A1P=. Soit O+=P+\Pet O=P\P.O+et Osont deux ouverts de
Eet A1O+O. Le sous-espace A1´etant connexe dans E, on a A1O+ou
A1O, ce qui est impossible car x1O+et x2O(ou l’inverse).
Pour tout yappartenant `a S, soit Hyl’hyperplan d´etermin´e par y, y2, . . . , yn(Hy
est bien d´efini car les points y2, . . . , ynsont deux `a deux distincts et n’appartiennent
pas `a Etandis que ySE). L’hyperplan Hyappartient `a Hpuisqu’il rencontre
A1par la propri´et´e (1) et car yHyE6=.
Les points y2, . . . , ynd´efinissent une droite Dde Pet on a H
yD. Donc
l’ensemble des H
ypour y[x1, x2] est un segment Sferm´e de Up(car p6∈ Hy)
dont les deux extr´emit´es sont dans H. Soit y0=SH,H=H
y0est un point `a
l’int´erieur de S, il appartient donc `a l’enveloppe convexe de Het il ne peut ˆetre
extr´emal, car on perd la convexit´e si on le retire. ut
UNE QUESTION D’APPUIS 3
Preuve du lemme 10. Notons Hil’ensemble des hyperplans qui rencontrent Ai. On
aH=1inH
i.Ai´etant ferm´e H
iest ferm´e, c’est la classe d’´equivalence d’une
sous-ensemble ferm´e Bide la sph`ere unit´e de Rn+1. Soit Hun hyperplan de Pne
rencontrant pas Ai, c’est un hyperplan de Rn+1 ne rencontrant pas Bi. Comme Bi
est compact il y a un voisinage de Hqui ne rencontre pas Bidonc Ai.
De plus, Hest born´e dans Upcar Hp=et Hest un ferm´e de Pdonc
finalement Hest un compact de Up.ut
R´
ef´
erences
[1] N. Bourbaki Espaces vectoriels topologiques, chap. II.4.th. 1, Hermann, Paris 1953
[2] N. Joglar, F. Mangolte, Real algebraic morphisms and Del Pezzo surfaces of degree 2 Journal
of Algebraic Geometry 13 (2004) 269–285
Laboratoire de Math´
ematiques, Universit´
e de Savoie, 73376 Le Bourget du Lac Ce-
dex, France, Fax : (33) 4 79 75 81 42
E-mail address:[email protected]
E-mail address:[email protected]
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