Le cours - Playmaths

Intégration
I. Intégrale d’une fonction positive
1) Définitions
Unité d’aire :
Dans un repère orthogonal (O,Error!,Error!), l’unité d’aire (u.a.) est
l’aire du rectangle unitaire OIAJ, où Error!= OI et Error! = OJ
Exemple :
Si les unités sont 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnées, alors l’unité
d’aire est 6 cm².
Définition :
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]
et soit D le domaine du plan défini par
D = {M(x ; y) P, a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x)}
On appelle intégrale de f entre a et b l’aire, exprimée en unités
d’aire (u.a.) du domaine D.
Ce nombre est noté
b
 f(x) dx
a
a et b sont appelés les bornes de l’intégrale.
Sens de cette notation :
On « découpe » la surface concernée en plusieurs petits rectangles.
Chaque rectangle a pour aire f(x).dx
Puis pour obtenir une approximation de cette aire, on fait la somme des aires de ces
rectangles :
b
 f(x) dx
a
Puis on fait tendre dx vers 0 pour obtenir l’aire cherchée : lim
dx 0
pour exprimer la continuité :
b
 f(x) dx , ce qu’on note,
a
b
 f(x) dx .
a
Ex 4 à 13 p.190
2) Premières propriétés
a
 f(t) dt = 0
a
dem : [a ; a] = {a}, l’aire du domaine D est nulle.
1
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3) Relation de Chasles
Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I.
Pour tous réels a, b et c de I :
b
 f(x) dx +
a
c
 f(x) dx =
b
c
 f(x) dx
a
Interprétation dans le cas où f est positive
et a ≤ b ≤ c :
II. Lien entre intégrale et primitive
1) Théorème ( admis)
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I et x un réel de [a ; b], la fonction
F définie sur [a ; b] par F(x) =
x
 f(t) dt est dérivable sur l’intervalle [a ; b] et sa dérivée est
a
la fonction f.
Pour tout réel x de [a ; b], on a F’(x) = f(x).
Exemple :
f(t) = 2t sur [0 ; 10]
Sur [0 ; 10], la fonction f est positive, continue, donc
x
x
0
0
x
 f(t) dt existe.
0
Cette intégrale est l’aire du triangle …  f(t) dt   (2t) dt 
1
 x  2x  x².
2
Ex 15-16 p.190
2) Primitive d’une fonction
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I dont la dérivée est f.
Ainsi, pour tout x de I, F’(x) = f(x)
Ex 27-28 p.192
Ex 17 à 21 p.192
Théorème :
Soit F une primitive de la fonction f sur un intervalle I.
Alors f admet une infinité de primitives. Les autres primitives de f sur I sont les fonctions
G définies sur I par : G(x) = F(x) + k, où k est un réel.
Autrement dit, deux primitives d’une fonction diffèrent d’une constante.
Dem :
Soit F une primitive sur I d’une fonction f.
Soit G(x) = F(x) + k
G’(x) = F’(x) + k’ = f(x) + 0 = f(x).
G est donc une primitive de f.
2
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Soit G(x) une autre primitive de f sur I.
(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0
(G(x) – F(x))’ est donc la fonction nulle ; G(x) – F(x) est donc une fonction constante
sur I.
G(x) – F(x) = k ; d’où G(x) = F(x) + k.
Théorème ( admis)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I, et F une primitive de
f sur I.
Alors
b
 f(t) dt = F(b) – F(a)
a
On note aussi :
b
 f(t) dt = [F(t)] a
b
a
Ex 22-23-24-25 p191
III. Primitives usuelles
1) Existence
Théorème : ( admis)
Toute fonction continue sur un intervalle [a ; b] admet des primitives sur cet intervalle.
Exemples :
f(x) = 2x+7
F1(x) = x² + 7x + 3 ; F2(x) = x² + 7x - 3 ; F3(x) = x² + 7x ; F4(x) = x² + 7x + 2,7 sont des
primitives de f, car F’1(x) = F’2(x) = F’3(x) = F’4(x) = 2x + 7 = f(x).
Parmi ces dérivées, une seule s’annule en 1.
2) Primitives de fonctions usuelles
Les formules de dérivation des fonctions usuelles permettent de dresser le tableau des
primitives suivant :
Fonction f(x)
Primitive F(x)
Sur I = ….
a
x
xn ( n  É )
Error!
1
xn
Error!
e
x
ax + k
1 2
x k
2
Error!xn+1 + k
- Error! + k
1
k
(n  1)xn 1
Ë
Ë
] -õ ; 0[ ou ] 0 ; +õ[
] -õ ; 0[ ou ] 0 ; +õ[
] -õ ; 0[ ou ] 0 ; +õ[
] 0 ; +õ[
2 x+k
ex + k
ℝ
3) Linéarité
Si F et G sont des primitives respectivement de f et g alors :
3
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F + G est une primitive de f + g.
kF est une primitive de kf ( k désignant un réel )
Ex 27-28-29-30-32 p.192
4) Primitives de formes usuelles
On obtient le tableau ci-dessous à partir du théorème de dérivation d’une fonction
composée.
Soit u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
fonction
primitive
u'
u2
u n 1
n 1
1
u
u'e u
eu
u’.un (n  ℤ/{-1}
Remarques
Si n <-1, u(x) ≠ 0)
u ne s’annulant pas sur I.
Ex 40-41-43-46-47 p.195
IV. Propriétés de l’intégrale
1) Linéarité
Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I et si k est une constante, alors :
b
 [f(x)  g(x)] dx =
a
b
b
a
a
b
 f(x) dx +
a
b
 g(x) dx
a
 k f(x) dx = k  f(x) dx
Ex 49-50 p.195
2) Positivité
Si f est continue et positive sur l’intervalle [a ; b], alors l’intégrale est positive.
Si f(x) ≥ 0 alors
b
 f(x) dx  0
a
3) Relation d’ordre
Soient f et g deux fonctions continues sur [a ; b] telles que f(x) ≤ g(x) sur [a ; b], alors
b
b
a
a
 f(x) dx   g(x) dx
Ex 51 …56 p.195
4) Relation de Chasles
Soit f une fonction continue sur un intervalle et a, b et c dans cet intervalle, alors
b
c
c
a
b
a
 f(x) dx   f(x) dx   f(x) dx
4
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Interprétation dans le cas où f est positive sur [a ; b]
A1 ≤ A2
Ex 57 …p.195
5) Valeur moyenne :
Définition :
On appelle valeur moyenne d’une fonction f continue sur l’intervalle [a ; b] le réel µ défini par
µ=
1
ba
b
 f(x) dx
a
Interprétation :
Dans le cas où f est une fonction positive sur l’intervalle
[a ; b], cette valeur moyenne  est la hauteur du rectangle
ABCD, de base ( b – a ), ayant la même aire A que le domaine
en bleu ci-contre.
A = . ( b – a )
Ex 66-67-68 p.196
Pb 96-97 p205
5
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