Suites et limites

PCSI1SUITES RÉELLES - CONVERGENCE - DIVERGENCE (résumé) 2016-2017
I - Limite d’une suite réelle
(1) - Limite finie
Soit 𝑢= (𝑢𝑛)𝑛⩾0= (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ= (𝑢𝑛)∈ℝℕ, une suite réelle.
Définition : soit ℓ, un réel. On dit que la suite 𝑢converge vers ℓsi on peut rendre ∣𝑢𝑛−ℓ∣aussi
petit qu’on veut à partir d’un certain rang (APCR), autrement dit si, pour tout 𝜀 > 0, on peut
toujours trouver un rang 𝑁∈ℕà partir duquel ∣𝑢𝑛−ℓ∣⩽𝜀(pour tout 𝑛⩾𝑁). On a donc :
(𝑢converge vers le réel ℓ)⇔(pour tout 𝜀 > 0, on a : ∣𝑢𝑛−ℓ∣⩽𝜀APCR) .
(i.e)
(𝑢converge vers le réel ℓ)⇔(∀𝜀 > 0,∃𝑁∈ℕ,∀𝑛∈ℕ,(𝑛⩾𝑁⇒ ∣𝑢𝑛−ℓ∣⩽𝜀)) .
On dit que la suite 𝑢converge (ou encore que la suite 𝑢est convergente) s’il existe un réel ℓ
tel que 𝑢converge vers ℓ. Ainsi :
(𝑢converge) ⇔(∃ℓ∈ℝ,∀𝜀 > 0,∃𝑁∈ℕ,∀𝑛∈ℕ,(𝑛⩾𝑁⇒ ∣𝑢𝑛−ℓ∣⩽𝜀)) .
Remarque : ∣𝑢𝑛−ℓ∣⩽𝜀signifie exactement ℓ−𝜀⩽𝑢𝑛⩽ℓ+𝜀.
Rappel : si 𝑎et 𝑏sont des réels, on a ∣𝑎∣−∣𝑏∣⩽∣𝑎±𝑏∣⩽∣𝑎∣+∣𝑏∣.
Proposition (unicité de la limite) : si la suite 𝑢converge vers ℓet converge vers ℓ′, alors ℓ=ℓ′.
Ceci prouve l’unicité de ce que l’on appelle, lorsque la suite 𝑢converge, la limite de la suite 𝑢.
On note ℓ= lim
𝑛→+∞(𝑢𝑛) = lim(𝑢𝑛) = lim(𝑢), ou encore 𝑢𝑛−→ 𝑛→+∞ℓou 𝑢𝑛−→ ℓ.
Proposition : si la suite 𝑢est convergente, alors la suite 𝑢est bornée.
Remarque : la réciproque est fausse, une suite bornée n’étant pas forcément convergente.
Par exemple : 𝑢𝑛= (−1)𝑛,𝑣𝑛= cos(𝑛)définissent des suite bornées, mais non convergentes.
Définition : on dit que la suite 𝑢diverge (ou est une suite divergente) lorsque la suite 𝑢ne
converge pas. Ainsi :
(𝑢diverge) ⇔non(𝑢converge) ⇔non (∃ℓ∈ℝ,∀𝜀 > 0,∃𝑁∈ℕ,∀𝑛∈ℕ,(𝑛⩾𝑁⇒ ∣𝑢𝑛−ℓ∣⩽𝜀))
ou encore :
(𝑢diverge) ⇔(∀ℓ∈ℝ,∃𝜀 > 0,∀𝑁∈ℕ,∃𝑛∈ℕ, (𝑛⩾𝑁et ∣𝑢𝑛−ℓ∣> 𝜀) ).
(2) - Limite infinie
Définition : on dit que la suite 𝑢diverge vers +∞si on peut rendre 𝑢𝑛aussi grand qu’on
veut à partir d’un certain rang, autrement dit si, pour tout 𝐴∈ℝ, on peut toujours trouver un rang
𝑁∈ℕà partir duquel 𝑢𝑛⩾𝐴(pour tout 𝑛⩾𝑁). On a donc :
(𝑢diverge vers +∞)⇔(pour tout 𝐴∈ℝ, on a : 𝑢𝑛⩾𝐴APCR) .
(i.e)
(𝑢diverge vers +∞)⇔(∀𝐴∈ℝ,∃𝑁∈ℕ,∀𝑛∈ℕ,(𝑛⩾𝑁⇒𝑢𝑛⩾𝐴)) .
On note : lim
𝑛→+∞(𝑢𝑛) = lim(𝑢𝑛) = lim(𝑢)=+∞, ou encore 𝑢𝑛−→ 𝑛→+∞+∞ou 𝑢𝑛−→ +∞.
De même, on dit que la suite 𝑢diverge vers −∞ si on peut rendre 𝑢𝑛aussi petit qu’on veut à
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partir d’un certain rang, autrement dit si, pour tout 𝐴∈ℝ, on peut toujours trouver un rang 𝑁∈ℕ
à partir duquel 𝑢𝑛⩽𝐴(pour tout 𝑛⩾𝑁). On a donc :
(𝑢diverge vers −∞)⇔(pour tout 𝐴∈ℝ, on a : 𝑢𝑛⩽𝐴APCR) .
(i.e)
(𝑢diverge vers −∞)⇔(∀𝐴∈ℝ,∃𝑁∈ℕ,∀𝑛∈ℕ,(𝑛⩾𝑁⇒𝑢𝑛⩽𝐴)) .
On note : lim
𝑛→+∞(𝑢𝑛) = lim(𝑢𝑛) = lim(𝑢) = −∞, ou encore 𝑢𝑛−→ 𝑛→+∞−∞ ou 𝑢𝑛−→ −∞ .
Proposition : si la suite 𝑢diverge vers +∞(ou −∞), alors la suite 𝑢n’est pas bornée.
Conséquence : si 𝑢𝑛−→ ±∞, alors 𝑢n’est pas convergente, i.e 𝑢est divergente.
Ce qui signifie : si 𝑢diverge vers +∞ou −∞, alors 𝑢diverge. OUF !
Remarque : une suite divergente est une suite qui
∙soit diverge vers +∞ou diverge vers −∞
∙soit n’a pas de limite.
(3) - Opérations sur les limites
Rappels :
∙pour tous réels 𝑎et 𝑏:∣∣𝑎∣−∣𝑏∣∣ ⩽∣𝑎±𝑏∣⩽∣𝑎∣+∣𝑏∣(double inégalité triangulaire)
∙si 𝑥,𝑎et ℎsont des réels, alors on a l’équivalence : (∣𝑥−𝑎∣⩽ℎ)⇔(𝑎−ℎ⩽𝑥⩽𝑎+ℎ).
Proposition : si, à partir d’un certain rang, on a ∣𝑢𝑛−ℓ∣⩽𝑣𝑛avec 𝑣𝑛→0, alors la suite 𝑢converge
vers ℓ(𝑢𝑛→ℓ).
Proposition : si (𝑢𝑛)est une suite bornée et 𝑣𝑛→0, alors la suite (𝑢𝑛𝑣𝑛)converge vers 0(𝑢𝑛𝑣𝑛→0).
Proposition : si 𝑢et 𝑣convergent, avec 𝑢𝑛→ℓet 𝑣𝑛→ℓ′, alors :
∙𝑢+𝑣converge avec (𝑢𝑛+𝑣𝑛)→ℓ+ℓ′
∙𝑢×𝑣converge avec (𝑢𝑛𝑣𝑛)→ℓℓ′
∙𝜆𝑢 +𝜇𝑣 converge avec (𝜆𝑢𝑛+𝜇𝑣𝑛)→𝜆ℓ +𝜇ℓ′(où 𝜆et 𝜇sont des constantes réelles).
∙ ∣𝑢∣converge avec ∣𝑢𝑛∣→∣ℓ∣
Proposition : si 𝑢converge avec une limite non nulle, i.e 𝑢𝑛→ℓavec ℓ∕= 0, alors :
∙il existe un rang 𝑁0à partir duquel 0<1
2∣ℓ∣⩽∣𝑢𝑛∣⩽3 2∣ℓ∣.
∙𝑢𝑛∕= 0 à partir d’un certain rang.
∙1
𝑢converge avec 1 𝑢𝑛
→1
ℓ
∙si 𝑣𝑛→ℓ′, alors 𝑣𝑛
𝑢𝑛
→ℓ′
ℓ
Opérations avec les limites infinies : si ℓest un réel, on a
∙(+∞) + (+∞)=+∞,(+∞) + ℓ= +∞,(+∞)×(+∞)=+∞,(+∞)×(−∞) = −∞ .
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∙1
±∞ = 0 ,ℓ×(+∞)=(signe de ℓ)∞(si ℓ∕= 0). MAIS :
∙(+∞)+(−∞),±∞
±∞ ,0 0,±∞ × 0,1±∞ ,(+∞)0,1 0sont des formes indéterminées .
∙si 𝑢𝑛>0à partir d’un certain rang, et 𝑢𝑛→0, on note 𝑢𝑛→0+, alors 1
𝑢𝑛
→+∞1
0+= +∞.
(4) - Limites et inégalités
Proposition : si, à partir d’un certain rang, 𝑢𝑛⩾0(ou 𝑢𝑛>0) et si 𝑢converge, alors lim(𝑢𝑛)⩾0.
Proposition : si, à partir d’un certain rang, 𝑢𝑛⩾𝑣𝑛(ou 𝑢𝑛> 𝑣𝑛) et si 𝑢et 𝑣convergent, alors
lim(𝑢𝑛)⩾lim(𝑣𝑛).
ATTENTION :après un «passage à la limite», les inégalités strictes deviennent larges !
Si 𝑢,𝑣convergent et 𝐴<𝑢𝑛< 𝑣𝑛< 𝐵 (à partir d’un certain rang) alors 𝐴⩽lim(𝑢𝑛)⩽lim(𝑣𝑛)⩽𝐵.
Proposition : si 𝑢converge vers ℓ= lim(𝑢𝑛)avec ℓ > 0, alors on a, à partir d’un certain rang, 𝑢𝑛>0,
i.e il existe un rang 𝑁0tel que (𝑛⩾𝑁0⇒𝑢𝑛>0). Mieux, on est assuré d’avoir, à partir d’un certain
rang, 0<1
2ℓ⩽𝑢𝑛⩽3 2ℓ(donc 𝑢𝑛minoré par une constante strictement positive).
Conséquence : si 𝑢et 𝑣convergent, avec lim(𝑢𝑛) = ℓ < ℓ′= lim(𝑣𝑛)alors on est asssuré d’avoir, à
partir d’un certain rang : 𝑢𝑛< 𝑣𝑛.
Exercice (théorème de Césaro) : si 𝑢= (𝑢𝑛)𝑛⩾0est une suite qui converge vers ℓ∈ℝ, alors la suite
𝑐= (𝑐𝑛)𝑛⩾0converge également vers ℓ, où la suite (𝑐𝑛)𝑛⩾0est définie par :
∀𝑛∈ℕ,𝑐𝑛=1
𝑛+ 1 (𝑢0+𝑢1+𝑢2+⋅ ⋅ ⋅ +𝑢𝑛).
Conséquence (lemme de l’escalier) :
si lim
𝑛→+∞(𝑣𝑛+1 −𝑣𝑛) = ℓalors lim 𝑛→+∞𝑣𝑛
𝑛=ℓ(et donc, si ℓ∕= 0,𝑣𝑛∼𝑛ℓ).
(5) - Existence de limites
Théorème de convergence par encadrement (théorème de la maréchaussée...) :
si on a
∙𝑎𝑛⩽𝑢𝑛⩽𝑏𝑛(à partir d’un certain rang)
∙les suites (𝑎𝑛)et (𝑏𝑛)convergent vers la même limite ℓ
alors la suite (𝑢𝑛)converge et lim(𝑢𝑛) = ℓ.
Théorème de divergence par minoration (théorème de l’ascenseur...) :
si on a
∙𝑎𝑛⩽𝑢𝑛(à partir d’un certain rang)
∙lim(𝑎𝑛)=+∞
alors la suite (𝑢𝑛)diverge vers +∞:lim(𝑢𝑛) = +∞.
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Théorème de divergence par majoration :
si on a
∙𝑢𝑛⩽𝑏𝑛(à partir d’un certain rang)
∙lim(𝑏𝑛) = −∞
alors la suite (𝑢𝑛)diverge vers −∞ :lim(𝑢𝑛) = −∞.
Théorème de la limite monotone :
si (𝑢𝑛)est une suite croissante alors
∙si (𝑢𝑛)est majorée (par la constante 𝑀) alors (𝑢𝑛)converge et lim(𝑢𝑛)⩽𝑀.
∙sinon (𝑢𝑛)diverge vers +∞(𝑢𝑛→+∞).
De même :
si (𝑢𝑛)est une suite décroissante alors
∙si (𝑢𝑛)est minorée (par la constante 𝑚) alors (𝑢𝑛)converge et lim(𝑢𝑛)⩾𝑚.
∙sinon (𝑢𝑛)diverge vers −∞ (𝑢𝑛→ −∞).
Conséquence :toute suite réelle monotone possède une limite (finie ou infinie).
(6) - Théorème des suites adjacentes
Définition :
si (𝑢𝑛)est une suite croissante,(𝑣𝑛)une suite décroissante, et si lim(𝑣𝑛−𝑢𝑛) = 0,
alors les deux suites (𝑢𝑛)et (𝑣𝑛)sont dites adjacentes.
Théorème :
si (𝑢𝑛)et (𝑣𝑛)sont des suites adjacentes, alors les deux suites (𝑢𝑛)et (𝑣𝑛)convergent, et possède
la même limite ℓ. On a donc lim(𝑢𝑛) = lim(𝑣𝑛) = ℓ∈ℝ.
Remarque : sous les hypothèses de départ, on a, pour tout 𝑛∈ℕ:𝑢𝑛⩽ℓ⩽𝑣𝑛. Les termes 𝑢𝑛et 𝑣𝑛
sont donc des valeurs approchées (respectivement par défaut et par excès) de ℓà∣𝑣𝑛−𝑢𝑛∣près.
(7) - Caractérisation séquentielle de la borne supérieure
Proposition : soit 𝐴, une partie non vide et majorée de ℝ. Cette partie possède donc une
borne supérieure, notée 𝑆= sup(𝐴). Elle est caractérisée par :
𝑆= sup(𝐴)⇔∙𝑆est un majorant de 𝐴
∙il existe une suite (𝑢𝑛)d’éléments de 𝐴qui converge vers 𝑆
De même, si 𝐴est une partie non vide et minorée de ℝ, alors 𝐴possède une borne inférieure,
notée 𝐼= inf(𝐴). Elle est caractérisée par :
𝐼= inf(𝐴)⇔∙𝑆est un minorant de 𝐴
∙il existe une suite (𝑢𝑛)d’éléments de 𝐴qui converge vers 𝐼
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II - Suites extraites
Définition : soit (𝑢𝑛), une suite réelle. On dit que (𝑣𝑛)est une suite extraite de la suite (𝑢𝑛)
s’il existe une application strictement croissante 𝜑:ℕ→ℕtelle que, pour tout 𝑛∈ℕ,𝑣𝑛=𝑢𝜑(𝑛).
Exemples :
∙𝑝𝑛=𝑢2𝑛(𝜑(𝑛) = 2𝑛) : 𝑝0=𝑢0,𝑝1=𝑢2,𝑝2=𝑢4,𝑝3=𝑢6, ... La suite (𝑝𝑛)est extraite de (𝑢𝑛).
∙𝑖𝑛=𝑢2𝑛+1 (𝜑(𝑛) = 2𝑛+ 1) : 𝑖0=𝑢1,𝑖1=𝑢3,𝑖2=𝑢5,𝑖3=𝑢7, ... (𝑖𝑛)est extraite de (𝑢𝑛).
∙𝑠𝑛=𝑢𝑛+1 (𝜑(𝑛) = 𝑛+ 1) : 𝑠0=𝑢1,𝑠1=𝑢2,𝑠2=𝑢3,𝑠3=𝑢4, ... (𝑠𝑛)est extraite de (𝑢𝑛).
∙𝑐𝑛=𝑢𝑛2(𝜑(𝑛) = 𝑛2) : 𝑐0=𝑢0,𝑐1=𝑢1,𝑐2=𝑢4,𝑐3=𝑢9, ... (𝑐𝑛)est extraite de (𝑢𝑛).
Proposition : si une suite (𝑢𝑛)possède une limite (finie ou infinie), alors toutes ses suites extraites
possèdent la même limite.
Conséquences : pour prouver qu’une suite (𝑢𝑛)n’a pas de limite, il suffit
∙soit de trouver une suite extraite de (𝑢𝑛)qui n’a pas de limite
∙soit de trouver deux suites extraites de (𝑢𝑛)qui ont des limites différentes.
Un résultat intéressant :si les deux suites extraites de (𝑢𝑛),(𝑢2𝑛)et (𝑢2𝑛+1), possèdent la même limite
ℓ∈ℝ(finie ou infinie), alors on a forcément 𝑢𝑛→ℓ.
Autrement dit : (lim(𝑢2𝑛) = lim(𝑢2𝑛+1) = ℓ)⇒(lim(𝑢𝑛)existe et lim(𝑢𝑛) = ℓ).
III - Suites récurrentes du type 𝑢𝑛+1 =𝑓(𝑢𝑛)
Proposition : soit 𝑓, une fonction définie sur un intervalle 𝐼telle que 𝐼est stable par 𝑓(i.e
∀𝑥∈𝐼,𝑓(𝑥)∈𝐼, qu’on note 𝑓(𝐼)⊂𝐼). On a donc 𝑓:𝐼→𝐼.
On définit une suite unique 𝑢par : 𝑢0∈𝐼et ∀𝑛∈ℕ,𝑢𝑛+1 =𝑓(𝑢𝑛). La suite 𝑢ainsi construite est à
valeurs dans l’intervalle 𝐼(∀𝑛∈ℕ,𝑢𝑛∈𝐼). On a les résultats suivants :
∙si 𝑓est une fonction croissante sur l’intervalle 𝐼: alors la suite (𝑢𝑛)est monotone (croissante
ou décroissante : la monotonie de 𝑢est alors fixée par la comparaison de 𝑢0et 𝑢1).
∙si 𝑓est une fonction décroissante sur l’intervalle 𝐼: alors les suites extraites (𝑢2𝑛)et (𝑢2𝑛+1)
sont monotones, et de monotonies contraires (l’une est croissante, l’autre est décroissante).
∙si 𝑓n’est pas une fonction monotone sur l’intervalle 𝐼: alors ... ça se complique !
IV - Suites complexes
Définition : soit (𝑧𝑛)𝑛∈ℕ, une suie à valeurs complexes. Ainsi, pour tout 𝑛∈ℕ,
𝑧𝑛=𝑥𝑛+𝑖𝑦𝑛∈ℂ, où 𝑥𝑛=Re(𝑧𝑛)∈ℝet 𝑦𝑛=Im(𝑧𝑛)∈ℝ.
On dit que la suite complexe 𝑧= (𝑧𝑛)converge vers le complexe ℓsi :
∀𝜀 > 0,∃𝑁∈ℕ,∀𝑛∈ℕ,(𝑛⩾𝑁⇒ ∣𝑧𝑛−ℓ∣⩽𝜀)
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