Formulaire de trigonométrie irulaire cotanθ Dans le plan orienté muni d'un repère orthonormal → − − → 0, i , j , on onsidère le erle C de entre O et de rayon 1. C est le erle trigonométrique, ou le erle unité. Soit M un pointde C et soit θ une mesure de l'angle → −−→ − orienté i , OM . On note cos θ et sin θ respetivement l'absisse et l'ordonnée du point M . tan θ sin θ M θ O 1 cos θ nπ o sin θ pour tout réel θ de Dtan = R\ + kπ, k ∈ Z cos θ 2 cos θ On note cotanθ = pour tout réel θ de Dcotan = R\ {kπ, k ∈ Z} sin θ On note tan θ = Propriétés 1. On a les propriétés suivantes : 1. 2. 3. 4. La fontion dénie sur La fontion dénie sur La fontion dénie sur Les fontions sinus et R par x 7→ cos x est paire et 2π -périodique. R par x 7→ sin x est impaire et 2π -périodique. Dtan par x 7→ tan x est impaire et π -périodique. osinus sont dérivables sur R et pour tout réel x : sin′ x = cos x et ′ cos x = − sin x i π 2 5. La fontion tangente est dérivable sur les intervalles − + kπ; relatif, et sur es intervalles tan′ x = 1 + tan2 x = π 1 cos2 x h π + kπ , où k est un entier 2 + x = cos x. La ourbe représentative de la fontion sinus se déduit 2 π− → don de la ourbe représentative de la fontion osinus par la translation de veteur i 2 2 2 7. Pour tout réel x : cos x + sin x = 1 6. Pour tout réel x : sin 3 2 1 − → j −3π 2 −π −π 2 −1 − → i π 2 π 3π 2 −2 −3 Lyée Jean Perrin 2012/2013 1/3 Formulaire de trigonométrie irulaire . Valeurs usuelles θ en radians 0 sin (θ) 0 cos (θ) 1 tan (θ) 0 Formules de linéarisation π 6 1 2 √ 3 2 √ 3 3 π 4 √ 2 2 √ 2 2 1 π 3 √ 3 2 1 2 √ 3 π 2 = = = = = = sin2 a = 1 cos a cos b = 0 sin a cos b = Indénie Angles assoiés cos (−x) sin (−x) cos (π + x) sin (π + x) cos (π − x) sin (π − x) π cos +x 2 π +x sin π2 cos −x 2 π sin −x 2 cos2 a = cos x − sin x − cos x − sin x − cos x sin x = − sin x = cos x = sin x sin a sin b = Formules de fatorisation sin p + sin q = sin p − sin q = cos p + cos q = cos p − cos q = p−q p+q cos 2 sin 2 2 p−q p+q sin 2 cos 2 2 p+q p−q 2 cos cos 2 2 p+q p−q −2 sin sin 2 2 Formules de transformation θ Pour tout réel θ on pose t = tan 2 Alors : = cos x Formules d'addition cos(a + b) cos(a − b) sin(a + b) sin(a − b) 1 + cos(2a) 2 1 − cos(2a) 2 1 (cos (a + b) + cos (a − b)) 2 1 (sin (a + b) + sin (a − b)) 2 1 (cos (a − b) − cos (a + b)) 2 cos a cos b − sin a sin b cos a cos b + sin a sin b sin a cos b + cos a sin b sin a cos b − cos a sin b tan a + tan b tan(a + b) = 1 − tan a tan b tan a − tan b tan(a − b) = 1 + tan a tan b 1 − t2 cos θ = 1 + t2 2t sin θ = 1 + t2 2t tan θ = 1 − t2 = = = = Résolution d'équations trigonométriques Pour tout réel x, on résout les équations trigonométriques à l'aide des relations suivantes : Formules de dupliation cos(2a) = = = sin(2a) = 2 a = b + 2kπ ou cos a = cos b ⇔ ,k ∈ Z a = −b + 2kπ 2 cos a − sin a 2 cos2 a − 1 1 − 2 sin2 a 2 sin a cos a 2 tan a tan(2a) = 1 − tan2 a Lyée Jean Perrin 2012/2013 2/3 a = b + 2kπ ou sin a = sin b ⇔ ,k ∈ Z a = π − b + 2kπ Formulaire de trigonométrie irulaire Dénition 1 (Mesure d'un angle orienté en radian). ~u et ~v étant deux veteurs non nuls du plan orienté. −→ −−→ 1 1 On note A le point tel que OA = ~u et B le point tel que OB = ~v k~uk k~v k A et B sont deux points du erle trigonométrique puisque OA = OB = 1. ⌢ Une mesure de l'angle orienté (~u, ~v ) en radian est la longueur de l'ar AB aeté du signe positif si l'on parourt le erle de A vers B dans le sens trigonométrique, et du signe moins sinon. Une telle mesure est alors dénie à 2π près, et l'on érit : (~u, ~v ) = θ + 2kπ ou enore (~u, ~v) ≡ θ[2kπ] e qui se lit est ongru a θ modulo 2 pi Exemples 1. 1. Un angle plein mesure don 0 + 2kπ radian ave k ∈ Z π π + 2kπ radian s'il est de sens diret et − + 2kπ sinon ave k ∈ Z 2 2 Il est d'ailleurs important de remarquer que (~u, ~v ) est droit si et seulement si une mesure de π et angle orienté est + kπ ave k ∈ Z. 2 2. Un angle droit mesure Lyée Jean Perrin 2012/2013 3/3 Formulaire de trigonométrie irulaire