Énoncé

MP 933 &934 Devoir Libre no3☞er octobre 
Une accélération de convergence
D’après Centrale 2009, PC 1
On accélère ici la convergence d’une série, pour calculer ζ(3) =
+∞
X
n=1
1
n3àεprès, avec ε= 5.10−5.
1. (a) Soient q, N∈N, avec q>2et N>1. À l’aide d’une comparaison avec une intégrale (sur un segment), majorer
soigneusement le reste :
R(N, q) =
+∞
X
n=N+1
1
nq·
(b) Déterminer un entier Ntel que R(N,3) 6ε.
2. On pose dorénavant, pour p, n ∈N∗:u(n, p) = 1
n(n+ 1) ···(n+p).
(a) Montrer que la série P
n>1
u(n, p)est convergente.
On note σ(p)la somme de la série : σ(p) =
+∞
X
n=1
u(n, p).
(b) Calculer σ(1).
(c) Pour p>2et n∈N∗, exprimer u(n, p −1) −u(n+ 1, p −1) en fonction de pet u(n, p).
(d) En déduire la valeur de σ(p)pour p>2.
3. (a) Montrer par récurrence l’existence de trois suites (ap)p>2,(bp)p>2et (cp)p>2d’entiers naturels telles que pour
tout réel xstrictement positif et tout entier p>2on ait :
1
x3=bpx+cp x3(x+ 1)(x+ 2) ···(x+p)+
p
X
k=2
ak
x(x+ 1) ···(x+k).
On explicitera en particulier les valeurs de ap+1,bp+1 et cp+1 en fonction de celles de ap,bp,cpet p.
(b) Montrer que pour tout p>2:bp>cp>0.
(c) Calculer ap,bpet cppour 26p64.
(d) Expliciter, pour p>2, la valeur de cp; puis celle de bpà l’aide d’une somme. En déduire un équivalent simple
de bplorsque ptend vers +∞.
4. (a) Donner un majorant simple de
+∞
X
n=N+1
b4n+c4
n3(n+ 1) ···(n+ 4)
et montrer, à l’aide de tout ce qui précède (et d’une calculatrice !), comment calculer ζ(3) pour la même valeur
de εavec une valeur de Nmoins grande que celle trouvée question 1b.
(b) En utilisant ce qui précède, donner (à l’aide de la calculatrice) une valeur décimale approchée (par défaut) à ε
près de ζ(3).
dimanche  septembre  —  vendémiaire  /home/walter/LaTeX/MP/Annee/2012/DM-2012/DM03.tex

Devoir Libre no3Mathématiques, MP 933 &934
Une propriété des hyperplans de Mn(R
R
R)
Soit n∈Nun entier, n>2. On note E = Mn(R)la R-algèbre des matrices carrées d’ordre nà coefficients réels, et
E∗=L(E,R)le dual de E.
Si M∈E, on la notera M = (mij ). On note Eij les matrices élémentaires pour i, j ∈[[1 ; n]].
Si M∈E, on note T(M) sa trace. On définit ainsi une forme linéaire T∈E∗.
À chaque matrice U∈E, on associe :
– l’application TU: E →Rdéfinie par M7→ TU(M) = T(U ·M) ;
– l’ensemble HU={M∈E ; T(U ·M) = 0}.
L’objectif du problème est de montrer que chaque hyperplan de Epossède au moins une matrice inversible.
I Quelques résultats utiles pour la suite
I.1. Soient A = (aij )et B = (bij )des éléments de E. Montrer que T(A ·B) = T(B ·A) et que T(t A·B) =
n
P
i=1
n
P
j=1
aij bij .
I.2. Soit Uune matrice de E.
a) Si Uest la matrice nulle, déterminer HU.
b) Dans le cas contraire, montrer que l’on peut trouver un couple d’entiers (i0, j0)tel que TU(Ei0,j0)6= 0. En déduire
dim HU.
I.3. Pour (i, j)∈[[1 ; n]]2, on note Tij = TEij .
a) On se fixe k, ℓ ∈[[1 ; n]]. Calculer Tij (Ekℓ)en utilisant la question I.1.
b) Qu’en déduit-on sur la famille (Tij )(i,j)∈[[1 ; n]]2?
I.4. Montrer que l’application ϕ: E −→ E∗,U7−→ ϕ(U) = TUest un isomorphisme d’espaces vectoriels.
I.5. On considère un hyperplan vectoriel Hde E.
a) Quelle est sa dimension ?
b) Soit Aune matrice non nulle, qui n’appartient pas à H. Montrer que E = H ⊕Vect(A).
c) Construire alors un élément ψ∈E∗tel que H = Ker ψ.
d) Prouver l’existence d’un élément U∈Etel que H = HU.
II Le résultat général
Pour tout r∈[[1 ; n]], on note Rr=
r
P
i=1
Eii.
II.1. On note P = (pij )la matrice dont les coefficients vérifient pi+1,i = 1 pour i= 1,...,n−1,p1,n = 1 et pij = 0 partout
ailleurs.
a) Montrer que Pest inversible.
b) Montrer que Pappartient à l’hyperplan HRrpour tout r∈[[1 ; n]].
II.2. En déduire que : Chaque hyperplan vectoriel de Epossède au moins une matrice inversible.
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