Logique, Récurrences et Inégalités

Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre d’automne 2010-2011
Math I - PMI
Feuille d’exercices no1
Logique-R´ ecurrence-In´ egalit´ es-Etude de fonctions
1 Logique et quantificateurs
Exercice 1. On rappelle que le “OU exclusif”de deux propri´et´es est une proposition qui est v´erifi´ee si et seulement
si une et une seule des deux propositions est v´erifi´ee. Donner la table de v´erit´e du “OU exclusif”.
Exercice 2. Montrer la transitivit´e de l’implication, c’est-`a-dire que pour des propositions P, Q, R, on a
((P⇒Q) et (Q⇒R)) ⇒(P⇒R).
Indication : faire une table de v´erit´e.
Exercice 3. Soit Pla proposition «Paul a son permis de conduire »et soit Qla proposition «Paul a plus de
18 ans ».
1. L’´enonc´e (P⇒Q) est-il vrai ?
2. L’´enonc´e (Q⇒P) est-il vrai ?
3. L’´enonc´e (P⇔Q) est-il vrai ?
Exercice 4. Compl´eter, lorsque c’est possible, avec ∀ou ∃pour obtenir les ´enonc´es vrais les plus forts.
1. . . . x ∈R, (x+ 1)2=x2+ 2x+ 1 .
2. . . . x ∈R,x2+ 3x+ 2 = 0.
3. . . . x ∈R, 2x+ 1 = 0.
4. . . . x ∈N,x≤π.
5. . . . x ∈R,x2+ 2x+ 3 = 0.
Exercice 5. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Lorsqu’elles sont fausses, ´enoncer leur n´ega-
tion.
1. ∃x∈N,x2>7.
2. ∀x∈N,x2>7.
3. ∀x∈N,∃y∈N,y > x2.
4. ∃y∈N,∀x∈N,y > x2.
Exercice 6. Traduire lorsque c’est possible les phrases suivantes `a l’aide de quantificateurs math´ematiques et
donner leur n´egation.
1. Toutes les boules contenues dans l’urne sont rouges.
2. Certains nombres entiers sont pairs.
3. Si le nombre entier nest divisible par 4, alors il se termine par 4.
1

Soit f:R→R.
4. fest positive sur R.
5. fest paire sur R.
Exercice 7. Soit Pla proposition «Pour tout nombre r´eel x, il existe au moins un entier naturel Nsup´erieur
ou ´egal `a x».
1. Traduire la proposition P`a l’aide de quantificateurs math´ematiques.
2. Ecrire la n´egation de P en fran¸cais ainsi qu’`a l’aide de quantificateurs.
Exercice 8. Notons El’ensemble des ´etudiants de l’universit´e Lyon 1, Sl’ensemble des jours de la semaine et
pour un ´etudiant x,hj(x) son heure de r´eveil le jour j.
1. Ecrire avec des symboles math´ematiques la proposition : «Tout ´etudiant de l’universit´e Lyon 1 se r´eveille
au moins un jour de la semaine avant 8h ».
2. Ecrire la n´egation de cette proposition avec des symboles math´ematiques puis l’´enoncer en fran¸cais.
Exercice 9. Ecrire en fran¸cais la proposition suivante (Pd´esigne le plan et Dl’ensemble des droites du plan).
∀D∈ D,∀M∈ P, M /∈D=⇒ ∃∆∈ D,((M∈∆) et (D∩∆ = ∅)) .
Exercice 10. Ecrire la n´egation des propositions suivantes :
1. (x= 2) et ((x+y= 5) ou (y≥3)), o`u xet ysont des nombres r´eels.
2. ∀x∈R,∀ε > 0,∃η > 0,∀y∈R,|x−y|< η ⇒ |f(x)−f(y)|< ε.
3. ∀ε > 0,∃N∈N,∀x∈R,∀n∈N, n ≥N⇒ |fn(x)−f(x)|< ε.
Exercice 11. Montrer que la proposition «∀n∈N,2n+ 3nest un nombre premier »est fausse.
Exercice 12. Les ´enonc´es suivants sont-ils vrais ou faux ? Justifier vos assertions.
1. ∃(x, y, z)∈Z3\ {(0,0,0)},x2+y2=z2.
2. ∀(x, y, z)∈Z3,x2+y2=z2.
2 Raisonnement par r´ecurrence
Exercice 13. Montrer que pour tout entier n∈N,
n
X
k=0
k=n(n+ 1)
2.
Exercice 14. Pour tout n≥1, on d´esigne par S1(n), S2(n) et S3(n) les sommes suivantes
S1(n) = 1 + 2 + 3 + . . . +n,
S2(n)=12+ 22+ 32+. . . +n2,
S3(n)=13+ 23+ 33+. . . +n3.
1. A l’aide de l’identit´e remarquable
(x+ 1)3=x3+ 3x2+ 3x+ 1,
trouver une relation entre S2(n) et S1(n). En d´eduire la valeur de S2(n) (se servir de l’exercice pr´ec´edent).
2

2. Montrer en utilisant une d´emonstration par r´ecurrence que, pour tout n≥1, on a S3(n)=(S1(n))2.
En d´eduire la valeur de S3(n).
Exercice 15. Montrer que pour tout entier n∈N, l’entier 10n−1 est divisible par 9.
Exercice 16. Montrer que pour tout entier n≥2, Sn= 1 + 1
2+. . . +1 nn’est pas un entier.
Exercice 17. On d´efinit, pour tout entier n∈N,An= 32n+2 −2n+1.
1. Calculer An+1 −2An.
2. Montrer par r´ecurrence que pour tout n≥1, Anest divisible par 7.
3 Quelques in´egalit´es
Exercice 18. Soient deux nombres r´eels aet bv´erifiant : −1< a < 4 et −3< b < −1. Donner un encadrement
de a−bet de a/b.
Exercice 19. Soient x1, . . . , xndes r´eels compris entre 0 et 1. Montrer que :
n
Y
i=1
(1 −xi)≥1−
n
X
i=1
xi.
Exercice 20. Soient x, y et zdes nombres r´eels. Montrer que l’on a x2+y2≥2xy. En d´eduire l’in´egalit´e
x2+y2+z2≥xy +yz +zx.
Montrer que l’on a (x+y)2≥4xy. En d´eduire que si x, y et zsont positifs ou nuls, alors on a
(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz.
Exercice 21. Soient aet bdeux nombres r´eels strictement positifs. Montrer que
a2
a+b≥3a−b 4.
En d´eduire que si a, b et csont des nombres r´eels strictement positifs, alors on a
a2
a+b+b2 b+c+c2 c+a≥a+b+c 2.
Exercice 22. Montrer que pour tout entier nstrictement positif,
n
X
k=1
1
√k<√n+√n+ 1 −1.
4 Etude de fonctions
Exercice 23. On consid`ere la fonction fd´efinie par : f(x) = x3+ 9x
x2+ 1 ,∀x∈R.
1. Montrer que fest impaire.
2. Dresser le tableau de variations de fsur [0; +∞[.
(On remarquera que f0(x) = x2−a
x2+ 1 2
,a´etant `a d´eterminer)
3. D´eterminer une ´equation de la tangente, not´ee (T), `a la courbe (Cf), au point d’abscisse 0.
Etudier la position de (T) par rapport `a (Cf).
4. Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique, not´ee (∆) en +∞.
5. Tracer (Cf), (T) et (∆).
3

Exercice 24. Etudier les fonctions suivantes (domaine, d´eriv´ee, limites, tableau de variations, courbe) :
1. ln |2−5x|;
2. ln x−2
(ln x)2;
3. xln x−x;
4. ln x
√x;
5. e−x+x−1 ;
6. e2x−1
x−2;
7. (2x−1)e−x;
8. (x2−2)e2x;
4