Formulaire de trigonométrie irulaire cotanθ Dans le ˘plan orienté muni d'un repère orthonormal ` Ñ Ý Ñ Ý 0, i , j , on onsidère le erle C de entre O et de rayon 1. C est le erle trigonométrique, ou le erle unité. Soit M ´un point¯de C et soit θ une mesure de l'angle Ñ Ý ÝÝÑ orienté i , OM . On note cos θ et sin θ respetivement l'absisse et l'ordonnée du point M . O tan θ sin θ M θ 1 cos θ ) !π sin θ ` kπ, k P Z On note tan θ “ pour tout réel θ de Dtan “ Rz cos θ 2 cos θ On note cotanθ “ pour tout réel θ de Dcotan “ Rz tkπ, k P Zu sin θ On a les propriétés suivantes : La fontion dénie sur R par x ÞÑ cos x est paire et 2π -périodique. La fontion dénie sur R par x ÞÑ sin x est impaire et 2π -périodique. La fontion dénie sur Dtan par x ÞÑ tan x est impaire et π -périodique. Les fontions sinus et osinus sont dérivables sur R et pour tout réel x : sin1 x “ cos x et Propriétés 1. 1. 2. 3. 4. cos1 x “ ´ sin x ı π ” π 5. La fontion tangente est dérivable sur les intervalles ´ ` kπ; ` kπ , où k est un entier 2 2 1 1 2 relatif, et sur es intervalles tan x “ 1 ` tan x “ cos2 x ´π ¯ 6. Pour tout réel x : sin ` x “ cos x. La ourbe représentative de la fontion sinus se 2 déduit don de la ourbe représentative de la fontion osinus par la translation de veteur πÑ Ý i 2 7. Pour tout réel x : cos2 x ` sin2 x “ 1 3 2 1 Ñ Ý j ´3π 2 ´π ´π 2 ´1 Ñ Ý i π 2 π 3π 2 ´2 ´3 Lyée Jean Perrin 2013/2014 1/2 Formulaire de trigonométrie irulaire . Valeurs usuelles θ en radians 0 sin pθq 0 cos pθq 1 tan pθq 0 Formules de linéarisation π 6 1 2 ? 3 2 ? 3 3 π 4 ? 2 2 ? 2 2 1 π 3 ? 3 2 1 2 ? 3 cos2 a “ π 2 sin2 a “ 1 cos a cos b “ 0 sin a cos b “ Indénie sin a sin b “ 1 ` cosp2aq 2 1 ´ cosp2aq 2 1 pcos pa ` bq ` cos pa ´ bqq 2 1 psin pa ` bq ` sin pa ´ bqq 2 1 pcos pa ´ bq ´ cos pa ` bqq 2 Angles assoiés cos p´xq sin p´xq cos pπ ` xq sin pπ ` xq cos pπ ´ xq sin pπ ´ xq ´π ¯ cos `x 2 ¯ ´π `x sin 2 ´π ¯ cos ´x 2 ´π ¯ sin ´x 2 “ “ “ “ “ “ cos x ´ sin x ´ cos x ´ sin x ´ cos x sin x Formules de fatorisation sin p ` sin q “ 2 sin sin p ´ sin q “ 2 cos Formules de transformation “ cos x “ “ “ “ cos a cos b ´ sin a sin b cos a cos b ` sin a sin b sin a cos b ` cos a sin b sin a cos b ´ cos a sin b tan a ` tan b tanpa ` bq “ 1 ´ tan a tan b tan a ´ tan b tanpa ´ bq “ 1 ` tan a tan b 2 ¯ ´p ´ q θ 1 ´ t2 1 ` t2 2t sin θ “ 1 ` t2 2t tan θ “ 1 ´ t2 cos θ “ Résolution d'équations trigonométriques Pour tout réel x, on résout les équations trigonométriques à l'aide des relations suivantes : $ & a “ b ` 2kπ ou cos a “ cos b ô ,k P Z % a “ ´b ` 2kπ Formules de dupliation cos2 a ´ sin2 a 2 cos2 a ´ 1 1 ´ 2 sin2 a 2 sin a cos a 2 tan a tanp2aq “ 1 ´ tan2 a cosp2aq “ “ “ sinp2aq “ Lyée Jean Perrin 2013/2014 cos Pour tout réel θ on pose t “ tan 2 Alors : “ sin x Formules d'addition cospa ` bq cospa ´ bq sinpa ` bq sinpa ´ bq 2 ¯ ´p ` q ´p ´ q¯ sin 2 2 ¯ ´p ` q ¯ ´p ´ q cos p ` cos q “ 2 cos cos ´ p2 ` q ¯ ´ p2´ q ¯ cos p ´ cos q “ ´2 sin sin 2 2 “ ´ sin x “ cos x ´p ` q ¯ $ & a “ b ` 2kπ ou sin a “ sin b ô ,k P Z % a “ π ´ b ` 2kπ tan a “ tan b ô a “ b ` kπ, k P Z 2/2 Formulaire de trigonométrie irulaire