Rappels sur les Suites Terminale ES 1

Terminale ES
Rappels sur les Suites
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TES
Rappels sur les suites
I Qu’est-ce qu’une suite ?
•
Une suite de nombres réels est une liste ordonnée de nombres réels, finie ou infinie.
On note (un) la suite u0, u1, u2, ….., un, un+1, ………
Le nombre un est appelé terme d’indice n de la suite (un).
•
On définit une suite par deux procédés usuels :
Par une expression de type un = f(n) où f désigne une fonction
Par récurrence : on se donne le premier terme u0 et une relation permettant de
définir chaque terme à partir du précédent.
•
La représentation graphique dans un repère des termes d’une suite (un) est l’ensemble
des points isolés de coordonnées (0; u0), (1; u1), …… (n; un), …..
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TES
Rappels sur les suites
Rappels
Exemples
•
La suite un définie de manière explicite par un = n² exprime les carrés des
nombres entiers naturels.
u0 = 0² = 0; u1 = 1² = 1; u2 = 2² = 4; …..u10 = 10² = 100
•
On peut définir une suite (vn) par récurrence avec v0 = 3 et vn+1 = 0,5×vn - 1.
v0 = 3; v1 = 0,5×v0 - 1 = 0,5×3 - 1 = 0,5; v2 = 0,5×0,5 - 1 = - 0,75; …….
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Rappels sur les suites
II Sens de variation d’une suite
•
La suite (un) est dite strictement croissante si pour tout entier naturel n, un+1 > un.
La suite (un) est dite strictement décroissante si pour tout entier naturel n, un+1 < un.
•
On définit de même :
une suite croissante en utilisant une inégalité au sens large : un+1 ≥ un.
une suite décroissante en utilisant une inégalité au sens large : un+1 ≤ un.
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Rappels sur les suites
III Suites arithmétiques
•
Une suite (un) est arithmétique lorsqu’il existe un réel r tel que, pour tout entier
naturel n :
un+1 = un + r.
Le réel r est appelé raison de la suite (un).
•
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n :
un, = u0 + nr.
•
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tous entiers naturels n et p :
un, = up + (n- p)r.
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Rappels sur les suites
Exemple
Soit (un) la suite définie par récurrence par u0 = 1 et un+1 = un + 2.
(un) est une arithmétique de raison r = 2.
On a u0 = 1; u1 = 1 + 2 = 3; u2 = 3 + 2 = 5; ….
L’expression explicite de la suite (un) est :
un = u0 + n×r = 1 + 2n
(un) représente la liste des entiers naturels impairs.
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Suites géométriques
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Suites Géométriques
I Reconnaître une suite géométrique
Définition 1
Dire qu'une suite (un ) est géométrique signifie qu'il existe un réel q
tel que, pour tout naturel n :
un+1 = q x un.
Le réel q est appelé raison de la suite (un).
Exemple
(un) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u0 = 2.
On a alors :
• u1 = 3 x u0 = 3 x 2 = 6;
• u2 = 3 x u1 = 3 x 6 = 18;
• u3 = 3 x u2 = 3 x 18 = 54
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Suites Géométriques
Calcul de un connaissant u0 et q.
Théorème 1
(un) est une suite géométrique de raison q.
Alors, pour tout entier naturel n :
1. un = qn x u0.
2. Si pour tout entier naturel n, un = b x an, alors (un) est une suite
géométrique de raison a.
Démonstration
1.
On utilise la définition d'une suite géométrique.
u1 = qu0; u2 = qu1 = q(qu0) = q²u0;
On obtient aussi : u3 = qu2 = q3u0 et de proche en proche : un = qnu0.
2. un+1 = ban+1 = b(an) x a = un x a
On reconnaît la définition d'une suite géométrique de raison a.
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Suites Géométriques
Exemple
(un) est la suite géométrique de raison etde premier terme u0 = 2.
Alors, u5 = 2×
=
=
Calcul de un connaissant uP et q.
Théorème 2
(un) est une suite de raison q ≠ 0.
Alors, pour tout entier naturel n et tout entier naturel p :
un = up x qn – p.
Exemple
(un) est la suite géométrique de raison etde premier terme u20 = 3.
Alors, u40 = u20 x q40-20 = 3 x
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Suites Géométriques
Sens de variation de la suite (qn)
Théorème 3
La suite de terme général un = qn est :
• strictement croissante si q > 1;
• strictement décroissante si 0 < q < 1;
• ni croissante, ni décroissante si q < 0
• constante si q = 0 ou q = 1
.
Démonstration
Illustration graphique
Pour tout entier naturel n, un+1 – un = qn+1 – qn = qn(q – 1)
Si q > 1, alors un+1 – un > 0 ; soit un+1 > un ; donc (un) est strictement croissante.
Si 0 < q < 1, alors un+1 – un < 0 ; soit un+1 < un ; donc (un) est strictement
décroissante.
Si q < 0 alors qn > 0 pour n pair et qn < 0 pour n impair, donc (un) n’est ni
croissante, ni décroissante.
Si q = 0 alors un = 0 (suite constante) et si q = 1 alors un = 1 (suite constante)
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Suites Géométriques
Variation relative
Théorème 4
(un) est une suite géométrique non nulle de raison q strictement
positive.
Alors
est constant.
Démonstration
Pour tout entier naturel n, un+1 – un = qun – un = (q – 1)un
Si un ≠ 0,
= q – 1 : c’est un rapport constant qui ne dépend pas de n.
Définition 2
Le rapport
est appelé variation relative.
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Suites Géométriques
Evolution exponentielle
On considère les suites géométriques (un) et (vn) définies par :
• u0 = 1 et de raison 3;
v0 = 4 et de raison .
•
On représente graphiquement les quatre premiers termes de chaque suite en
reliant les points obtenus.
v0
u3
vn =
un = 3n
u2
u1
u0
v1
v2
v3
On dit que ces suites ont une évolution exponentielle.
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Suites Géométriques
II Somme des termes d’une suite géométrique
Calcul de 1 + q + q² + …. + qn (avec q ≠ 1)
Théorème 5
Si q ≠ 1, alors 1 + q + q² + …. +
qn
=
Démonstration
On pose
S = 1 + q + q² + …. + qn .
On a alors :
qS = q + q² + ….+ qn + qn+1
Par soustraction membre à membre, on obtient :
S – qS = 1 – qn+1
Et pour q ≠1, on a S =
.
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Suites Géométriques
Remarque : Si q = 1 alors 1 + q + q² + ,,, + qn = n + 1
Exemple
Soit S = 1 +
+
On a alors S =
²
+ ….. +
.
=
1−
= ×
=
Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique
Théorème 6
(un) est une suite géométrique de raison q avec q ≠ 1.
On pose Sn = u0 + u1 + …. + un
On a alors : Sn = u0 ×
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Suites Géométriques
Démonstration
Pour tout entier naturel p, on a : up = u0 × qp.
On a donc Sn = u0 + u1 + …. + un = u0 + u0q + u1q2 + …. + u0qn
Soit Sn = u0(1 + q + q² + …. +
qn)
= u0
×
(d’après le théorème 5)
Exemple
Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique (un) de premier
terme u0 = 5 et de raison q = -2.
On a S9 = u0 + u1 + u2 + ….. + u9 (somme des 10 premiers termes)
D’où :
= ! ×
= 5 × (
) %
= 5 ×
=−
= −1705
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Suites Géométriques
III Limite de la suite (qn) avec q > 0
Notion de limite
Etudier la limite d’une suite, c’est se demander ce que deviennent les nombres
un lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes, vers « + ∞ ».
Plus précisément, on s’intéresse aux questions suivantes :
• Les nombres un finissent-ils par s’accumuler près d’un nombre fixe ?
• Les nombres un finissent-ils par dépasser n’importe quel nombre aussi
grand que l’on veut ?
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Suites Géométriques
Exemple 1
Ecrivons la liste des termes de la suite définie par un =
1; ; ; …..;
²
; …….;
; …….;
pour n > 0.
; ……..
Il est clair que les termes s’accumulent autour de 0 pour les valeurs de n
suffisamment grandes.
On dit que la suite (un) converge vers 0 ou bien qu’elle admet 0 pour limite.
On écrit lim (un) = 0.
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Suites Géométriques
Exemple 2
Ecrivons la liste des termes de la suite définie par vn = n².
v0 = 0; v1 = 1; v2 = 4; v3 = 9; …..; v10 = 10² = 100; …. ; v100 = 100² = 10 000; ….
Il est clair que les termes finissent par être aussi grands que l’on veut.
On dit la suite (vn) tend vers + ∞ ou encore qu’elle admet + ∝ comme limite.
On écrit lim (vn) = + ∝.
De la même manière, on définit la notion de limite en - ∝.
Par exemple, lim (- n²) = - ∝.
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Suites Géométriques
Limite de la suite (qn) avec q > 0
Théorème 6
• Si 0 < q < 1, lim (qn) = 0
• Si q > 1, lim (qn) = + ∝
• Si q = 1, lim (qn) = 1
Exemples
•
lim
•
lim
= 0 car 0 <
π
= + ∝ car
π
< 1.
> 1.
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Suites Géométriques
Limite de la suite géométrique définie par un = u0 × qn avec q > 0
Théorème 7
• Si 0 < q < 1, lim (un) = 0
• Si q > 1,
Si u0 < 0 alors lim un = - ∞
Si u0 > 0 alors lim un = + ∞
Si u0 = 0 alors lim un = 0
• Si q = 1 alors lim un = u0
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Suites Géométriques
Limite de la suite géométrique définie par un = u0 × qn avec q > 0
Exemples
•
On considère la suite géométrique (un) définie par un = 3×2n
On a u0 = 3 et q = 2; car q > 1 et u0 > 0 donc lim (un) = + ∞.
•
On considère la suite géométrique (un) définie par un = -2×3n
On a u0 = -2 et q = 3; q > 1 et u0 < 0 donc lim (un) = - ∞.
•
On considère la suite géométrique (un) définie par un = -3×
On a u0 = -3 et q = ; 0 < q < 1 donc lim (un) = 0.
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Suites Géométriques
Compléments
Propriétés
Si lim (un) = 0 alors :
Pour tout réel a, lim (aun) = 0
Pour tout réel b, lim (b + un) = b
Pour tous réels a et b, lim (aun + b) = b
Si lim (un) = + ∞ alors, pour tout réel a :
lim (aun) = + ∝ si a > 0
lim (aun) = - ∞ si a < 0
Si lim (un) = + ∞ alors, pour tout réel b, lim (b + un) = + ∞
Si lim (un) = - ∞ alors, pour tout réel b, lim (b + un) = - ∞.
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Suites Géométriques
Exemples
•
On considère la suite géométrique de premier terme u0 = -2 et de raison q = 3.
On a donc un = -2 × 3n.
Or, lim 3n = + ∞, donc lim un = - ∞
•
On considère la suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison q =
.
On note Sn = u0 + u1 + …. + un .
On a alors Sn = u0 ×
Soit Sn =
Or, lim
=3×
× 1 − = 0; donc lim Sn = .
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Suites Géométriques
Remarque
La suite précédente Sn est croissante et positive et sa limite n’est
pas + ∞.
Lien vers les paradoxes de Zénon.
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Suites Géométriques
IV Suites arithmético-géométriques
Définition 3
Une suite (un ) est arithmético-géométrique si sa définition par
récurrence est la suivante :
un+1 = aun + b où a et b désignent deux réels.
Remarque :
•
Si b = 0, la suite (un) est une suite géométrique de raison a.
•
Si a = 1, la suite (un) est une suite arithmétique de raison b.
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Suites Géométriques
Etude d’une suite arithmético-géométrique
L’étude d’une suite arithmético-géométrique peut être ramenée à l’étude d’une
suite géométrique.
Exemple
(un) est la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n,
un+1 = 2un – 3.
1.
Calculer u1, u2, u3 et u4.
2. On pose vn = un – 3.
a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 2.
b) Exprimer vn en fonction de un.
3. Exprimer un en fonction de n.
4. Déterminer la limite de la suite (un).
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Suites Géométriques
Exemple
(un) est la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n,
un+1 = 2un – 3.
1.
Calculer u1, u2, u3 et u4.
2. On pose vn = un – 3.
a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 2.
b) Exprimer vn en fonction de n.
3. Exprimer un en fonction de n.
4. Déterminer la limite de la suite (un).
Correction
1. u1 = 2×1 – 3 = -1; u2 = 2×(-1) – 3 = -5; u3 = 2×(-5) – 3 = -13; u4 = 2×(-13) – 3 = -29
2. a) vn+1 = un+1 – 3 = 2un – 3 – 3 = 2un – 6 = 2(un – 3) = 2vn
Donc (vn) est une suite géométrique de raison 2.
b) vn = v0×2n = (u0 – 3)×2n = -2×2n = - 2n+1
3. un = vn + 3 = 3 – 2n+1
4. lim (2n+1) = + ∞ car 2 > 1; et par suite lim (- 2n+1) = - ∞
Donc lim (un) = - ∞
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