Suites Terminale ES Formulaire de mathématiques Suites arithmétiques

Terminale ES
Formulaire de mathématiques
Terminale ES
Suites
Suites arithmétiques
Probabilité de B sachant A : PA(B) =
Définition récurrente : un+1 = un + r ( r est la raison de la suite.)
Définition explicite
: un = u0 + n×r (u0 est le premier terme de la suite et un le terme de rang n.)
Propriétés
n+1
Si (un) est une suite géométrique de raison q avec q ≠ 1, alors Sn = u0 + u1 + …. + un = u0 ×
1 – q
1 - q
Limite de la suite (qn) avec q > 0
•
Si q = 1 alors lim qn = 1
•
•
•
•
La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ;+ ∞[.
La fonction logarithme népérien est croissante sur sur ]0 ;+ ∞[.
Pour tous réels x > 0 et y :
1
(ln(x))’ =
x
ex = y ⇔ x = ln y.
, eln x = x. ln(ex) = x.
1
ln 1 = 0
ln e = 1
ln = -1
e
•
Pour a > 0 et b > 0 :
ln a = ln b ⇔ a = b
ln(ab) = ln(a) + ln (b)
1
ln
= - ln b
b
Si q > 1, alors lim qn = + ∞
Suites arithmético-géométriques
Définition récurrente : un+1 = a×un + b
Dérivabilité et continuité
Tangente à la courbe d’une fonction
Une équation de la tangente au point d’abscisse a pour une fonction f : y = f’(a)(x – a) + f(a).
Dérivées des fonctions
usuelles
f(x)
f’(x)
ax + b
a
x²
2x
xn (n ∈
, n ≥ 1)
1
x
x
Opérations et dérivées :
u et v sont deux fonctions
dérivables sur un intervalle I
(u + v)’ = u’ + v’
(ku)’ = ku’ avec k ∈ Y
(uv)’ = u’v + uv’
(u²)’ = 2u’u
nxn-1
-
(un)’ = nu’un-1 avec n ∈ V
v'
1’
v =  
v²
1
x²
1
e
ln(x)
Théorème des valeurs
intermédiaires (TVI):
f est une fonction continue sur
un intervalle I.
Pour tout nombre réel k
compris entre f(a) et f(b), il
existe au moins un nombre réel
c compris entre a et b tel que
f(c) = k.
x
e
u
⌠ bf(x)dx = l’aire, en unités d’aire, du domaine situé sous la courbe Cf.
⌡a
Relation de Chasles : ⌠ cf(x)dx = ⌠ bf(x)dx + ⌠ cf(x)dx
a
• Si 0 < q < 1, la fonction x
qx est strictement décroissante sur
x
• Si q = 1, la fonction x
q est constante sur .
• Si q > 1, la fonction x
qx est strictement croissante sur .
f est définie sur I
par f(x) =
Les primitives de f sur I
sont définies par F(x) = ….
k (avec k ∈
kx + C
x
.
xn (n ∈
(e ≈ 2,618)
Propriétés
•
⌡b
x
F(x) = ⌠
⌡ f(t)dt et F’(x) = f(x) avecf’(a) = 0
Sens de variation des fonctions exponentielles de base q :
•
•
•
⌡a
Formulaire de primitives
La fonction exponentielle est définie et dérivable sur
1
e0 = 1
e1 = e
e-1 =
e0,5 =
e
ln(an) = n × ln a
Cas d’une fonction f continue et positive sur [a ;b]
u
Les fonctions exponentielles
•
a
= ln a – ln b
b
F est une primitive de f sur I signifie que F est dérivable sur I et que F’ = f
(e )’ = u’×e
ex
ln
Intégration
⌡a
1
x
La fonction exponentielle x
ln a < ln b ⇔ a < b
Primitives d’une fonction sur un intervalle
u’ u’v – uv’
 v =
 
v²
2 x
x
B) = P(A) × PA(B)
La fonction logarithme népérien
Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique
Si 0 < q < 1, alors lim qn = 0
P(A
Formule des probabilités totales :
Définition récurrente : un+1 = q×un ( q est la raison de la suite)
Définition explicite
: un = u0 ×qn.
•
P(A ∩ B)
P(A)
Si A, B, C forment une partition de l’univers, alors P(D) = P(A) × PA(D) + P(B) × PB(D) + P(C) × PC(D).
Suites géométriques
•
Formulaire de mathématiques
Probabilités conditionnelles
et exp’(0) = 1.
e
Tangente en
A(0,1) de
coefficient
directeur égal à 1
exp
1
x
T
-
Pour tout réel x, ex > 0 et (ex)’ = ex
La fonction exponentielle est strictement croissante sur .
ea = eb ⇔ a = b
ea < eb ⇔ a < b
x
x
e
1
ex+y = ex×ey ex – y = y
e2 = ex
e-x = x
(ex)n = enx
e
e
1
x²
x
ex
u est une fonction dérivable sur I.
Fonction f
Primitives de
f sur I
1
x² + C
2
uu'
1
u² + C
2
1 n+1
x +C
n+1
u’
u²
-
u‘eu
eu + C
ln(x) + C
1
1
)
)
Primitives et opérations sur les fonctions :
1
+C
x
2 x+C
1
+C
u
Calcul d’une intégrale :
b
b
⌠
⌡a f(x)dx = [F(x)]a = F(b) – F(a)
Valeur moyenne : µ =
1
⌠ bf(x)dx
b - a⌡a
ex + C
2
Terminale ES
Formulaire de mathématiques
Terminale ES
Loi binomiale
Intervalle de fluctuation – Estimation
X est une variable aléatoire discrète qui suit la loi binomiale B(n ;p) avec n le nombre d’expériences de Bernoulli
répétées et p la probabilité du succès.
n  k
n-k
On a : P(X = k) =
k p (1 – p)
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% :
Xn est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p) avec 0 < p < 1.
E(X) = np
V(X) = np(1 – p)
σ(X) =
V(X) =


L’intervalle In = p – 1,96×
np(1 – p)
n
; p – 1,96×
p(1 – p)
n
 est appelé un intervalle de fluctuation asymptotique

Xn
n
Intervalle de confiance
P(X ≤ k) se calcule avec : 2ND VARS binomcdf(n,p,k)


L’intervalle f –
Lois de probabilités à densité
1
n
;f+
1

 est appelé un intervalle de confiance de la proportion inconnue p avec un niveau
n
de confiance 0,95.
Si P est la loi de probabilité de densité f sur [a ;b] et X une variable aléatoire continue sur [a ;b] alors :
⌠ bf(x)dx = 1 et P(c ≤ X ≤ d) =
⌡
a
p(1 – p)
au seuil de 95% de la variable aléatoire fréquence Fn =
Avec une calculatrice TI :
• P(X = k) se calcule avec : 2ND VARS binompdf(n,p,k)
•
Formulaire de mathématiques
⌠ df(x)dx.
⌡
c
Convexité
La loi uniforme sur [a;b]
•
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b], alors pour tout intervalle [c;d] inclus dans [a;b],
d – c
P(c ≤ X ≤ d) =
.
b - a
Dire que f est convexe sur I signifie que sur I, la courbe C est entièrement au-dessus de chacune de ses
tangentes.
•
Dire que f est concave sur I signifie que sur I, la courbe C est entièrement au-dessous de chacune de ses
tangentes.
Espérance d’une variable aléatoire X de densité f sur [a;b] : E(X) = ⌠ btf(t)dt.
⌡a
Point d’inflexion
Dire que A(a;f(a)) est un point d’inflexion de C signifie qu’en A la courbe C
a+b
Espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur [a;b] : E(X) =
.
2
traverse sa tangente.
Loi normale centrée réduite N(0;1)
f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
• f est convexe sur I si, et seulement si, f’ est croissante sur I.
• f est concave sur I si, et seulement si, f’ est décroissante sur I.
o
densité de probabilité : f(x) =
1
2π
Convexité et sens de variation de f’
-0,5x²
e
.
f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.
• f est convexe sur I si, et seulement si, pour tout x de I, f’’(x) ≥ 0.
• f est concave sur I si, et seulement si, pour tout x de I, f’’(x) ≤ 0.
Propriétés de la loi normale centrée réduite N(0;1)
•
•
•
1
2
P(T ≤ -u) = 1 – P(T ≤ u)
P(-1,96 ≤ T ≤ 1,96) ≈ 0,95
P(T ∈ ] 0; + ∞[) =
Point d’inflexion et dérivée seconde
f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.
C est la courbe représentative de f dans un repère et a ∈ I.
Le point A(a;f(a)) est un point d’inflexion de C, si et seulement si, f’’ s’annule en a en changeant de signe.
Loi normale d’espérance µ et d’écart-type σ
Dire qu’une variable aléatoire X suit une loi normale N(µ;σ²)
X-µ
signifie que la variable aléatoire T =
suit la loi normale
σ
N(0;1).
Pour tout nombre réel x, ex > x
Pour tout nombre réel x > 0, ln x < x.
Conséquences graphiques
Les intervalles « un, deux, trois sigmas »
X est une variable aléatoire qui suit N(µ;σ²) et
X-µ
T=
suit N(0;1).
σ
• P(µ - σ ≤ X ≤ µ + σ) ≈ 0,68.
• P(µ - 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ≈ 0,95
• P(µ - 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) ≈ 0,997
Avec une calculatrice TI pour la loi normale N(µ ;σ) :
• P(a ≤ X ≤ b) se calcule avec : 2ND VARS normalcdf(a,b,µ,σ)
•
Pour calculer t tel que P(X ≤ t) = k se calcule avec : 2ND VARS invNorm(k,µ,σ)
3
4