Calcul intégral

BTS DOMOTIQUE Calcul intégral 2008-2010
Calcul intégral
Table des matières
I Primitives 2
I.1 Définitions............................................... 2
I.2 Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2.1 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.2.2 Opérations sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Intégrale d’une fonction 4
III Interprétation graphique : calcul d’aire 5
III.1 Aire d’un fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III.2 Aire d’une fonction négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III.3 Aire d’une fonction quelconque : découpage d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV Propriétés de l’intégrale 6
IV.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.2Linéarité................................................ 7
IV.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV.4 Inégalité de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV.5 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V Méthodes de calcul d’intégrales 9
V.1 Intégration par partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
V.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
V.2.1 Changement de variable du type x→x+β........................ 9
V.2.2 Changement de variable du type x→αx lorsque α6=0 ................. 10
V.2.3 Cas général : changement de variable du type x→ϕ(x) ................. 10
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Dans tout le chapitre, aet bsont deux réels d’un intervalle Ibornes incluses tels que a≤b.
I Primitives
I.1 Définitions
Définition 1
Soit fune fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de fsur Itoute fonction Fdéfinie et dérivable sur Ivérifiant
F′(x) = f(x)pour tout x∈R.
Exemple 1
Considérons la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = 3x2.
➔La fonction Fdéfinie sur Rpar F(x) = x3est une primitive de fsur Rpuisque F′(x) = f(x).
➔La fonction Gdéfinie sur Rpar G(x) = x3+ 2 est aussi une primitive de fsur Rpuisque G′(x) = f(x).
Exemple 2
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = x
√x2+ 3, alors la fonction Fdéfinie sur Rpar F(x) = √x2+ 3 + πest une
primitive de f.
➔On calcule F′, la dérivée de Fet on vérifie que l’on obtient f:
➔F′(x) = 2x
2√x2+ 3 + 0 = x
√x2+ 3 =f(x).
Propriété 1
Soit fune fonction définie sur un intervalle Ide R,kun réel, x0∈Iet y0∈Rfixés.
♦Si fest dérivable sur I, alors fpossède au moins une primitive sur I.
♦Si fadmet une primitive Fsur I, les primitives de fsont les fonctions du type F(x) + k
♦Si fest dérivable sur I, il existe une unique primitive Fde fsur Itelle que F(x0) = y0.
Exemple 3
➔Les fonctions F0(x) = 1
4x4,F1(x) = 1 4x4+ 1,F2(x) = 1 4x4+ 2, ... , Fk(x) = 1 4x4+kavec k∈R
sont toutes des primitives de la fonctions f.
➔Cependant, il n’existe qu’une unique primitive Fde fvérifiant F(0) = 1 : il s’agit de F1.
I.2 Calculs de primitives
L’objet de ce paragraphe est de présenter quelques techniques simples permettant l’obtention de primitives
de fonctions données sur un intervalle déterminé.
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I.2.1 Primitives des fonctions usuelles
La lecture du tableau des primitive se fait en lisant celui des dérivées « à l’envers ».
Les fonctions fsuivantes sont définies, dérivables sur l’intervalle I,nest un entier relatif différent de −1.
Obtention de primitives par lecture inverse du tableau des dérivées :
f(x) une primitive F(x) conditions
0k I =R
a ax I =R
xnxn+1
n+ 1 I=Rsi n > 0
I=R∗si n < 0
1
x2−1 xI=R∗
1
√x2√x I =R∗
+
cos xsin x I =R
sin x−cos x I =R
exexI=R
1
xln x I =R∗
+
Remarque 1
Pour obtenir toutes les primitives d’une fonction fdonnée, il suffit de rajouter une constante.
Exemple 4
➔Une primitive de la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = x8est F(x) = 1
9x9.
➔Une primitive de la fonction fdéfinie sur R∗
+par f(x) = 1
x8est F(x) = −1 7x7.
I.2.2 Opérations sur les primitives
uet vsont des fonctions de primitives Uet Vsur un intervalle I.
Tableau des opérations sur les primitives :
Forme de la fonction Une primitive Conditions
u+v U +V
k×u k ×U
u′unun+1
n+ 1 n∈N
u′
un−1 (n−1) un−1n∈N∗
u′
√u2√u u(x)>0
u′cos usin u
u′sin u−cos u
u′eueu
u′
uln u u(x)>0
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Exemple 5
On cherche à déterminer dans chacun des cas suivant une primitive Fde le fonction fsur l’intervalle I:
➔f(x) = 4x2et I=R:F(x) = 4 ×x3
3=4x3 3.
➔f(x) = 2x(x2−1)5et I=R:f(x) = (x2−1)′(x2−1)5donc F(x) = (x−1)6
6.
➔f(x) = 3
√3x−6et x > 2:f(x) = (3x−6)′ √3x−6donc F(x) = 2√3x−6.
➔f(x) = 2x+ 2 cos(2x)−6 sin(3x−1) et I=R:f(x) = 2x+ (2x)′cos(2x)−2(3x−1)′sin(3x−1)
donc F(x) = x2+ sin(2x) + 2 cos(3x−1).
➔f(x) = −9e−3x−1et I=R:f(x) = 3(−3x−1)′e−3x−1donc : F(x) = 3 e−3x−1.
➔f(x) = 4x−2
x2−x+ 3 et I=R:f(x) = 2(x2−x+ 3)′ x2−x+ 3 donc : F(x) = 2 ln(x2−x+ 3).
II Intégrale d’une fonction
Définition 2
On appelle intégrale de fsur [a;b]le nombre réel F(b)−F(a)où Fest une primitive quelconque de f
sur I. Il est noté
Zb
a
f(x)dx =F(b)−F(a).
Exemple 6
Calcul de l’intégrale : Z3
2
x dx :
➔Une primitive de f(x) = xest F(x) = x2
2.
➔donc, Z3
2
x dx =F(3) −F(2) = 9
2−4 2=5 2.
Remarque 2
•L’intégrale d’une fonction fsur [ a;b] est indépendante du choix de la primitive F.
•On note aussi Zb
a
f(x)dx = [F(x)]b
a=F(b)−F(a).
•Dans l’écriture Zb
a
f(x)dx, la variable xest « muette », ce qui signifie que Zb
a
f(x)dx =Zb
a
f(t)dt =...
Le dx ou dt détermine la variable par rapport à laquelle on intègre la fonction : x, ou t.
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III Interprétation graphique : calcul d’aire
III.1 Aire d’un fonction positive
Propriété 2
Si fest une fonction positive sur [ a;b], alors Zb
a
f(x)dx est égal à l’aire du domaine compris entre
la courbe de f, l’axe des abcsisses et les droites d’équations x=aet x=bexprimée en unité d’aire.
Exemple 7
Calcul de l’aire du domaine compris entre la courbe d’équa-
tion 1
x, l’axe des abcsisses, et les droites d’équations x=1 2
et x= 4 dans un repère orthonormé (O;−→ i;−→ j)d’unité gra-
phique 1cm :
Z4
1
2
1
xdx = [ln(x)]4
1
2= ln 4 −ln 1
2= ln 4 + ln 2
Z4
1
2
1
xdx = ln 8 = 3 ln 2 U.A. ≈2,08 cm2.1 2 3 4−1
1
2
3
−1
III.2 Aire d’une fonction négative
Si la fonction fest négative, alors la fonction −fest positive et les courbes sont symétriques par rapport à
l’axe des abscisses.
Dans ce cas, A=Zb
a
[−f(x)] dx.
Exemple 8
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = x3
27 −x2 3.
fest négative sur l’intervalle [ 0 ; 9 ]. Pour calculer l’aire du domaine compris entre la courbe de f, l’axe des abcsisses,
et les droites d’équation x= 0 et x= 9, il suffit de calculer l’aire du domaine compris entre la courbe de −f, l’axe des
abcsisses, et les droites d’équation x= 0 et x= 9 :
Graphique de f:
A1
Graphique de −f:
A2
A1=A2=Z9
0
[−f(x)] dx =Z9
0−x3
27 +x2 3dx =−x4 108 +x3 99
1
=81
4U.A.
.
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