Exercice 1 : loi des grands nombres

TD3 : Convergence de variables aléatoires
Exercice 1 : Estimateurs empiriques
Soient
1,..., n
XX
des v.a. i.i.d. d’espérance m et de variance
²
. On pose
1
1n
ni
i
XX
n
et
2
2
1
1n
n i n
i
S X X
n
.
1) Calculer les espérances de
n
X
et
2
n
nS
.
2) Etudier la convergence en probabilité de ces deux suites.
3) Montrer que
2
n
n
Xm
nS
converge en loi et donner sa limite.
Exercice 2 : Théorème central limite
On effectue n tirages avec remise dans une urne contenant deux boules blanches et quatre
boules bleues. A chaque tirage i=1,…n, on associe la v.a. Xi valant 1 si la boule tirée est
blanche, 0 sinon.
1- Etudier la convergence en probabilité de la suite
1
1n
ni
i
XX
n
.
2- En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer le nombre de tirages
nécessaires
0
n
pour que
1
30.2 0.01.
n
PX  
3- En utilisant le théorème central limite, déterminer une autre valeur
1
n
répondant à la
question précédente et comparer.
Exercice 3 : Variable de Poisson de grand paramètre
On dispose d’un échantillon
1
( ,..., )
n
XX
i.i.d. issu d’une loi de poisson de paramètre θ. Soit
1
n
ni
i
YX
.
1) Etudier la convergence en moyenne et presque sûre de la suite
n
Y
n
.
2) Montrer que
n
Yn
n
converge en loi et préciser sa limite.
3) Exprimer
()
n
P Y n
pour
1
.
4) En déduire que
0
1
lim !2
k
n
n
nk
n
ek
Rq : Si X et Y sont deux variables aléatoires de loi de Poisson de paramètres a et b, X+Y suit
une loi de Poisson de paramètre a+b.

Exercice 4 : Convergence de la suite des minimums
Soit
0
()
nn
X
une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi
[ , 1] U
. On définit la v.a.
1
min( ,..., )
nn
Z X X
.
1- Donner la loi de
n
Z
.
2- Montrer que
n
Z
converge en probabilité vers .
3- Montrer que
()
n
nZ
converge en loi vers une v.a. Z dont on donnera la loi.
Exercice 5 : Convergence en loi d’une variable hypergéométrique
Soit
N
X
une suite de variables aléatoires de loi (N,n,p). Montrer que lorsque N tend vers
l’infini,
N
X
converge en loi vers une variable de loi Binomiale (n,p).
Exercice 6 : Convergence en loi et convergence en probabilités
On tire un nombre au hasard entre 0 et 1. On définit sur l’espace probabilisé
[0,1], ([0,1],PP
les variables aléatoires
11
0,2
1
n
n
X
et
1,1
2
1X
.
1- Calculer les lois et les fonctions de répartitions de ces variables.
2- Montrer que
n
X
converge en loi vers
X
lorsque n tend vers l’infini.
3- Calculer la probabilité
n
P X X
. En prenant un exemple précis de , montrer
que
n
X
ne converge pas en probabilité vers
X
.
Exercice 7 : Variations sur la loi normale
Soient
1
( ,..., )
n
XX
i.i.d. issus d’une loi de densité
2
00
() 20
x
x
fx xe x
1) Calculer
2
11
( ), ( )E X E X
.
2) Etudier la convergence presque sûre de
2
1
1n
ni
i
TX
n
.
3) Etudier la convergence en probabilité de
2
1
nn
i
i
n
WX
.