Révisions mathématiques - Poly

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) -
MATHEMATIQUES 6 :
PRIMITIVES ET INTEGRATION
- COURS + ENONCE EXERCICE -
39
1. Tableau des primitives usuelles :
Fonction f(x)
Primitives F(x)
0
Cte
cte k
k.x + cte
x
½ x² + cte
u’.u
½ u² + cte
x²
u’.u²
x
.
1
− +1
, se ramener à
1
²
1
+
1
4
+
1
+1
.
Remarque, pour
1
3
+
−1
′
²
40
+
+
=
+
ln| | +
′
+
+
1
1
.
+
1−
−
| |+
+
.
sin x
cos x
1
²
− cos +
.
−.
sin u + cte
tan x +cte
)
( +
²
+
sin +
u’.cos u
(1 +
+
tan u +cte
)
Point-méthode pour déterminer les primitives d’une fonction :
·
Reconnaître la forme :
·
Ajuster le coefficient : voir exemples ci-dessous
Ø Forme
Ex 1 :
.
u .u ?
²
?
u .e ?
∶
( ) = (2 + 3). ( ² + 3 − 5)
f est de la forme u . u , avec
=
²+3 −5
on reconnaît donc exactement et directement : :
1
dont les primitives sont F(x) =
+
+1
d’où : F(x) =
Ex 2 :
( )= − −
etc …
+
=
+
. ( ² + 3 − 5)
f est de la forme u . u , avec
=
( ) = u .u
= ( ² + 3 − 5) +
²+3 −5
41
= 2 +3
= 2 + 3 = − (− − )
ici il faut donc ajuster le coefficient ; on a alors :
dont les primitives sont F(x) = −
−
d’où : F(x) =
.
Ø Forme
Ex 1 :
.
( )=
=
, avec
− ²+4 +1
dont les primitives sont F(x) =
Ex 2 :
| |+
− ²+4 +1
( )=
3 −6
− ²+4 +1
( )=
, avec
= −
ici il faut donc ajuster le coefficient ; on a alors :
dont les primitives sont F(x) =
−
Ø Forme
Ex 1 :
( )=
.
−
− ²+4 +1
.
′
= −2 + 4
+
+4 +1
2
= −2 + 4 = −2( − 2) = − ( − 6)
3
f est de la forme
d’où : F(x) =
+
∶
on reconnaît donc exactement et directement :
d’où : F(x) =
1
+1
( ² + 3 − 5) +
²
f est de la forme
.
( ) = − .u .u
:
.
42
. | |+
+
( )=
.
.
f est de la forme
, avec
=
5
1
2
−4
on reconnaît donc exactement et directement :
=
( ) = u .e ,
dont les primitives sont de la forme ∶ F(x) = e + cte
d’où : F(x) = e
Ex 2 :
1
2
5
−4
( ) = 5.
f est de la forme
.
+ cte
, avec
=
1
2
5
−4
=
ici il faut donc ajuster le coefficient ; on a alors : ( ) =
dont les primitives sont de la forme ∶ F(x) = 10e + cte
d’où : F(x) = 10. e
1
2
5
−4
u . e = 10u . e
+ cte
Þ Le même genre de procédé (reconnaître la forme puis ajuster le coefficient) sera
appliqué à toutes les formes rencontrées.
2. Calcul d’une primitive unique de f :
f admet une infinité de primitives sur un intervalle I. Les primitives de f sont définies à une constante
près. Toutes les primitives de f sont donc distinctes, leur courbe représentative n’ont aucun point
d’intersection les unes avec les autres.
Une condition sur une primitive définira donc une unique primitive sur I.
Exemple : soit f définie su]0; +∞[r par ( ) =
²
+ 12
−5
a) Déterminer l’ensemble des primitives de f sur ]0; +∞[
1
⇒ ( ) = − +3
−5 + ,
∈ℝ
b) Déterminer la primitive F de f sur ]0; +∞[ qui prend la valeur −1 en 1.
(1) = −1
⟹
ù
(1) = −1 + 3 − 5 +
⟺ −1 = −3 +
= −3 +
]0; +∞[
( )= − +
43
−
+
⟺
−1
=2
1:
3. Intégrales et primitives :
a) Théorème : soit f une fonction continue sur un intervalle I, et si a est un réel de I, alors la
fonction F définie sur I par ( ) = ∫ ( ) est l’unique primitive de f sur I s’annulant en a
b) Calcul de l’intégrale : soit f une fonction continue sur un intervalle I, et soient a et b deux
réels de I ; alors :
( )
Exemple : ∫ 3 .
²
= [ ( )] = ( ) − ( )
=
²
)
²
=
−
²
= (
−
)
4. Aires et Intégrales :
a) Intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]
L’intégrale de a à b de la fonction f, notée ∫ ( ) est l’aire du domaine délimitée par la courbe
représentative de f , l’axe des abscisses, et les droites d’équation x = a et x = b
=+
44
( )
b) Intégrale d’une fonction continue et négative sur un intervalle [a ; b] :
l’aire du domaine délimitée par la courbe représentative de f , l’axe des abscisses, et les droites
d’équation x = a et x = b est égale à l’opposée de l’intégrale de a à b de la fonction f :
=−
( )
c) Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle [a ; b]
Pour une fonction continue et changeant de signe sur [a ; b], il est convenu que l’intégrale de a à b de f
est la somme algébrique des domaines définis à partir des intervalles sur lesquels f(x) garde un signe
constant
=
=+
+
( )
−
45
+
( )
+
( )
d) Aire d’une portion de plan comprise entre deux courbes
si, pour tout
∈ [ ; ], ( ) ≤ ( ),
= ∫ ( − )( )
5. Propriétés de l’intégrale :
·
linéarité :
∫ ( + )( )
∫
( )
=
exemple : ∫ (3 ² + 5 + 4)
·
relation de Chasles : ∫
( )
=∫
∫
( )
( )
= 3∫
+∫
46
+∫
²
( )
( )
+5∫
= ∫
+∫ 4
( )
·
Positivité : si, pour tout
(de même, si, pour tout
∈ [ ; ], ( ) ≥ 0,
∈ [ ; ], ( ) ≤ 0,
Ordre et intégrale :
si, pour tout ∈ [ ; ], ( ) ≤ ( ),
ex : pour tout
∈ [0; 1],
≤ ²,
47
∫
1
∫0
( )
∫
≥0
≤ 0)
5
ex : pour tout ∈ [−5; 5], ² + 3 + 7 ≥ 0,
·
( )
∫
∫−5 ² + 3 + 7
≤∫
( )
1
≤ ∫0 ²
( )
≥0
Enoncé des exercices sur les Primitives et Intégrales
exercice 1 :
Calculer les primitives des fonctions suivantes :
a)
b)
( )=
( )=2
c) ℎ( ) = 10 cos 2 −
d) ( ) = 3 (1 − 4
e) ( ) = −
f)
( )=
g) ( ) =
(
+
)
)
√
exercice 2 :
Soit f définie sur ]0; +∞[
( )=
²
1. montrer qu’il existe deux réels a et b tels que ( ) =
+
2. en déduire la primitive F de f sur ]0; +∞[ telle que (1) = 0
exercice 3 :
Calculer les intégrales suivantes :
a)
=∫
48
b)
= ∫ sin(3 )
c)
=∫
=∫
d)
=∫
e)
²
.
/
( )
²
exercice 4 :
Soit f définie
( )=
1. Etudier brièvement f : domaine de définition, limites, dérivée et étude du signe de f’ ainsi
que des variations de f ; dresser un tableau de variations
2. En déduire le signe de f selon les valeurs de x
3. En justifiant, calculer (en unités d’aire) l’aire du domaine plan situé sous la courbe
représentative de f, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x = 0 et x = 1
4. En justifiant de même, calculer (en unités d’aire) l’aire du domaine plan situé sous la
courbe représentative de f, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x = 3 et x = 5
exercice 5 :
é
( )=
2 ²
²−1
a) Etudier brièvement f : domaine de définition, limites et asymptotes, dérivée et étude du signe
de f’ ainsi que des variations de f ; dresser un tableau de variations
b) Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout ∈
on ait :
( )=
+
−1
+
+1
c) En précisant le signe de f sur [ 2 ; 3 ] , calculer l’aire (en unités d’aire) du domaine plan situé
sous la courbe représentative de f, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x = 2 et x = 3 ;
que vaut cette aire dans un repère
d) Donner la valeur de cette aire en cm² si l’on travaille dans un repère :
‖⃗‖ = 2 ; ‖ ⃗‖ = 3
49