Terminale ES Formulaire de mathématiques Suites Suites arithmétiques Définition récurrente : un+1 = un + r ( r est la raison de la suite.) Définition explicite : un = u0 + n×r (u0 est le premier terme de la suite et un le terme de rang n.) Suites géométriques Définition récurrente : un+1 = q×un ( q est la raison de la suite) Définition explicite : un = u0 ×qn. Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique Si (un) est une suite géométrique de raison q avec q ≠ 1, alors Sn = u0 + u1 + …. + un = u0 × 1 – qn+1 1 - q Limite de la suite (qn) avec q > 0 • Si 0 < q < 1, alors lim qn = 0 • Si q = 1 alors lim qn = 1 • Si q > 1, alors lim qn = + ∞ Suites arithmético-géométriques Définition récurrente : un+1 = a×un + b Dérivabilité et continuité Tangente à la courbe d’une fonction Une équation de la tangente au point d’abscisse a pour une fonction f : y = f’(a)(x – a) + f(a). Dérivées des fonctions usuelles f(x) f’(x) ax + b a x² 2x xn (n ∈ , n ≥ 1) 1 x x Opérations et dérivées : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I (u + v)’ = u’ + v’ (ku)’ = ku’ avec k ∈ Y (uv)’ = u’v + uv’ (u²)’ = 2u’u nxn-1 - (un)’ = nu’un-1 avec n ∈ V v' 1’ v = v² 1 x² 1 ex ln(x) 1 x f est une fonction continue sur un intervalle I. Pour tout nombre réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un nombre réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. u’ u’v – uv’ v = v² 2 x ex Théorème des valeurs intermédiaires (TVI): (eu)’ = u’×eu Les fonctions exponentielles Sens de variation des fonctions exponentielles de base q : • Si 0 < q < 1, la fonction x qx est strictement décroissante sur • Si q = 1, la fonction x qx est constante sur . • Si q > 1, la fonction x qx est strictement croissante sur . La fonction exponentielle x ex . (e ≈ 2,618) Propriétés • • • • • • La fonction exponentielle est définie et dérivable sur et exp’(0) = 1. 1 e0 = 1 e1 = e e-1 = e0,5 = e e Pour tout réel x, ex > 0 et (ex)’ = ex La fonction exponentielle est strictement croissante sur . ea = eb ⇔ a = b ea < eb ⇔ a < b x ex 1 ex+y = ex×ey ex – y = y e2 = ex e-x = x (ex)n = enx e e Tangente en A(0,1) de coefficient directeur égal à 1 exp T 1 Terminale ES Formulaire de mathématiques Probabilités conditionnelles Probabilité de B sachant A : PA(B) = P(A ∩ B) P(A) P(A B) = P(A) × PA(B) Formule des probabilités totales : Si A, B, C forment une partition de l’univers, alors P(D) = P(A) × PA(D) + P(B) × PB(D) + P(C) × PC(D). La fonction logarithme népérien Propriétés • • • La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ;+ ∞[. La fonction logarithme népérien est croissante sur sur ]0 ;+ ∞[. Pour tous réels x > 0 et y : 1 (ln(x))’ = x ex = y ⇔ x = ln y. , eln x = x. ln(ex) = x. 1 ln 1 = 0 ln e = 1 ln = -1 e • Pour a > 0 et b > 0 : ln a = ln b ⇔ a = b ln(ab) = ln(a) + ln (b) 1 ln = - ln b b ln a < ln b ⇔ a < b ln a = ln a – ln b b ln(an) = n × ln a Intégration Cas d’une fonction f continue et positive sur [a ;b] ⌠ bf(x)dx = l’aire, en unités d’aire, du domaine situé sous la courbe Cf. ⌡a Relation de Chasles : ⌠ cf(x)dx = ⌠ bf(x)dx + ⌠ cf(x)dx ⌡a ⌡a ⌡b Primitives d’une fonction sur un intervalle F est une primitive de f sur I signifie que F est dérivable sur I et que F’ = f F(x) = x ⌠ ⌡a f(t)dt et F’(x) = f(x) avecf’(a) = 0 Formulaire de primitives f est définie sur I par f(x) = Les primitives de f sur I sont définies par F(x) = …. k (avec k ∈ kx + C x xn (n ∈ ) ) Primitives de f sur I 1 u² + C 2 1 n+1 x +C n+1 u’ u² - u‘eu eu + C 1 x² 1 +C x ex Fonction f uu' ln(x) + C x u est une fonction dérivable sur I. 1 x² + C 2 1 x 1 Primitives et opérations sur les fonctions : 2 x+C 1 +C u Calcul d’une intégrale : b b ⌠ ⌡a f(x)dx = [F(x)]a = F(b) – F(a) Valeur moyenne : µ = 1 ⌠ bf(x)dx b - a⌡a ex + C 2 Terminale ES Formulaire de mathématiques Loi binomiale X est une variable aléatoire discrète qui suit la loi binomiale B(n ;p) avec n le nombre d’expériences de Bernoulli répétées et p la probabilité du succès. On a : P(X = k) = n k kp (1 – p)n-k E(X) = np V(X) = np(1 – p) σ(X) = V(X) = np(1 – p) Avec une calculatrice TI : • P(X = k) se calcule avec : 2ND VARS binompdf(n,p,k) • P(X ≤ k) se calcule avec : 2ND VARS binomcdf(n,p,k) Lois de probabilités à densité Si P est la loi de probabilité de densité f sur [a ;b] et X une variable aléatoire continue sur [a ;b] alors : b d ⌠ ⌡a f(x)dx = 1 et P(c ≤ X ≤ d) = ⌠ ⌡c f(x)dx. La loi uniforme sur [a;b] Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b], alors pour tout intervalle [c;d] inclus dans [a;b], d – c P(c ≤ X ≤ d) = . b - a Espérance d’une variable aléatoire X de densité f sur [a;b] : E(X) = ⌠ btf(t)dt. ⌡a a+b Espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur [a;b] : E(X) = . 2 Loi normale centrée réduite N(0;1) o densité de probabilité : f(x) = 1 2π -0,5x² e . Propriétés de la loi normale centrée réduite N(0;1) • • • 1 2 P(T ≤ -u) = 1 – P(T ≤ u) P(-1,96 ≤ T ≤ 1,96) ≈ 0,95 P(T ∈ ] 0; + ∞[) = Loi normale d’espérance µ et d’écart-type σ Dire qu’une variable aléatoire X suit une loi normale N(µ;σ²) X-µ signifie que la variable aléatoire T = suit la loi normale σ N(0;1). Les intervalles « un, deux, trois sigmas » X est une variable aléatoire qui suit N(µ;σ²) et X-µ T= suit N(0;1). σ • P(µ - σ ≤ X ≤ µ + σ) ≈ 0,68. • P(µ - 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ≈ 0,95 • P(µ - 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) ≈ 0,997 Avec une calculatrice TI pour la loi normale N(µ ;σ) : • P(a ≤ X ≤ b) se calcule avec : 2ND VARS normalcdf(a,b,µ,σ) • Pour calculer t tel que P(X ≤ t) = k se calcule avec : 2ND VARS invNorm(k,µ,σ) 3 Terminale ES Formulaire de mathématiques Intervalle de fluctuation – Estimation Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% : Xn est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p) avec 0 < p < 1. L’intervalle In = p – 1,96× p(1 – p) n ; p – 1,96× p(1 – p) n est appelé un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable aléatoire fréquence Fn = Xn n Intervalle de confiance L’intervalle f – 1 ;f+ n de confiance 0,95. est appelé un intervalle de confiance de la proportion inconnue p avec un niveau n 1 Convexité • Dire que f est convexe sur I signifie que sur I, la courbe C est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. • Dire que f est concave sur I signifie que sur I, la courbe C est entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes. Point d’inflexion Dire que A(a;f(a)) est un point d’inflexion de C signifie qu’en A la courbe C traverse sa tangente. Convexité et sens de variation de f’ f est une fonction dérivable sur un intervalle I. • f est convexe sur I si, et seulement si, f’ est croissante sur I. • f est concave sur I si, et seulement si, f’ est décroissante sur I. f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. • f est convexe sur I si, et seulement si, pour tout x de I, f’’(x) ≥ 0. • f est concave sur I si, et seulement si, pour tout x de I, f’’(x) ≤ 0. Point d’inflexion et dérivée seconde f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. C est la courbe représentative de f dans un repère et a ∈ I. Le point A(a;f(a)) est un point d’inflexion de C, si et seulement si, f’’ s’annule en a en changeant de signe. Pour tout nombre réel x, ex > x Pour tout nombre réel x > 0, ln x < x. Conséquences graphiques 4