Cours de maths - Terminale ES - Suites numériques

I – Les suites géométriques
1 - Étude d'une suite géométrique
Vocabulaire : Le nombre q est appelé raison de la suite géométrique.
Remarque : Pour étudier le sens de variation d'une suite
n
u
, on étudie le signe de
1 nn
uu
.
 2 - Somme des termes d'une suite géométrique
 Remarque :
0 1 2 ... nn
S u u u u    
est la somme des
1n
premiers termes de la suite
n
u
.
3 - Limite d'une suite géométrique
 Remarque : Une suite géométrique caractérise une évolution exponentielle.
Conséquence : Une somme infinie de nombres positifs ne tend pas toujours vers .
Par exemple,
1
21 0,8 1
lim 1 0,8 0,8 ... 0,8 lim 5
1 0,8 0,2
n
n
nn
Définition 1: On appelle suite géométrique
n
u
une suite définie par son premier terme et la relation de
récurrence :
1
pour tout , ,
nn
n u q u q
Propriété 1: Soit
n
u
une suite géométrique de raison
0q
alors
0
pour tout , n
n
n u u q  
.
Propriété 2: Soit
n
u
une suite géométrique de raison
0q
alors
pour tout , , np
np
n p u u q 
.
Propriété 3: Soit
n
u
la suite de terme général
n
n
uq
;
- Si
1q
alors
n
u
est croissante
- Si
01q
alors
n
u
est décroissante
- Si
0q
alors
n
u
n'est ni croissante, ni décroissante.
Propriété 4: Si
1q
alors
1
21
pour tout , 1 ... 1
n
nq
n q q q q
.
Propriété 5: Soit
n
u
une suite géométrique de premier terme
0
u
et de raison
1q
;
1
0 1 0 1
pour tout , ... 1
n
nn
q
n S u u u u q
.
Les suites numériques
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Propriété 6: Si
01q
alors
lim 0
n
nq
et si
1q
alors
lim n
nq

II – Les suites arithmético-géométriques
 Remarque : Pour étudier une suite arithmético-géométrique, on se ramène à une suite géométrique.
Définition 2: On appelle suite arithmético-géométrique
n
u
une suite définie par son premier terme et
la relation de récurrence :
1
pour tout , avec ,
nn
n u au b a b