PS11 Fonction ln Suites Fonction definie par une integrale

Terminale S
Problème de synthèse n° 11
Fonction ln - Suites - Fonction définie par une intégrale
Partie A
1) Prouver que pour tout réel t > 0, ln t ≤ t – 1.
2) En déduire que la fonction f : x x
, et telle que f(0) = 0, est définie sur [0 ;+ ∞[.
x – ln x
3) a) Etudier la fonction f. En particulier, f est-elle dérivable en zéro ? Sa courbe représentative, notée C,
admet-elle une tangente au point d’abscisse 0 ?
b) Tracer C, ainsi que la tangente à C au point d’abscisse 1.
c) Dans cette question, x est un réel fixé, x ≥ 1.
On définit la suite (un) par :
un = 1 +
ln x (ln x)²
(ln x)n
+
+…+ n .
x
x²
x
Démontrer que (un) est convergente et préciser sa limite.
Partie B
Etude de la fonction F définie sur ]0 ;+∞[ par :
F(x) = ⌠

x
t
⌡1 t - ln t
dt.
1) Justifier l’existence de F. Que représente F pour la fonction f ? Etudier le sens de variation de F.
(L’étude des limites n’est pas demandée.)
2) Etudier selon les valeurs de x, le signe de F(x).
3) Etude de la limite de F en zéro
a) Démontrer que pour tout t dans ]0 ;1],
t
≤ t.
t – ln t
b) En déduire que pour tout x dans ]0 ;1],
x² - 1
≤ F(x) ≤ 0.
2
c) En admettant qu’une fonction bornée sur ]0 ;1] et monotone sur ]0 ;1], a une limite en 0, justifier
l’existence d’une limite réelle en 0 de la fonction F, et l’appartenance de cette limite à l’intervalle
1
[- ;0].
2
4) Etude de la limite de F en + ∞
Prouver que pour tout réel t ≥ 1, f(t) ≥ 1. En déduire la limite de F en + ∞.
1
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Fonction ln - Suites - Fonction définie par une intégrale
5) Encadrement de F par deux fonctions usuelles
a) Calculer, pour tout réel x > 0, l’intégrale ⌡
⌠ x(1 + ln t)dt.
1
Prouver que pour tout réel t ≥ 1,
t
≤ 1 + ln t.
t – ln t
En déduire que pour tout réel x ≥ 1, F(x) ≤ x ln x.
b) Calculer, pour tout réel x > 0, l’intégrale :
⌠ x(1 +ln t)dt

t
⌡1
1
Prouver que, pour tout réel x ≥ 1, x + (ln x)² - 1 ≤ F(x).
2
2
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CORRECTION
Partie A
1) On pose g(t) = ln t – (t – 1)
1–t
1
g’(t) = - 1 =
t
t
Tableau de variations de la fonction g :
t 0
g'(t)
g(t)
1
+∞
−
+
0
−∞
−∞
On déduit du tableau de variations que g(t) ≤ 0 pour t > 0
Donc ln t ≤ t – 1 pour t > 0.
2) Pour tout x > 0, x – ln x ≥ 1 > 0 .
Donc f(x) est bien définie sur [0 ;+ ∞[ (car x – ln x ne s’annule pas sur ]0 ;+∞[.
3) a) f(x) =
u(x)
avec u(x) = x et v(x) = x – ln x
v(x)
f’(x) =
u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
v²(x)
u’(x) = 1 et v’(x) = 1 –
1
x
1
x – ln x – x(1 – )
x
1 – ln x
f’(x) =
=
(x – ln x)²
(x – ln x)²
Tableau de variations de f :
x 0
f'
f(x)
0
e
+∞
−
+
1
1
Dérivabilité en 0 :
f(x) – f(0)
1
=
x-0
x – ln x
3
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lim
x→0
1
= 0 car lim ln x = - ∞
x - ln x
x→0
Donc f est dérivable en 0 et f’(0) = 0.
C admet donc une tangente horizontale en (0 ;0).
b) équation de la tangente en 1 : y = f’(1)(x – 1) + f(1)
f’(1) = 1 et f(1) = 1
Équation de la tangente en 1 : y = x
4
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n+1
ln x
1–(
)
x
c) un =
ln x
1–
x
ln x
)
et de raison
x
(somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 1
n+1
ln x
1–(
)
x
un = x×
x – ln x
n+1
ln x
)
x
un = f(x) - x×
x – ln x
(
Pour x ≥ 1 : ln x ≤ x – 1 ≤ x
Donc
ln x
≤1
x
ln x n+1
=0
Donc la suite un est convergente car lim (
x )
n→+∞
lim un = f(x)
n→+∞
Partie B
1) f est continue sur ]0 ;+∞[ donc f admet des primitives sur ]0 ;+∞[ et F est la primitive de f s’annulant
en 1.
F’(x) = f(x) > 0
Donc F est strictement croissante sur ]0 ;+∞[.
2) F(x) < 0 sur ]0 ;1[
F(1) = 0
F(x) > 0 sur ]1 ;+∞[
3) a)
Pour t dans ]0 ;1], t – ln t ≥ 1 d’après A) 1).
D’où :
Et
b)
1
≤1
t – ln t
t
≤ t (en multipliant pat t positif).
t – ln t
Pour tout x dans ]0 ;1] et tout t dans [x ;1], on a :
0 ≤ f(t) ≤t
En intégrant entre x et 1, on obtient :
5
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1
1
0≤⌠
⌡ f(t) dt ≤ ⌠
⌡ t dt =
x
x
x² - 1
2
Or F(x) = - ⌡
⌠ 1f(t) dt
x
Donc :
x² - 1
≤ F(x) ≤ 0
2
1 x² - 1
≤ F(x) ≤ 0 [1]
Pour x dans ]0 ;1], - ≤
2
2
c)
Donc F est bornée sur ]0 ;1] et croissante sur ]0 ;1].
Donc F admet une limite L en 0.
1
Par passage à la limite dans 1, on a : - ≤ L ≤ 0.
2
4) Pour tout t ≥ 1, ln t ≥ 0.
Donc t – ln t ≤ t et
D’où :
1
1
≥
t – ln t t
t
≥ 1 (en multipliant par t positif)
t – ln t
Donc pour tout réel t ≥ 1, f(t) ≥ 1.
Donc F(x) ≥ x – 1 en intégrant entre 1 et x.
Donc lim F(x) = + ∞ car lim (x - 1) = + ∞
x→+∞
5) a)
x→+∞
Une primitive de 1 + ln t est t + t ln t – t = t ln t
x
Donc ⌠
⌡ (1 + ln t)dt = x ln x
1
On pose i(t) =
t
t – (t – ln t)(1 + ln t) ln t(1 – t – ln t)
– (1 + ln t) =
=
t – ln t
t – ln t
t – ln t
i(t) est du signe de 1 – t – ln t pour t ≥ 1.
Or 1 – t – ln t ≤ 0 d’après A) 1).
Donc i(t) ≤ 0 pour t ≥ 1
Soit :
t
≤ 1 + ln t pour t ≥ 1.
t – ln t
En intégrant entre 1 et x, on obtient directement F(x) ≤ x ln x.
b)
Une primitive de 1 +
ln t
(ln t)²
est t +
t
2
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x
ln t
1
Donc ⌠
 (1 + t )dt = x + 2 (ln x)² - 1
⌡1
f(t) =
t
t – ln t + ln t
ln t
=
=1+
t – ln t
t – ln t
t – ln t
Pout t ≥ 1, ln t ≥ 0 donc
Donc f(t) ≥ 1 +
ln t
ln t
≥
t – ln t t
ln t
t
En intégrant entre 1 et x, on obtient finalement :
1
F(x) ≥ x + (ln x)² - 1 pour x ≥ 1.
2
7