Cours condense TES integration

Terminale ES Intégration
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Intégrale d’une fonction continue et positive
Définition
Dans un repère orthogonal (O,I,J), on appelle unité d’aire (notée
u.a.) l’aire du rectangle OIKJ, où K est le point de coordonnées (1;1).
I Notion d’intégrale : cas d’une fonction continue et positive
Définition
f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
Le domaine situé sous la courbe C est le domaine situé entre C,
l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.
Définition
f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
L’intégrale de a à b de la fonction f est l’aire, en unités d’aire, du domaine situé sous sa
courbe C.
On la note ⌡
⌠
ab
f(x)dx (lire « intégrale de a à b de f »).
Conséquence :
Pour toute fonction continue et positive sur [a;b], ⌡
⌠
ab
f(x)dx est un nombre réel positif ou
nul.
Remarques :
• On dit que x est une variable muette car elle n’intervient pas dans le résultat.
Ainsi : ⌡
⌠
ab
f(x)dx = ⌡
⌠
ab
f(t)dt = ⌡
⌠
ab
f(u)du
• C’est le mathématicien allemand Leibniz (1646 – 1716) qui a introduit le symbole ∫. Il
s’agit d’un S, initiale du mot latin « summa » (sommation).
II Propriétés
f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
• Il résulte de la définition que ⌡
⌠
aa
f(x)dx ;
• Il résulte de l’additivité des aires la propriété suivante nommée relation de Chasles.
Pour tous réels a, b, c tels que a ≤ b ≤ c :
⌡
⌠
ac
f(x)dx = ⌡
⌠
ab
f(x)dx + ⌡
⌠
b
c
f(x)dx
• On peut utiliser l’invariance de l’aire par translation ou symétrie.
Exemple : les deux polygones sont superposables par translation.
Donc ⌡
⌠
0
4
f(x)dx = ⌡
⌠
4
8
f(x)dx
Notion de primitives
III Théorème fondamental
Théorème
Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b], alors la fonction F définie
par F(x) = ⌡
⌠
ax
f(t)dt est dérivable sur [a;b] et a pour dérivée f.

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Exemple :
f est la fonction définie sur [0;2] par f(x) = 3x.
f est continue et positive sur [0;2].
Pour x ∈ [0;2], F(x) = ⌡
⌠
0
x
f(t)dt est l’aire, en unités d’aire, du
triangle OAB avec A(x;0) et B(x;f(x)). Ainsi, F(x) = x×3x
2 = 3 2x²
F est dérivable sur [0;2] et F’(x) = 3
2×2x = 3x = f(x)
IV Primitives d’une fonction sur un intervalle
Définition
f est une fonction définie sur un intervalle I.
Dire que F est une primitive de f sur I signifie que F est dérivable sur I et que F’ = f.
Exemple :
La fonction F : x 1
3x
3
+ 5 est une primitive sur  de la fonction f : x x²
En effet, F est dérivable sur  F’(x) = 1
3×3x² = x².
Propriété :
f est une fonction définie sur un intervalle I et qui admet une primitive F sur I.
1. L’ensemble des primitives de f sur I est constitué par les fonctions G définies sur I par
G(x) = F(x) + C où C décrit .
2. Il existe une primitive de f sur I et une seule telle que G(x
0
) = y
0
où x
0
est un nombre
réel donné de I et y
0
est un nombre réel donné.
Remarque
Si f est une fonction continue et positive sur [a;b], alors x ⌡
⌠
ax
f(t)dt est la primitive de
f sur [a;b] qui s’annule en a.
Calcul de primitives
V Fonctions continues et primitives
Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Exemple :
La fonction inverse est continue sur ]0; + ∞[, donc elle admet des primitives sur ]0; + ∞[.
Or, on sait que pour tout x > 0, ln’(x) = 1
x donc les primitives de x sont les fonctions
x  ln(x) + C avec C ∈ .
Remarque :
La fonction x  exp(-x²) est continue sur , donc elle admet des primitives sur , mais on
n’en connait pas de primitive « explicite ».

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VI Formulaire de primitives
Ces formules s’obtiennent par lecture inverse des formules connues de dérivées.
Par la suite, C désigne un nombre réel.
Primitives de fonctions usuelles
f est définie sur I
par f(x) =
Les primitives de f sur I
sont définies par F(x) = ….
L’intervalle I = ….
k (avec k ∈ ) kx + C 
x
1
2x² + C 
x
n
(n ∈ ) 1
n + 1x
n+1
+ C 
1
x ln(x) + C ]0; + ∞ [
- 1
x² 1 x + C ]- ∞;0[ ou ]0; + ∞[
1
x x
2 + C ]0; + ∞
[
ex ex + C
Primitives et opérations sur les fonctions
u est une fonction dérivable sur I.
Fonction f
Primitives de f sur I
Conditions sur u
uu' 1
2u² + C
u’
u² - 1 u + C u(x) ≠ 0 sur I
u‘e
u
e
u
+ C

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Intégrale d’une fonction de signe quelconque
VII Calcul d’une intégrale
Cas d’une fonction continue et positive
Propriété :
f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] et F est une primitive de f sur
[a;b].
⌡
⌠
ab
f(x)dx = F(b) - F(a)
Cas d’une fonction continue et de signe quelconque
Définition
f est une fonction continue sur un intervalle [a;b].
L’intégrale de a à b de f est le nombre réel F(b) – F(a) où F est une primitive de f sur
[a;b]. On note encore ⌡
⌠
ab
f(x)dx.
Pour calculer ⌡
⌠
ab
f(x)dx on détermine d’abord une primitive F de f sur [a;b] et on écrit :
⌡
⌠
ab
f(x)dx = [F(x)]
ab
= F(b) – F(a)
Exemple :
I = ⌡
⌠
-2
5
1
4x - 2 dx = 
1
8x² - 2x
-2
5
=
1
8×5² - 2×5 – 
1
8×(-2)² - 2×(-2)
I =25
8
-
10 – 1
2 - 4 = 25-10×8 - 1×4 – 4 8 = - 91 8
VIII Valeur moyenne
Définition
La valeur moyenne d’une fonction f continue sur un intervalle [a;b] (avec a < b) est le nombre
µ défini par : µ = 1
b - a⌡
⌠
ab
f(x)dx
Interprétation graphique : cas où f est positive sur [a;b]
Dans un repère orthogonal, C est la courbe représentative de la fonction f.
Alors ⌡
⌠
ab
f(x)dx = µ(b – a)
Donc l’aire du domaine situé sous la courbe C est égale à l’aire du rectangle (en vert ci-
contre) de dimensions µ et (b – a).