Terminale ES Rappels sur les suites
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I Qu’est-ce qu’une suite ?
Définition :
Une suite de nombres réels est une liste ordonnée de nombres réels, finie ou infinie.
On note (u
n
) la suite u
0
, u
1
, u
2
, ….., u
n
, u
n+1
, ………
Le nombre u
n
est appelé terme d’indice n de la suite (u
n
).
Définitions explicite et récurrente :
On définit une suite par deux procédés usuels :
• Par une expression de type u
n
= f(n) où f désigne une fonction.
• Par récurrence : on se donne le premier terme u
0
et une relation permettant de définir chaque terme à
partir du précédent.
Représentation graphique
La représentation graphique dans un repère des termes d’une suite (u
n
) est l’ensemble des points isolés de
coordonnées (0; u
0
), (1; u
1
), …… (n; u
n
), …..
Exemples
• La suite u
n
définie de manière explicite par u
n
= n² exprime les carrés des nombres entiers naturels.
u
0
= 0² = 0; u
1
= 1² = 1; u
2
= 2² = 4; …..u
10
= 10² = 100
• On peut définir une suite (v
n
) par récurrence avec v
0
= 3 et v
n+1
= 0,5×v
n
- 1.
v
0
= 3; v
1
= 0,5×v
0
- 1 = 0,5×3 - 1 = 0,5; v
2
= 0,5×0,5 - 1 = - 0,75; …….
II Sens de variation d’une suite
• La suite (u
n
) est dite strictement croissante si pour tout entier naturel n, u
n+1
> u
n
.
La suite (u
n
) est dite strictement décroissante si pour tout entier naturel n, u
n+1
< u
n
.
• On définit de même :
une suite croissante en utilisant une inégalité au sens large : u
n+1
≥ u
n.
une suite décroissante en utilisant une inégalité au sens large : u
n+1
≤ u
n.
III Suites arithmétiques
• Une suite (u
n
) est arithmétique lorsqu’il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n :
u
n+1
= u
n
+ r.
Le réel r est appelé raison de la suite (u
n
).
• Si (u
n
) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n :
u
n,
= u
0
+ nr.
• Si (u
n
) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tous entiers naturels n et p :
u
n,
= u
p
+ (n- p)r.
Exemple
Soit (u
n
) la suite définie par récurrence par u
0
= 1 et u
n+1
= u
n
+ 2.
(u
n
) est une arithmétique de raison r = 2.
On a u
0
= 1; u
1
= 1 + 2 = 3; u
2
= 3 + 2 = 5; ….
L’expression explicite de la suite (u
n
) est : u
n
= u
0
+ n×r = 1 + 2n
(u
n
) représente la liste des entiers naturels impairs.