Feuille PC7 - Sites personnels de TELECOM ParisTech

MAP 311 - Aléatoire - Groupes 5 et 18.
PC 7 - 8 Juin 2015
Gersende Fort et Amandine Véber
Les feuilles de PC sont disponibles sur le site http://www.cmap.polytechnique.fr/~veber/ et
des compléments sur le site http://perso.telecom-paristech.fr/~gfort/.
Les exercices marqués (?)sont corrigés dans le livre Aléatoire de S. Méléard.
Mots-clés de la semaine : fonctions caractéristiques, convergence en loi, théorème de la limite
centrale.
Fonctions caractéristiques
EXERCICE 1 - Loi Gamma.
On rappelle que la loi Gamma G(r, λ)(pour r > 0et λ > 0) a pour densité
γr,λ(t) = λr
Γ(r)tr−1e−λt1R+(t),
où Γ(r) = R∞
0tr−1e−tdt. Le but de cet exercice est de retrouver tous les résultats sur les lois
Gamma vus dans les PCs précédentes à l’aide de leurs fonctions caractéristiques.
1) Calculer la fonction caractéristique d’une v.a. de loi G(r, λ).
2) Montrer que si Xet Ysont des v.a. indépendantes de lois respectives G(r, λ)et G(s, λ), alors
X+Ya une loi G(r+s, λ). Pourrait-on aussi faire varier le paramètre λ?
3) Soient X1, . . . , Xndes v.a indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ. Calculer la loi
de X1+. . . +Xn.
4) Soient X1, . . . , Xndes v.a indépendantes de loi N(0,1). Montrer que X2
1a une loi Gamma et
en déduire la loi de X2
1+. . . +X2
n.
EXERCICE 2 - Vecteurs gaussiens.
Soient (X1, . . . , Xn)des variables aléatoires i.i.d. de loi normale centrée réduite. On pose X=
(X1, . . . , Xn).
1) Calculer la fonction caractéristique de X.
2) Soit Aune matrice de taille p×net b∈Rp. Calculer la fonction caractéristique de AX +b.
Lorsque n=p, à quelle(s) condition(s) ce vecteur admet-il une densité ?
3) Soit P∈Mn(R)une matrice orthogonale. Montrer que Xet P X ont la même loi. En déduire
que la loi de X
kXkest une mesure de probabilité sur la sphère unité S(n−1) de Rninvariante par
toute transformation orthogonale (cette propriété caractérise la mesure uniforme sur S(n−1)).

EXERCICE 3 - Convergence en loi.
1) Soit λ > 0. Étudier la convergence en loi de la suite (Xn/n)n≥1, où Xnsuit une loi géométrique
de paramètre pn=λ
n.
2) Soit Xnune v.a. de loi uniforme sur {0,1
n,2 n,...,n−1 n,1}.
a) Trouver la limite en loi de la suite (Xn)n≥1. On notera Xune v.a. ayant cette loi.
b) Montrer que P(Xn∈Q)ne converge pas vers P(X∈Q). Comparer avec la définition de
la convergence en loi.
EXERCICE 4 - Loi des extrêmes.
Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires i.i.d. Posons Mn= max1≤i≤nXi, la valeur la plus
grande prise par les Xi,i≤n. L’objectif de cet exercice est de montrer que pour des suites
déterministes (an)n≥1et (bn)n≥1bien choisies, la variable an(Mn−bn)converge en loi vers une
limite non-triviale.
Montrer cette convergence dans le cas où
1) Xisuit une loi uniforme sur [0,1],an=−net bn= 1 ;
2) Xisuit une loi exponentielle de paramètre 1,an= 1 et bn= ln n;
3) Xisuit une loi de Cauchy, an=π/n et bn= 0.
On peut en fait montrer que quelle que soit la loi commune des Xi, si la loi limite de an(Mn−
bn)existe alors il s’agit nécessairement de l’une des trois lois limites obtenues ici (à une homothétie
ou translation près).
Théorème de la limite centrale
EXERCICE 5 - Stabilité des lois gaussiennes. (?)
Considérons X1et X2, deux v.a. indépendantes de même loi µ, de variance finie égale à σ2et
qui satisfont la propriété suivante :
(P) X1+X2
√2a encore la loi µ.
L’objectif est de montrer que nécessairement, µest la loi normale N(0, σ2).
1) Montrer que si µest la loi normale N(0, σ2), alors la propriété (P) est satisfaite.
2) On suppose maintenant que (P) est satisfaite.
a) Montrer que E(X1) = 0.
b) Prouver que si X1, X2,··· , X2nsont des v.a. indépendantes de même loi µ, alors
X1+X2+··· +X2n
√2na la loi µ.
c) Conclure que µest la loi normale N(0, σ2).
EXERCICE 6 - Dilemme du couturier.
Un couturier fabrique deux modèles de chemise, le modèle A à rayures et le modèle B à carreaux,
pour 2000 clients. Chaque client choisit le modèle A avec probabilité 1/4 et donc le modèle B
avec probabilité 3/4. Combien ce couturier doit-il fabriquer de chemises de type A pour qu’il y
en ait suffisamment avec probabilité 90%?