Terminale ES Intégration Intégrale d’une fonction continue et positive Définition Dans un repère orthogonal (O,I,J), on appelle unité d’aire (notée u.a.) l’aire du rectangle OIKJ, où K est le point de coordonnées (1;1). I Notion d’intégrale : cas d’une fonction continue et positive Définition f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. Le domaine situé sous la courbe C est le domaine situé entre C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b. Définition f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. L’intégrale de a à b de la fonction f est l’aire, en unités d’aire, du domaine situé sous sa courbe C. b On la note ⌠ ⌡a f(x)dx (lire « intégrale de a à b de f »). Conséquence : b Pour toute fonction continue et positive sur [a;b], ⌠ ⌡a f(x)dx est un nombre réel positif ou nul. Remarques : • On dit que x est une variable muette car elle n’intervient pas dans le résultat. b b b Ainsi : ⌠ ⌡a f(x)dx = ⌠ ⌡a f(t)dt = ⌠ ⌡a f(u)du • C’est le mathématicien allemand Leibniz (1646 – 1716) qui a introduit le symbole ∫. Il s’agit d’un S, initiale du mot latin « summa » (sommation). II Propriétés f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. a • Il résulte de la définition que ⌠ ⌡a f(x)dx ; • Il résulte de l’additivité des aires la propriété suivante nommée relation de Chasles. Pour tous réels a, b, c tels que a ≤ b ≤ c : c b c ⌠ ⌡a f(x)dx = ⌠ ⌡a f(x)dx + ⌠ ⌡b f(x)dx • On peut utiliser l’invariance de l’aire par translation ou symétrie. Exemple : les deux polygones sont superposables par translation. 4 8 Donc ⌠ ⌡0 f(x)dx = ⌠ ⌡4 f(x)dx Notion de primitives III Théorème fondamental Théorème Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b], alors la fonction F définie x par F(x) = ⌠ ⌡a f(t)dt est dérivable sur [a;b] et a pour dérivée f. 1 Terminale ES Intégration Exemple : f est la fonction définie sur [0;2] par f(x) = 3x. f est continue et positive sur [0;2]. x Pour x ∈ [0;2], F(x) = ⌠ ⌡0 f(t)dt est l’aire, en unités d’aire, du triangle OAB avec A(x;0) et B(x;f(x)). Ainsi, F(x) = x×3x 3 = x² 2 2 3 F est dérivable sur [0;2] et F’(x) = ×2x = 3x = f(x) 2 IV Primitives d’une fonction sur un intervalle Définition f est une fonction définie sur un intervalle I. Dire que F est une primitive de f sur I signifie que F est dérivable sur I et que F’ = f. Exemple : 1 3 3x + 5 est une primitive sur 1 En effet, F est dérivable sur F’(x) = ×3x² = x². 3 La fonction F : x de la fonction f : x x² Propriété : f est une fonction définie sur un intervalle I et qui admet une primitive F sur I. 1. L’ensemble des primitives de f sur I est constitué par les fonctions G définies sur I par G(x) = F(x) + C où C décrit . 2. Il existe une primitive de f sur I et une seule telle que G(x0) = y0 où x0 est un nombre réel donné de I et y0 est un nombre réel donné. Remarque Si f est une fonction continue et positive sur [a;b], alors x x ⌠ ⌡a f(t)dt est la primitive de f sur [a;b] qui s’annule en a. Calcul de primitives V Fonctions continues et primitives Théorème Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Exemple : La fonction inverse est continue sur ]0; + ∞[, donc elle admet des primitives sur ]0; + ∞[. 1 Or, on sait que pour tout x > 0, ln’(x) = donc les primitives de x sont les fonctions x x ln(x) + C avec C ∈ . Remarque : La fonction x exp(-x²) est continue sur n’en connait pas de primitive « explicite ». , donc elle admet des primitives sur , mais on 2 Terminale ES Intégration VI Formulaire de primitives Ces formules s’obtiennent par lecture inverse des formules connues de dérivées. Par la suite, C désigne un nombre réel. Primitives de fonctions usuelles f est définie sur I par f(x) = Les primitives de f sur I sont définies par F(x) = …. k (avec k ∈ kx + C 1 x² + C 2 x xn (n ∈ ) 1 x - ) L’intervalle I = …. 1 x² 1 x ex 1 n+1 x +C n+1 ln(x) + C ]0; + ∞ [ 1 +C x ]- ∞;0[ ou ]0; + ∞[ 2 x+C ]0; + ∞[ ex + C Primitives et opérations sur les fonctions u est une fonction dérivable sur I. Fonction f Primitives de f sur I uu' 1 u² + C 2 u’ u² - u‘eu eu + C 1 +C u Conditions sur u u(x) ≠ 0 sur I 3 Terminale ES Intégration Intégrale d’une fonction de signe quelconque VII Calcul d’une intégrale Cas d’une fonction continue et positive Propriété : f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] et F est une primitive de f sur [a;b]. b ⌠ ⌡a f(x)dx = F(b) - F(a) Cas d’une fonction continue et de signe quelconque Définition f est une fonction continue sur un intervalle [a;b]. L’intégrale de a à b de f est le nombre réel F(b) – F(a) où F est une primitive de f sur b [a;b]. On note encore ⌠ ⌡a f(x)dx. b Pour calculer ⌠ ⌡a f(x)dx on détermine d’abord une primitive F de f sur [a;b] et on écrit : b b ⌠ ⌡a f(x)dx = [F(x)]a = F(b) – F(a) Exemple : 5 1 1 ⌠ 51 1 I = x - 2 dx = x² - 2x = ×5² - 2×5 – ×(-2)² - 2×(-2) 8 -2 8 8 ⌡-24 25 1 25-10×8 - 1×4 – 4 91 I= 10 – - 4 = =8 2 8 8 VIII Valeur moyenne Définition La valeur moyenne d’une fonction f continue sur un intervalle [a;b] (avec a < b) est le nombre 1 ⌠ bf(x)dx µ défini par : µ = b - a⌡a Interprétation graphique : cas où f est positive sur [a;b] Dans un repère orthogonal, C est la courbe représentative de la fonction f. b Alors ⌠ ⌡a f(x)dx = µ(b – a) Donc l’aire du domaine situé sous la courbe C est égale à l’aire du rectangle (en vert cicontre) de dimensions µ et (b – a). 4