Devoir Libre no 3 MP 933 & 934 ☞ er octobre Une accélération de convergence D’après Centrale 2009, PC 1 On accélère ici la convergence d’une série, pour calculer ζ(3) = +∞ X 1 à ε près, avec ε = 5.10−5 . 3 n n=1 1. (a) Soient q, N ∈ N, avec q > 2 et N > 1. À l’aide d’une comparaison avec une intégrale (sur un segment), majorer soigneusement le reste : +∞ X 1 R(N, q) = · nq n=N+1 (b) Déterminer un entier N tel que R(N, 3) 6 ε. 1 . 2. On pose dorénavant, pour p, n ∈ N∗ : u(n, p) = n(n + 1) · · · (n + p) P (a) Montrer que la série u(n, p) est convergente. n>1 On note σ(p) la somme de la série : σ(p) = +∞ X u(n, p). n=1 (b) Calculer σ(1). (c) Pour p > 2 et n ∈ N∗ , exprimer u(n, p − 1) − u(n + 1, p − 1) en fonction de p et u(n, p). (d) En déduire la valeur de σ(p) pour p > 2. 3. (a) Montrer par récurrence l’existence de trois suites (ap )p>2 , (bp )p>2 et (cp )p>2 d’entiers naturels telles que pour tout réel x strictement positif et tout entier p > 2 on ait : X 1 b p x + cp ak = + . x3 x3 (x + 1)(x + 2) · · · (x + p) x(x + 1) · · · (x + k) p k=2 On explicitera en particulier les valeurs de ap+1 , bp+1 et cp+1 en fonction de celles de ap , bp , cp et p. (b) Montrer que pour tout p > 2 : bp > cp > 0. (c) Calculer ap , bp et cp pour 2 6 p 6 4. (d) Expliciter, pour p > 2, la valeur de cp ; puis celle de bp à l’aide d’une somme. En déduire un équivalent simple de bp lorsque p tend vers +∞. 4. (a) Donner un majorant simple de +∞ X n=N+1 n3 (n b 4 n + c4 + 1) · · · (n + 4) et montrer, à l’aide de tout ce qui précède (et d’une calculatrice !), comment calculer ζ(3) pour la même valeur de ε avec une valeur de N moins grande que celle trouvée question 1b. (b) En utilisant ce qui précède, donner (à l’aide de la calculatrice) une valeur décimale approchée (par défaut) à ε près de ζ(3). dimanche septembre — vendémiaire /home/walter/LaTeX/MP/Annee/2012/DM-2012/DM03.tex Devoir Libre no 3 Mathématiques, MP 933 & 934 R) Une propriété des hyperplans de Mn (R Soit n ∈ N un entier, n > 2. On note E = Mn (R) la R-algèbre des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels, et E∗ = L (E, R) le dual de E. Si M ∈ E, on la notera M = (mij ). On note Eij les matrices élémentaires pour i, j ∈ [ 1 ; n]]. Si M ∈ E, on note T(M) sa trace. On définit ainsi une forme linéaire T ∈ E∗ . À chaque matrice U ∈ E, on associe : – l’application TU : E → R définie par M 7→ TU (M) = T(U · M) ; – l’ensemble HU = {M ∈ E ; T(U · M) = 0}. L’objectif du problème est de montrer que chaque hyperplan de E possède au moins une matrice inversible. I Quelques résultats utiles pour la suite I.1. Soient A = (aij ) et B = (bij ) des éléments de E. Montrer que T(A · B) = T(B · A) et que T(tA · B) = n n P P aij bij . i=1 j=1 I.2. Soit U une matrice de E. a) Si U est la matrice nulle, déterminer HU . b) Dans le cas contraire, montrer que l’on peut trouver un couple d’entiers (i0 , j0 ) tel que TU (Ei0 ,j0 ) 6= 0. En déduire dim HU . 2 I.3. Pour (i, j) ∈ [ 1 ; n]] , on note Tij = TEij . a) On se fixe k, ℓ ∈ [ 1 ; n]]. Calculer Tij (Ekℓ ) en utilisant la question I.1. b) Qu’en déduit-on sur la famille (Tij )(i,j)∈[[1 ; n]]2 ? I.4. Montrer que l’application ϕ : E −→ E∗ , U 7−→ ϕ(U) = TU est un isomorphisme d’espaces vectoriels. I.5. On considère un hyperplan vectoriel H de E. a) Quelle est sa dimension ? b) Soit A une matrice non nulle, qui n’appartient pas à H. Montrer que E = H ⊕ Vect(A). c) Construire alors un élément ψ ∈ E∗ tel que H = Ker ψ. d) Prouver l’existence d’un élément U ∈ E tel que H = HU . II Pour tout r ∈ [ 1 ; n]], on note Rr = r P Le résultat général Eii . i=1 II.1. On note P = (pij ) la matrice dont les coefficients vérifient pi+1,i = 1 pour i = 1, . . . , n − 1, p1,n = 1 et pij = 0 partout ailleurs. a) Montrer que P est inversible. b) Montrer que P appartient à l’hyperplan HRr pour tout r ∈ [ 1 ; n]]. II.2. En déduire que : Chaque hyperplan vectoriel de E possède au moins une matrice inversible. Une propriété des hyperplans de Mn (R) DM03.tex