Nombres Complexes I Définitions algébrique et géométrique de I.A Construction de

13 octobre 2014
Nombres Complexes
I Définitions algébrique et géométrique de C
I.A Construction de C
On considère l’ensemble R2des couples (x,y) de nombres réels, muni des deux lois de composition internes
suivantes :
1) L’addition, définie par : (x,y)+(x′,y′)=(x+x′,y+y′)
2) La multiplication, définie par : (x,y)×(x′,y′)=(xx′−y y′,x y′+y x′)
Cet ensemble est noté C, et ses éléments sont appelés nombres complexes.
Définition 1
Remarques 1 (Propriétés à démontrer) :
I (C,+) est un groupe commutatif :
1) +dans Cest commutative : ∀(z,z′)∈C2z+z′=z′+z
2) L’addition dans Cest associative : ∀(z,z′,z′′)∈C3(z+z′)+z′′ =z+(z′+z′′)
3) (0,0) est élément neutre de Cpour +:∀z∈Cz+(0,0) =z
4) Tout élément de Cadmet un symétrique pour +:z=(x,y) admet z′=(−x,−y) comme symétrique. z+z′=
(0,0).
II (C∗,×) est un groupe commutatif :
1) ×dans Cest commutative : ∀(z,z′)∈C2z×z′=z′×z
2) ×dans Cest associative : ∀(z,z′,z′′)∈C3(z×z′)×z′′ =z×(z′×z′′)
3) (1,0) est élément neutre de Cpour ×:∀z∈Cz×(1,0) =(1,0)×z=z
4) Tout élément non nul de Cadmet un symétrique pour ×:z=(x,y) admet z′=µx
x2+y2,−y x2+y2¶comme
symétrique. z×z′=(1,0).
III ×est distributive par rapport à +: (z+z′)×z′′ =z×z′′ +z′×z′′
IV Ces propriétés confèrent à (C,+,×) une structure de corps commutatif.
V Soit z=(x,y)∈C. On a :
(x,y)=(x,0)+(0, y)=(x,0)+(y,0)×(0,1)
Si l’on note i le couple (0,1) et 1 le couple (1,0), on peut alors écrire tout complexe zde façon unique sous la
forme : z=x×(1,0)+y×(0,1) =x+iy.
VI 1) R⊂C. En effet, pour tout réel x,x∈C
2) i2=(0,1)×(0,1) =(−1,0) =−1.
Pour tout nombre complexe z, par définition, (x,y) est l’unique couple de réels tels que z=x+iy. Cette écriture
est appelée écriture algébrique.
xest appelé partie réelle de znotée Re(z) ;
yest appelé partie imaginaire de znotée Im(z).
On écrit donc :
z=Re(z)+iIm(z)
Définition 2
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I.B Le plan complexe 13 octobre 2014
Soit (z,z′)∈C2et λ∈R, alors :
1. z=z′⇐⇒¡Re(z)=Re(z′)Im(z)=Im(z′)¢
2. z=0⇐⇒(Re(z)=0Im(z)=0)
3. Re(λz)=λRe(z) et Re(z+z′)=Re(z)+Re(z′).
4. Im(λz)=λIm(z) et Im(z+z′)=Im(z)+Im(z′).
Proposition 1
I.B Le plan complexe
On appelle plan complexe le plan Prapporté à un repère orthonormé (O,~ u,~ v) avec :
1. Le nombre complexe z=x+iy, où x=Re(z) et y=Im(z), est représenté par le point Mde coordonnées
M(x,y).
2. Le point Mest appelé l’image de z.
3. zest appelé l’affixe de M.
4. De même le vecteur −−→ OM admet zcomme affixe.
5. zadmet donc −−→ OM comme vecteur image.
6. L’axe (O,~
u) est appelé axe des réels.
7. L’axe (O,~ v) est appelé axe des imaginaires.
Définition 3
−→
u
−→
v
M
O
−−→
OM
Im(z)
Re(z)
On considère deux points M(z) et M′(z′) du plan complexe.
Comme −−−→ MM′=−−−→ OM′−−−→ OM (Relation de Chasles) l’affixe de −−−→ MM′est le complexe z′−z.
On considère le point M′′ tel que −−−→ OM′′ =−−→ OM +−−−→ OM′alors, l’affixe de M′′ est z+z′
−→
u
−→
vM(z)
O
M′(z′)
M′′(z+z′)
Re(z)Re(z′) Re(z′′)
Im(z)
Im(z′)
Im(z′′)
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I.C Conjugué, module et arguments d’un nombre complexe 13 octobre 2014
Exercice I.1 : Soient ABC D un quadrilatère quelconque et zA,zB,zC,zDles affixes respectives des sommets. On note
I,J,K,Lles milieux respectifs des côtés [AB],[BC ],[CD] et [D A].
Calculer les affixes des vecteurs −→ I J et −→ LK , et en déduire la nature du quadrilatère I J K L.
I.C Conjugué, module et arguments d’un nombre complexe
I.C.1 Conjugué d’un nombre complexe
On appelle conjugué de z=x+iy(avec (x,y)∈R2) le nombre ¯ z=x−iy=Re(z)−iIm(z)
Définition 4
Interprétation géométrique de la transformation z7→ ¯ zSi on note Ml’image de zet M′l’image de ¯ z, la transfor-
mation M7→M′est la symétrie d’axe (O,~ u).
−→
u
−→
v
M(z)
M′(¯ z)
Im(z)
−Im(z)
Re(z)
∀z∈C, on a :
(i) z+¯ z=2Re(z)
(ii) z−¯ z=2iIm(z)
(iii) ¯
¯
z=z
(iv) z∈R⇔z=¯ z
(v) z∈iR⇔z= −¯ z. Dans ce cas, on
dit que zest un « imaginaire pur »
Propriétés 2
∀(z,z′)∈C2, on a :
(i) z+z′=¯
z+¯ z′
(ii) z−z′=¯
z−¯ z′
(iii) zz′=¯
z¯ z′
(iv) µ1
z¶=1
¯
z
(v) ³z
z′´=¯
z
¯
z′
(vi) zn=¯
zn∀n∈Z
Propriétés 3 (Opérations sur les conjugués)
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I.C Conjugué, module et arguments d’un nombre complexe 13 octobre 2014
I.C.2 Module d’un nombre complexe
Soit z=x+iy∈C((x,y)∈R2). On a z¯ z=x2+y2. Le module de zest le réel :|z|=pz¯ z=qx2+y2
Définition 5
Interprétation géométrique Si Mest l’image de zet M′l’image de z′, alors |z|=OM et |z′−z|= M M′.
∀z,z′∈C, on a :
(i) |z|2=z¯ z
(ii) |zz′| =|z|.|z′|
(iii) ¯¯¯
z
z′¯¯¯=|z| |z′|lorsque z∈C∗(iv) |zn|=|z|n∀n∈Z
(v) |z|=|¯ z|
Propriétés 4 (Opérations sur les modules)
Démonstration. |zz′|2=zz′zz′=zz′¯
z¯ z′=z¯ zz′¯
z′=|z|2.|z′|2.
Remarque 2 : On peut écrire sous forme algébrique le nombre complexe 1
zavec z6=0 en utilisant le conjugué de z:
1
z=¯
z
z¯ z=¯
z
|z|2=¯
z
x2+y2=x−iy x2+y2
De la même manière, on peut mettre un quotient sous forme algébrique :
z
z′=z¯
z′
z′¯
z′=z¯
z′
|z′|2=z¯
z′
x′2+y′2
Exercice I.2 : Donner l’écriture algébrique des inverses de 1 +i et 4−6i. Vérifiez.
Exercice I.3 : Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes 2+ip3
p3−2i et (3+i)(2−i)
2+i.
Exercice I.4 : Déterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que Z=2z−4
z−isoit un nombre réel.
∀(z,z′)∈C2, on a :|z+z′|É|z|+|z′|
L’égalité est vérifiée si et seulement si z′=0 ou z
z′∈R+
Proposition 5 (inégalité triangulaire)
Interprétation géométrique de l’inégalité triangulaire Si Mest l’image de z,M′l’image de z′, et Pl’image de z+z′,
alors OP ÉOM +OM′. L’égalité est réalisée lorsque z
z′∈R+c’est à dire si les vecteurs −−→
OM et −−−→ OM′sont positivement
colinéaires.
Démonstration. Les deux membres de l’inégalité étant des réels positifs, comparons leurs carrés.
|z+z′|2=(z+z′)(¯ z+¯ z′)=z¯ z+z′¯
z+z′¯
z+z′¯
z′=|z2|+2Re(z¯ z′)+|z′2|
(|z|+|z′|)2=|z|2+2|zz′|+|z′|2
Or Re(z¯ z′)É|z¯ z′|. En effet : Re(Z)É|Z|en comparant leurs carrés, on a l’égalité uniquement si Im(Z)=0..
L’égalité est vérifiée si Re(z¯ z′)=|z¯ z′|c’est à dire si z¯ z′∈R+, cette condition est satisfaite si z′=0, ou, en divisant par z′¯
z′=|z′|2si z
z′∈R+.
Exercice I.5 : Montrer que :
1) ∀z∈Con a : |z|É|Re(z)|+|Im(z)|.
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I.D Arguments d’un nombre complexe non nul 13 octobre 2014
2) ∀z∈C,|z|É 1
2⇒|2iz+1+i| É1+p2
Exercice I.6 : 1) Montrer que ∀(z,z′,z′′)∈C3on a : |z−z′′|É|z−z′|+|z′−z′′|.
2) Interprétez géométriquement ce résultat.
Aétant un point du plan complexe d’affixe aet Run nombre réel positif (i.e. a∈Cet R∈R+).
1. Le disque fermé de centre Aet de rayon Rest l’ensemble des points Mdu plan complexe tels que
|z−a|ÉR
2. Le disque ouvert de centre Aet de rayon Rest l’ensemble des points Mdu plan complexe tels que
|z−a|<R
3. Le cercle de centre Aet de rayon Rest l’ensemble des points Mdu plan complexe tels que
|z−a|=R
Définition 6
I.D Arguments d’un nombre complexe non nul
zétant un complexe non nul, d’image Mdans le plan complexe.
On appelle argument de ztoute mesure de l’angle orienté (~ u,−−→ OM ).
θ≡(~ u,−−→ OM ) [2π]. On note arg(z)=θ.
L’ensemble des arguments de zest alors {θ+2kπ,k∈Z}
Définition 7
Remarque 3 : Le complexe 0 n’a pas d’argument car il est impossible de définir l’angle (~ u,~ 0).
Remarque 4 : Le module ρ= |z|et un argument θ=arg(z) d’un nombre complexe forment un couple de coordon-
nées polaires (ρ,θ) du point Md’affixe z.
Dans ce cas, on peut écrire z=ρ(cosθ+isinθ).
−→
u
−→
v
M(z)
O
θ
Re(z)=ρcosθ
Im(z)=ρsinθ
II Forme trigonométrique d’un nombre complexe
II.A Le groupe (U,×)des nombres complexes de module 1
On note Ul’ensemble des nombres complexes de module 1.
U={z∈C\|z|=1}
Définition 8
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