Révisions mathématiques - Poly

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POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
-Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) -
MATHEMATIQUES 6 :
PRIMITIVES ET INTEGRATION
-COURS + ENONCE EXERCICE -

40
1. Tableau des primitives usuelles :
Fonction f(x) Primitives F(x)
0Cte
cte k k.x + cte
x
u’.u
½ x² + cte
½ u² + cte
x²
u’.u²
1
3
+
+
x
.
1
4
+
+
.
Remarque, pour 
, se ramener à 
1
+1
+
+
1
−
+
1
 +=1
1
−
.1
+
1
²′
²
−
1
+
−
1
′
ln
|
|
+
|
|
+

41
.
+
+
sin x
.
−
cos
+
−
.
+
cos x
u’.cos u
sin
+
sin u
+ cte
1
²
(
1
+
)
² (+)
tan x +cte
tan u +cte
Point-méthode pour déterminer les primitives d’une fonction :
·Reconnaître la forme : u.u ? 
² ? u.e ? etc…
·Ajuster le coefficient : voir exemples ci-dessous
ØForme .∶
Ex 1 : ()=(2+3
)
.( ²+3−5
)
f est de la forme u.u , avec =²+3−5 =2+3
on reconnaît donc exactement et directement : : ()= u.u
dont les primitives sont F(x)=1
+1+
d’où : F(x)=
 +=
+= (²+3−5
)
+
Ex 2 : ()=−−
.(²+3−5
)
f est de la forme u.u , avec =²+3−5 =2+3=−(−−
)

42
ici il faut donc ajuster le coefficient ; on a alors : ()=−
.u.u
dont les primitives sont F(x)=−
.1 +1+
d’où : F(x)=−
. (²+3−5
)+
ØForme .
∶
Ex 1 : ()=
²
f est de la forme 
 , avec =−²+4+1  =−2+4
on reconnaît donc exactement et directement : ()=′
dont les primitives sont F(x)=||+
d’où : F(x)=−²+4+1+
Ex 2 : ()=3−6
−²+4+1
f est de la forme 
 , avec = −+4+1
 =−2+4 = −2(−2
)=−2
3(−6)
ici il faut donc ajuster le coefficient ; on a alors : ()=
.
dont les primitives sont F(x)=−
.||+
d’où : F(x)=−
.−²+4+1+
ØForme .:
Ex 1 : ()=
.

43
f est de la forme . , avec =1
2−5
4 =
on reconnaît donc exactement et directement : ()= u.e,
dont les primitives sont de la forme ∶F(x)= e+ cte
d’où : F(x)=e1
2−5 4+ cte
Ex 2 : ()= 5.
f est de la forme . , avec =1
2−5
4 =
ici il faut donc ajuster le coefficient ; on a alors :()=
u.e= 10u.e
dont les primitives sont de la forme ∶F(x)= 10e+ cte
d’où : F(x)=10.e1
2−5
4+cte
ÞLe même genre de procédé (reconnaître la forme puis ajuster le coefficient) sera
appliqué à toutes les formes rencontrées.
2. Calcul d’une primitive unique de f :
f admet une infinité de primitives sur un intervalle I. Les primitives de f sont définies à une constante
près. Toutes les primitives de f sont donc distinctes, leur courbe représentative n’ont aucun point
d’intersection les unes avec les autres.
Une condition sur une primitive définira donc une unique primitive sur I.
Exemple : soit f définie su]0;+∞[r par ()=
²+ 12−5
a) Déterminer l’ensemble des primitives de f sur ]0;+∞[
⇒()= −1
+3−5+,∈ℝ
b) Déterminer la primitive F de f sur ]0;+∞[ qui prend la valeur −1 en 1.
⟹(1)= −1
(1)=−1+3−5+= −3+ ⟺ −1 = −3 +  ⟺=2
ù ]0;+∞[−1 1:
()= −
+−+