Suites Terminale ES Formulaire de mathématiques Suites arithmétiques

Terminale ES Formulaire de mathématiques
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Suites
Suites arithmétiques
Définition récurrente : u
n+1
= u
n
+ r ( r est la raison de la suite.)
Définition explicite : u
n
= u
0
+ n×r (u
0
est le premier terme de la suite et u
n
le terme de rang n.)
Suites géométriques
Définition récurrente : u
n+1
= q×u
n
( q est la raison de la suite)
Définition explicite : u
n
= u
0
×q
n
.
Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique
Si (u
n
) est une suite géométrique de raison q avec q ≠ 1, alors S
n
= u
0
+ u
1
+ …. + u
n =
u
0
× 1 – q
n+1
1 - q
Limite de la suite (q
n
) avec q > 0
• Si 0 < q < 1, alors lim q
n
= 0 • Si q = 1 alors lim q
n
= 1 • Si q > 1, alors lim q
n
= + ∞
Suites arithmético-géométriques
Définition récurrente : u
n+1
= a×u
n
+ b
Dérivabilité et continuité
Tangente à la courbe d’une fonction
Une équation de la tangente au point d’abscisse a pour une fonction f : y = f’(a)(x – a) + f(a).
Dérivées des fonctions
usuelles
f(x)
f’(x)
ax + b
a
x²
2x
x
n
(n
∈
, n
≥ 1)
nx
n
-
1
1
x -
1
x²
x
1
2 x
e
x
e
x
ln(x)
1
x
Opérations et dérivées :
u et v sont deux fonctions
dérivables sur un intervalle I
(u + v)’ = u’ + v’
(ku)’ = ku’ avec k ∈ Y
(uv)’ = u’v + uv’
(u²)’ = 2u’u
(u
n
)’ = nu’u
n-1
avec n ∈ V
1
v
’ = - v'
v²
u
v
’ = u’v – uv’
v²
(e
u
)’ = u’×e
u
Théorème des valeurs
intermédiaires (TVI):
f est une fonction continue sur
un intervalle I.
Pour tout nombre réel k
compris entre f(a) et f(b), il
existe au moins un nombre réel
c compris entre a et b tel que
f(c) = k.
Les fonctions exponentielles
Sens de variation des fonctions exponentielles de base q :
• Si 0 < q < 1, la fonction x  q
x
est strictement décroissante sur .
• Si q = 1, la fonction x  q
x
est constante sur .
• Si q > 1, la fonction x  q
x
est strictement croissante sur .
La fonction exponentielle x  e
x
(e ≈ 2,618)
Propriétés
• La fonction exponentielle est définie et dérivable sur  et exp’(0) = 1.
• e
0
= 1 e
1
= e e
-1
= 1
e e
0,5
= e
• Pour tout réel x, e
x
> 0 et (e
x
)’ = e
x
• La fonction exponentielle est strictement croissante sur .
• e
a
= e
b
⇔ a = b e
a
< e
b
⇔ a < b
• e
x+y
= e
x
×e
y
e
x – y
= e
x
e
y
e
x
2
= e
x
e
-x
= 1
e
x
(e
x
)
n
= e
nx
exp
T
Tangente en
A(0,1) de
coefficient
directeur égal à 1
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Probabilités conditionnelles
Probabilité de B sachant A : P
A
(B) = P(A ∩ B)
P(A) P(A  B) = P(A) × P
A
(B)
Formule des probabilités totales :
Si A, B, C forment une partition de l’univers, alors P(D) = P(A) × P
A
(D) + P(B) × P
B
(D) + P(C) × P
C
(D).
La fonction logarithme népérien
Propriétés
• La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ;+ ∞[.
• La fonction logarithme népérien est croissante sur sur ]0 ;+ ∞[.
• Pour tous réels x > 0 et y :
 (ln(x))’ = 1
x
 e
x
= y ⇔ x = ln y.
 , e
ln x
= x. ln(e
x
) = x.
 ln 1 = 0 ln e = 1 ln 1
e = -1
• Pour a > 0 et b > 0 :
 ln a = ln b ⇔ a = b ln a < ln b ⇔ a < b
 ln(ab) = ln(a) + ln (b)
 ln 1
b = - ln b ln a b = ln a – ln b ln(a
n
) = n × ln a
Intégration
Cas d’une fonction f continue et positive sur [a ;b]
⌡
⌠
a
bf(x)dx = l’aire, en unités d’aire, du domaine situé sous la courbe C
f.
Relation de Chasles :
⌡
⌠
a
cf(x)dx = ⌡
⌠
a
bf(x)dx + ⌡
⌠
b
cf(x)dx
Primitives d’une fonction sur un intervalle
F est une primitive de f sur I signifie que F est dérivable sur I et que F’ = f
F(x) = ⌡ ⌠
ax
f(t)dt et F’(x) = f(x) avecf’(a) = 0
Formulaire de primitives
f est définie sur I
par f(x) =
Les primitives de f sur I
sont définies par F(x) = ….
k (avec k ∈ ) kx + C
x
1
2x² + C
x
n
(n ∈ ) 1
n + 1x
n+1
+ C
1
x ln(x) + C
-
1
x²
1
x + C
1
x 2 x + C
e
x
e
x
+ C
Primitives et opérations sur les fonctions :
u est une fonction dérivable sur I.
Fonction f Primitives de
f sur I
uu' 1
2u² + C
u’
u² - 1 u + C
u‘e
u
e
u
+ C
Calcul d’une intégrale :
⌡
⌠
a
b
f(x)dx = [F(x)]
ab
= F(b) – F(a)
Valeur moyenne : µ = 1
b - a
⌡
⌠
a
b
f(x)dx

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Loi binomiale
X est une variable aléatoire discrète qui suit la loi binomiale B(n ;p) avec n le nombre d’expériences de Bernoulli
répétées et p la probabilité du succès.
On a : P(X = k) = 
n
kp
k
(1 – p)
n-k
E(X) = np V(X) = np(1 – p) σ(X) = V(X) = np(1 – p)
Avec une calculatrice TI :
• P(X = k) se calcule avec : 2ND VARS binompdf(n,p,k)
• P(X ≤ k) se calcule avec : 2ND VARS binomcdf(n,p,k)
Lois de probabilités à densité
Si P est la loi de probabilité de densité f sur [a ;b] et X une variable aléatoire continue sur [a ;b] alors :
⌡
⌠
ab
f(x)dx = 1 et P(c ≤ X ≤ d) = ⌡ ⌠
cd
f(x)dx.
La loi uniforme sur [a;b]
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b], alors pour tout intervalle [c;d] inclus dans [a;b],
P(c ≤ X ≤ d) = d – c
b - a.
Espérance d’une variable aléatoire X de densité f sur [a;b] : E(X) =
⌡
⌠
a
b
tf(t)dt.
Espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur [a;b] : E(X) =a + b
2.
Loi normale centrée réduite N(0;1)
o densité de probabilité : f(x) = 1
2πe
-0,5x²
.
Propriétés de la loi normale centrée réduite N(0;1)
• P(T ∈ ] 0; + ∞[) = 1
2
• P(T ≤ -u) = 1 – P(T ≤ u)
• P(-1,96 ≤ T ≤ 1,96) ≈ 0,95
Loi normale d’espérance µ et d’écart-type σ
Dire qu’une variable aléatoire X suit une loi normale N(µ;σ²)
signifie que la variable aléatoire T = X - µ
σ suit la loi normale
N(0;1).
Les intervalles « un, deux, trois sigmas »
X est une variable aléatoire qui suit N(µ;σ²) et
T = X - µ
σ suit N(0;1).
• P(µ - σ ≤ X ≤ µ + σ) ≈ 0,68.
• P(µ - 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ≈ 0,95
• P(µ - 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) ≈ 0,997
Avec une calculatrice TI pour la loi normale N(µ ;σ) :
• P(a ≤ X ≤ b) se calcule avec : 2ND VARS normalcdf(a,b,µ,σ)
• Pour calculer t tel que P(X ≤ t) = k se calcule avec : 2ND VARS invNorm(k,µ,σ)
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Intervalle de fluctuation – Estimation
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% :
X
n
est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p) avec 0 < p < 1.
L’intervalle I
n
= 
p – 1,96×p(1 – p)
n; p – 1,96×p(1 – p) n est appelé un intervalle de fluctuation asymptotique
au seuil de 95% de la variable aléatoire fréquence F
n
= X
n
n
Intervalle de confiance
L’intervalle 
f – 1
n; f + 1 n est appelé un intervalle de confiance de la proportion inconnue p avec un niveau
de confiance 0,95.
Convexité
• Dire que f est convexe sur I signifie que sur I, la courbe C est entièrement au-dessus de chacune de ses
tangentes.
• Dire que f est concave sur I signifie que sur I, la courbe C est entièrement au-dessous de chacune de ses
tangentes.
Point d’inflexion
Dire que A(a;f(a)) est un point d’inflexion de C signifie qu’en A la courbe C
traverse sa tangente.
Convexité et sens de variation de f’
f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
• f est convexe sur I si, et seulement si, f’ est croissante sur I.
• f est concave sur I si, et seulement si, f’ est décroissante sur I.
f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.
• f est convexe sur I si, et seulement si, pour tout x de I, f’’(x) ≥ 0.
• f est concave sur I si, et seulement si, pour tout x de I, f’’(x) ≤ 0.
Point d’inflexion et dérivée seconde
f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.
C est la courbe représentative de f dans un repère et a ∈ I.
Le point A(a;f(a)) est un point d’inflexion de C, si et seulement si, f’’ s’annule en a en changeant de signe.
Pour tout nombre réel x, e
x
> x Pour tout nombre réel x > 0, ln x < x.
Conséquences graphiques