PS11 Fonction ln Suites Fonction definie par une integrale

Terminale S Problème de synthèse n° 11
Fonction ln - Suites - Fonction définie par une intégrale
1
Partie A
1) Prouver que pour tout réel t > 0, ln t ≤ t – 1.
2) En déduire que la fonction f : x  x
x – ln x, et telle que f(0) = 0, est définie sur [0 ;+ ∞[.
3) a) Etudier la fonction f. En particulier, f est-elle dérivable en zéro ? Sa courbe représentative, notée C,
admet-elle une tangente au point d’abscisse 0 ?
b) Tracer C, ainsi que la tangente à C au point d’abscisse 1.
c) Dans cette question, x est un réel fixé, x ≥ 1.
On définit la suite (u
n
) par :
u
n
= 1 + ln x
x + (ln x)² x² + … + (ln x)
n
x
n
.
Démontrer que (u
n
) est convergente et préciser sa limite.
Partie B
Etude de la fonction F définie sur ]0 ;+∞[ par :
F(x) =
⌡
⌠
1
x
t
t - ln t dt.
1) Justifier l’existence de F. Que représente F pour la fonction f ? Etudier le sens de variation de F.
(L’étude des limites n’est pas demandée.)
2) Etudier selon les valeurs de x, le signe de F(x).
3) Etude de la limite de F en zéro
a) Démontrer que pour tout t dans ]0 ;1], t
t – ln t ≤ t.
b) En déduire que pour tout x dans ]0 ;1],
x² - 1
2 ≤ F(x) ≤ 0.
c) En admettant qu’une fonction bornée sur ]0 ;1] et monotone sur ]0 ;1], a une limite en 0, justifier
l’existence d’une limite réelle en 0 de la fonction F, et l’appartenance de cette limite à l’intervalle
[-1
2 ;0].
4) Etude de la limite de F en + ∞
Prouver que pour tout réel t ≥ 1, f(t) ≥ 1. En déduire la limite de F en + ∞.

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5) Encadrement de F par deux fonctions usuelles
a) Calculer, pour tout réel x > 0, l’intégrale
⌡
⌠
1
x
(1 + ln t)dt.
Prouver que pour tout réel t ≥ 1, t
t – ln t ≤ 1 + ln t.
En déduire que pour tout réel x ≥ 1, F(x) ≤ x ln x.
b) Calculer, pour tout réel x > 0, l’intégrale :
⌡
⌠
1
x
(1 +ln t
t)dt
Prouver que, pour tout réel x ≥ 1, x + 1
2 (ln x)² - 1 ≤ F(x).

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CORRECTION
Partie A
1) On pose g(t) = ln t – (t – 1)
g’(t) = 1
t- 1 = 1 – t
t
Tableau de variations de la fonction g :
On déduit du tableau de variations que g(t) ≤ 0 pour t > 0
Donc ln t ≤ t – 1 pour t > 0.
2) Pour tout x > 0, x – ln x ≥ 1 > 0 .
Donc f(x) est bien définie sur [0 ;+ ∞[ (car x – ln x ne s’annule pas sur ]0 ;+∞[.
3) a) f(x) = u(x)
v(x) avec u(x) = x et v(x) = x – ln x
f’(x) = u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
v²(x)
u’(x) = 1 et v’(x) = 1 – 1
x
f’(x) =
x – ln x – x(1 –1
x)
(x – ln x)² = 1 – ln x
(x – ln x)²
Tableau de variations de f :
Dérivabilité en 0 :
f(x) – f(0)
x-0 = 1
x – ln x
t
g'(t)
g(t)
0 +
−∞
1 −
0
+
∞
−∞
x
f'
f(x)
0 +
0
e −
1
+
∞
1

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lim
x→0
1
x - ln x = 0 car lim
x→0
ln x = - ∞
Donc f est dérivable en 0 et f’(0) = 0.
C admet donc une tangente horizontale en (0 ;0).
b) équation de la tangente en 1 : y = f’(1)(x – 1) + f(1)
f’(1) = 1 et f(1) = 1
Équation de la tangente en 1 : y = x

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c) u
n
= 1 – (ln x
x)
n+1
1 – ln x
x
(somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 1
et de raison ln x
x)
u
n
= x×1 – (ln x
x)
n+1
x – ln x
u
n
= f(x) - x×(ln x
x)
n+1
x – ln x
Pour x ≥ 1 : ln x ≤ x – 1 ≤ x
Donc ln x
x ≤ 1
Donc la suite u
n
est convergente car lim
n→+∞
(ln x
x)
n+1
= 0
lim
n→+∞
u
n
= f(x)
Partie B
1) f est continue sur ]0 ;+∞[ donc f admet des primitives sur ]0 ;+∞[ et F est la primitive de f s’annulant
en 1.
F’(x) = f(x) > 0
Donc F est strictement croissante sur ]0 ;+∞[.
2) F(x) < 0 sur ]0 ;1[
F(1) = 0
F(x) > 0 sur ]1 ;+∞[
3) a) Pour t dans ]0 ;1], t – ln t ≥ 1 d’après A) 1).
D’où : 1
t – ln t ≤ 1
Et t
t – ln t ≤ t (en multipliant pat t positif).
b) Pour tout x dans ]0 ;1] et tout t dans [x ;1], on a :
0 ≤ f(t) ≤t
En intégrant entre x et 1, on obtient :