Seizieme programme de colle - PCSI-2

Programme de colle numéro 16.
Semaine du lundi 6 mars 2017 au vendredi 10 mars 2017.
I.Dimension finie.
Voir le précédent programme de colle.
II. Dérivabilité.
1. Dérivabilité en un point, dérivabilité à droite et à gauche.
2. Dérivabilité et continuité.
3. Dérivabilité et condition nécessaire d’existence d’un extremum local(Cours).
4. Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée, opérations.
5. Théorème de Rolle(Cours).
6. 1) Egalité des accroissements finis.
2) a) Définition d’une fonction k-lipschitzienne sur I;
b) Inégalité des accroissements finis : si f est dérivable sur I et si k est un réel positif tel
que x  I , f ' ( x)  k alors f est k-lipschitzienne
sur I.
3) Applications aux suites définies par u n 1 =f(u n ) :
a) S’il existe un intervalle J inclus dans I ,contenant  et un réel k appartenant à 0,1 tels
que x  J , f ( x)    x   ,alors pour u 0 appartenant à J , la suite converge vers  .
b) Soit  appartenant à I tel que f ()   ; s’il existe k appartenant à 0,1 tel que f est est
k-lipschitzienne sur I alors la suite converge vers  .
7. Applications.
1) Condition suffisante de dérivabilité en un point :
a) Soit I un intervalle inclus dans ℝ et soit a appartenant à I ; si f est continue sur I,dérivable en tout point de I\{a},si la restriction de f ‘ à I\{a}a une limite finie  quand x tend
vers a ,alors f est dérivable en a et f’(a)=  .
b) Soit I un intervalle inclus dans ℝ et soit a appartenant à I ; si f est continue sur I,dérivable en tout point de I\{a},si la restriction de f ‘ à I\{a}a pour limite  () quand x
tend vers a,alors x 
f ( x)  f (a )
tend vers  () quand x tend vers a .
xa
2) Au sens de variation d’une fonction :monotonie et stricte monotonie.
8. Fonctions de classe C n sur un intervalle I.
1) Dérivées successives :définitions,opérations dont la formule de Leibniz(Cours).
2) Fonctions de classe C n sur un intervalle : définitions, opérations dont la composée et la
réciproque,exemples.
Les résultats marqués « Cours » peuvent être demandés en question de cours.:
Remarque : aucune propriété concernant les fonctions k-lipschitziennes n’est au
programme