Probabilités sur un univers ni ou dénombrable

Probabilités sur un univers ni ou dénombrable
I Espaces probabilisés
I.A
I.B
I.C
I.D
I.E
Ensembles dénombrables . . . . . . .
Expérience aléatoire. Évènements. .
Réunion et intersection d'évènements
Système complet d'évènements . . .
Espace probabilisé . . . . . . . . . .
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Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formules de conditionnement . . . . . . . . . . . . . . .
Indépendance de deux évènements . . . . . . . . . . . .
Indépendance mutuelle d'une famille nie d'évènements
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II Indépendance et conditionnement
II.A
II.B
II.C
II.D
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1
1
1
2
4
4
7
7
8
10
11
Les résultats du cours de probabilités de première année sont repris cette année dans le cadre plus général où l'univers
est ni ou dénombrable. Toutefois, il faut revoir les dénombrements vus en première année (en particulier le principe
des arbres).
I Espaces probabilisés
I.A Ensembles dénombrables
Dénition 1. Un ensemble E est dit dénombrable s'il existe une bijection de N sur E :
ϕ:
→ E
7
→
xn
N
n
Autrement dit, l'ensemble peut être noté E = {xn n ∈ N}.
Exemples 1. Les ensembles N et Z sont dénombrables. Pour Z, il sut de considérer la bijection :

 N
n

n
→
7
→
7→
Z
si n est pair.
si n est impair.
n
2
n+1
− 2
Dénition 2. Un ensemble E est dit au plus dénombrable s'il est ni ou dénombrable.
I.B Expérience aléatoire. Évènements.
Dénition 3. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît l'ensemble des résultats possibles, mais
dont on ne peut pas prévoir avec certitude lequel sera réalisé.
L'ensemble Ω des résultats observables est appelé univers de l'expérience aléatoire.
Remarque 1. En première année, nous avons essentiellement considéré des univers nis. Cette année, nous considérerons des univers nis ou dénombrables.
Exemples 2. Les expériences aléatoires suivantes se retrouvent fréquemment dans les exercices :
Expérience
Lancer d'un dé
100 questions binaires (O/N)
Lancer d'une pièce jusqu'à obtenir pile
Mise en service d'une ampoule
Résultat observable
Un entier face visible
Liste de 100 réponses
Numéro premier succès
Durée de vie (h)
1
Univers
Ω = {1, . . . , 6}
Ω = {O, N }100
Ω = N∗
Ω=N
Caractéristique de Ω
Fini
Fini
Dénombrable
Dénombrable
Remarque 2. Il faut bien prendre conscience que la description de l'ensemble Ω est un choix de modélisation mathématique. Par exemple, si on considère le lancer de deux dés, on peut décrire Ω comme l'ensemble des couples
(i, j) avec 1 6 i, j 6 6 où i est le chire donné par le premier dé et j celui donné par le second dé. On aura ainsi
card (Ω) = 6 × 6 = 36.
Mais on peut aussi considérer que les résultats des deux dés sont indiscernables et donc voir Ω comme l'ensemble des
couples (i, j) avec i 6 j (on note ce que l'on observe, c'est à dire deux chires dans l'ordre croissant). Dans ce cas, on
a card (Ω) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
En général, le choix fait est celui de l'information maximale (pour mieux rendre compte de la réalité), donc le premier
exemple est privilégié. Quoi qu'il en soit, une fois que ce choix est fait, tous les résultats sont relatifs à l'univers choisi.
Dénition 4.
Un évènement élémentaire est un résultat de l'expérience aléatoire (c'est à dire un élément de l'univers Ω).
Un évènement (ou évènement composé) est un ensemble de résultats de l'expérience aléatoire (c'est à dire une
partie de l'univers Ω).
Exemples 3.
1. Dans l'expérience du lancer de dés, l'évènement A : obtenir un chire pair est un évènement composé des
évènements élémentaires 2,4 et 6. On peut d'ailleurs noter :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
;
A = {2, 4, 6}
2. Dans l'expérience de la mise en service d'une ampoule, l'évènement B : obtenir une durée de vie d'au moins
15000 heures est un évènement composé des évènements élémentaires k ∈ N, k > 15000. On peut d'ailleurs
noter :
Ω=N
;
B = [[15000, +∞[[
3. On lance une pièce de monnaie deux fois de suite et on note les résultats. Si C est l'évènement : obtenir face au
moins sur l'un des lancers , on peut écrire :
Ω = {(P, P ), (P, F ), (F, P ), (F, F )}
;
C = {(P, F ), (F, P ), (F, F )}
Remarque 3. On remarque donc une proximité entre le vocabulaire ensembliste et le vocabulaire probabiliste. Les
correspondances sont consignées dans le tableau ci-dessous :
Notation
∅
Ω
ω∈Ω
A⊂Ω
A⊂B
A∪B
A∩B
Ac
A∩B =∅
Vocabulaire ensembliste
Ensemble vide
Ensemble plein
Élément de Ω
Sous-ensemble de Ω
A inclus dans B
Réunion de A et B
Intersection de A et B
Complémentaire de A dans Ω
A et B sont disjoints
Vocabulaire probabiliste
Évènement impossible
Évènement certain
Évènement élémentaire
Évènement
A implique B
A ou B
A et B
Évènement contraire de A (∗)
A et B sont incompatibles
(∗) Se note en général A pour les probabilités.
I.C Réunion et intersection d'évènements
Les opérations logiques sur les évènements décrites dans le tableau peuvent bien sûr faire intervenir plus de deux
évènements :
Dénition 5. Soit Ω l'univers des résultats d'une expérience aléatoire. Si A1 , . . . , An sont des évènements, alors :
1. l'évènement réalisation de l'un au moins des Ai (1 6 i 6 n) est :
n
[
Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An
i=1
2. L'évènement réalisation de tous les Ai (1 6 i 6 n) est :
n
\
Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An
i=1
2
Remarque 4. On peut facilement étendre ces dénitions à toute famille dénombrable d'évènements (Ai )i∈N :
[
Ai
=
+∞
[
i∈N
i=1
\
+∞
\
Ai
=
Ai = Réalisation de l'un au moins des Ai , i ∈ N∗
Ai = Réalisation de tous les Ai , i ∈ N∗
i=1
i∈N
Exemple 4. On considère l'expérience du lancer d'un dé à six faces et les deux évènements :
A = Obtenir un nombre pair = {2, 4, 6}
et B = Obtenir un multiple de 3 = {3, 6}
On peut décrire la réunion de ces deux évènements par :
A ∪ B = Obtenir un nombre pair ou multiple de 3 = {2, 3, 4, 6}
et l'intersection par :
A ∩ B = Obtenir un nombre pair et multiple de 3 = {6}
Exemple 5 (Très important). Alice et Bruno lancent le même dé à tour de rôle (Alice commence). Le gagnant est le
premier à obtenir un six. On cherche à décrire les évènements :
A : Victoire d'Alice ; B : Victoire de Bruno ;
C : Pas de vainqueur à l'aide des évènements Fn : Fin du jeu au nième lancer . Il est clair qu'Alice ne peut gagner que lors d'un lancer
impair n = 2k + 1, donc il se sera produit l'évènement : F2k+1 pour un k ∈ N. L'évènement A se produit lorsqu'il y
aura réalisation de l'un au moins des F2k+1 pour k ∈ N, c'est à dire :
A=
+∞
[
F2k+1
k=0
De même, l'évènement B se produit lorsqu'il y aura réalisation de l'un au moins des F2k pour k ∈ N∗ , c'est à dire :
B=
+∞
[
F2k
k=1
L'évènement C se produit lorsqu'il n'y aura réalisation d'aucun des Fk pour k ∈ N∗ , c'est à dire lorsqu'il y a réalisation
de tous les évènements contaires :
C=
+∞
\
Fn
n=1
Remarque 5. Dans l'exemple précédent, on décrit des évènements à l'aide d'autres évènements et pas à partir de
l'univers Ω. Ce dernier ne présente pas un grand intérêt mais on pourrait le décrire comme l'ensemble des évènements
élémentaires ω du type suivant :
ω est une suite nie de chires pris parmi {1, 2, 3, 4, 5} et terminée par un 6.
ω est une suite innie de chires pris parmi {1, 2, 3, 4, 5}.
Dans ce cas, on pourrait décrire de la manière suivante l'évènement C de l'exemple 5 :
∗
C = {1, 2, 3, 4, 5}N
et l'évènement Fn comme ceci :
Fn = {1, 2, 3, 4, 5}n−1 × {6}
Il faut noter qu'on sort alors du cadre du programme puisque l'univers Ω ainsi décrit n'est pas dénombrable. Une façon
dénombrable (mais moins riche d'informations) de décrire l'univers est bien sûr le numéro d'apparition du premier
succès, et dans ce cas Fn est un évènement élémentaire.
Exercice 1
On eectue une suite innie de lancers d'une pièce de monnaie. Pour tout i ∈ N∗ , on note :
Ai = {Obtention de pile au i-ème lancer}.
3
1. Dénir par une phrase ne comportant aucun vocabulaire mathématique chacun des évènements :
E1 =
5
[
i=1
Ai ,
E2 =
+∞
\
Ai ,
E3 =
i=5
4
\
!
Ai
∩
+∞
\
i=5
i=1
!
Ai
,
E4 =
[
Ai
i>4
2. On pose Cn = i>n Ai . Montrer que la suite (Cn ) est décroissante (i.e. que pour tout n > 1, Cn+1 est
inclus dans
\
Cn .
Cn ). Caractériser d'une phrase ne comportant pas de vocabulaire mathématique l'évènement C =
S
n>1
3. Écrire à l'aide des Ai les évènements suivants :
Bn = {On n'obtient plus que des pile à partir du n-ième lancer}
B = {On n'obtient plus que des pile à partir d'un certain lancer}
[pr016]
I.D Système complet d'évènements
Dénition 6. Soit I ⊂ N. On appelle système complet d'événements tout ensemble {Ai , i ∈ I} ni ou dénombrable
d'événements 2 à 2 incompatibles, et dont la réunion fait l'univers Ω. Autrement dit, {Ai , i ∈ I} est un système complet
d'événements si, et seulement si :
1. Pour i 6= j , Ai ∩ Aj = ∅.
2.
[
Ai = Ω.
i∈I
En d'autres termes, le résultat de l'expérience aléatoire impliquera la réalisation d'un et d'un seul de ces évènements.
Exemples 6.
1. Lorsqu'on lance un dé à 6 faces, les évènements :
A1 = {Obtenir un nombre pair} et A2 = {Obtenir un nombre impair}
forment un système complet (ni) d'évènements.
2. Dans l'exemple 5, les évènements A, B et C forment un système complet ni d'évènements. Mais également, si on
considère les évènements :
Fn = {Fin du jeu au nième lancer.}
alors l'ensemble {Fn , n ∈ N∗ } ∪ C forme un système complet dénombrable d'évènements.
I.E Espace probabilisé
Dénition 7. On appelle probabilité sur un univers
Ω ni ou dénombrable toute application P de P(Ω) dans [0, 1]
vériant les deux axiomes :
1. P (Ω) = 1.
2. Si (Ak )k∈N est une suite d'événements 2 à 2 incompatibles, alors :
!
P
[
Ak
k∈N
=
+∞
X
P (Ak )
k=0
On dit alors que (Ω, P ) est un espace probabilisé, et pour tout A de P(Ω), P (A) est la probabilité de l'événement A.
1
1. Une probabilité est donc une fonction qui à un événement A ∈ P(Ω) associe un nombre compris entre 0 et 1 censé mesurer les chances
de réalisation de cet évènement. Dans la pratique, ce n'est pas toujours possible d'attribuer un tel nombre de manière cohérente à chaque
partie de Ω, et on se limite à un ensemble d'évènements appelé tribu de Ω (notion hors programme).
4
Proposition 1. Toute probabilité P sur Ω vérie les propriétés suivantes :
1. P (∅) = 0.
2. (a) Si A ∩ B = ∅, alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
(b) Si A1 , · · · , An sont des évènements 2 à 2 incompatibles, alors :
P
n
[
!
Ak
=
k=1
n
X
P (Ak )
k=1
3. Si A ∈ P(Ω), alors P (A) = 1 − P (A).
4. Si A, B ∈ P(Ω) et A ⊂ B , alors P (A) 6 P (B).
5. Si A, B ∈ P(Ω), alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Démonstration.
1. On considère la suite d'événements (Ak )k∈N , avec Ak = ∅ pour tout k ∈ N. Ces évènements sont bien sûr deux à deux incompatibles
d'où :


P (∅) = P 
[
Ak  =
P (Ak ) = P (A0 ) + P (A1 ) +
+∞
X
P (Ak ) > P (A0 ) + P (A1 )
k=0
k=0
k∈N
2.
+∞
X
Donc P (∅ > 2P (∅), ce qui entraîne P (∅) 6 0. Ainsi P (∅) = 0.
(a) On considère la suite d'événements (Ak )k∈N , avec A0 = A, A1 = B et Ak = ∅ pour tout k > 2. On a une suite d'évènements
deux à deux incompatibles d'où :

P (A ∪ B) = P 

[
Ak  =
k∈N
+∞
X
P (Ak ) = P (A0 ) + P (A1 ) +
k=0
+∞
X
P (Ak ) = P (A) + P (B) +
k=0
+∞
X
k=0
P (∅)
| {z }
=0
D'où P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
(b) Même principe de démonstration, ou par récurrence.
3. Soit A ∈ P(Ω). A et A sont deux ensembles disjoints dont la réunion fait Ω donc :
1 = P (Ω) = P (A ∪ A) = P (A) + P (A)
d'où P (A) = 1 − P (A).
4. Soit A, B ∈ P(Ω) tel que A ⊂ B . Alors : B = A ∪ (A ∩ B) (réunion disjointe). D'où :
P (B) = P (A) + P (A ∩ B) > P (A)
| {z }
>0
Ainsi P (A) 6 P (B).
5. On remarque que A ∪ B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B ∩ A) (réunion disjointe) et que les réunions suivantes sont également disjointes :
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ;
B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A).
D'où :
P (A ∪ B)
P (A ∪ B)
Remarque 6. Si {An ,
=
P (A ∩ B) + P (A ∩ B) + P (B ∩ A)
P (A) − P (A ∩ B) + P (A ∩ B) + P (B) − P (A ∩ B)
=
P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
=
n ∈ N} est un système complet d'événements, alors
+∞
X
P (An ) = P (Ω) = 1.
n=0
Exercice 2
On reprend l'exemple 5. On donne, pour n > 1, la probabilité de l'évènement Fn : La partie se termine au nième
lancer qui est P (Fn ) = (5/6)n−1 (1/6). 2
Calculer les probabilités P (A) et P (B) de victoire de chacun des deux participants.
En déduire la probabilité de l'évènement C : Il n'y a pas de vainqueur . Le résultat est-il conforme à l'intuition ?
[pr052]
Exercice 3
Deux évènements A et B sont tels que P (A) = P (B) = 0, 75. Quel est le maximum de P (A∩B) ? Quel est son minimum ?
[pr051]
2. Ce résultat sera démontré ultérieurement
5
Remarque 7 (et rappel). Si Ω est ni, la dénition 7 reste valable, mais équivaut à celle vue en première année : une
probabilité sur un univers ni Ω est une application P de P(Ω) dans [0, 1] vériant les deux axiomes :
1. P (Ω) = 1.
2. Si A et B sont des évènements incompatibles, alors : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) (formule d'additivité).
Démonstration.
: Immédiat avec la proposition 1.
: Si (Ak )k∈N est une suite d'évènements 2 à 2 incompatibles, on a nécessairement Ak = ∅ à partir d'un certain rang. En eet, pour
tout entier n :
!
=⇒
⇐=
n
[
card
Ak
=
k=0
n
X
card (Ak ) 6 card (Ω)
k=0
et card (Ak ) est donc nécessairement nul à partir d'un certain rang.
Ensuite, avec la formule d'additivité (généralisée au rang n), on a :
P
+∞
[
n
[
!
Ak
k=0
=P
!
Ak
k=0
=
n
X
P (Ak ) =
k=0
+∞
X
P (Ak )
k=0
Remarque 8. Pour un univers ni Ω, on dénit souvent une probabilité comme suit :
P (A) =
card (A)
Nombre de cas favorables
=
card (Ω)
Nombres de cas possibles
Dans cet exemple, on parle d'équiprobabilité : c'est à dire que tous les évènements élémentaires ont la même probabilité
1
card (Ω) . On vérie immédiatement les deux axiomes car :
P (Ω) =
card (Ω)
=1
card (Ω)
et si A et B sont disjoints :
P (A ∪ B) =
card (A ∪ B)
card (A)
card (B)
=
+
= P (A) + P (B)
card (Ω)
card (Ω)
card (Ω)
Plus généralement, si P est une probabilité dénie sur un univers Ω = {ω1 , . . . , ωn } de cardinal n ∈ N, alors elle est
déterminée par la donnée des nombres pk := P ({ωk }). Réciproquement, avec n nombres réels positifs p1 , . . . , pn de
somme 1, on dénit une probabilité P en posant P ({ωk }) = pk .
Par exemple, si on considère l'expérience d'une course à pieds entre n candidats n'ayant pas les mêmes capacité
physiques, on peut considérer que les probabilités de chaque participant de l'emporter sont diérentes. La somme de
ces probabilités doit bien sûr être égale à 1 puisqu'on est certain qu'il y aura un vainqueur.
Exemple 7. On peut dénir des probabilités pour le lancer de deux dés sur chacun des univers décrits dans la remarque
2:
Ω1
= {(i, j), 1 6 i, j 6 6}
Ω2
= {(i, j), 1 6 i 6 j 6 6}
(1)
(2)
Si on fait le choix de l'équiprobabilité, on remarque que l'évènement faire un double 6 aura une probabilité de 1/36
sur Ω1 et de 1/21 sur Ω2 . Mathématiquement, les deux modèles sont cohérents, mais on peut penser par l'expérience
statistique que le premier rend mieux compte de la réalité : si on prend deux dés de couleurs diérentes, faire (1, 2) et
(2, 1), ce n'est pas visiblement la même chose.
On peut aussi choisir sur le second univers une probabilité en cohérence avec le premier en prenant :
P (i, i) = 1/36 et P (i, j) = 1/18, si i 6= j
Dans ce cas, il n'y a pas équiprobabilité. Il ne faut pas perdre de vue qu'une probabilité attribuée à un évènement
élémentaire est un choix de modélisation, qui peut être discuté quand à sa pertinence à rendre compte de la réalité.
Remarque 9. Pour un univers ni on considère en général, si le contraire n'est pas précisé, que tous les évènements
élémentaires sont équiprobables, ce qui implique plutôt le choix de l'univers Ω1 dans l'exemple précédent.
Exercice 4
On lance un dé bien équilibré à 20 faces (c'est à dire qu'on considère que les résultats sont équiprobables). Calculer les
probabilités des évènements suivants :
6
1.
2.
3.
4.
5.
A1
A2
A3
A4
A5
: Faire
: Faire
: Faire
: Faire
: Faire
un 20 .
un nombre impair .
un multiple de 3 .
un impair et multiple de 3 un impair ou multiple de 3 ..
[pr018]
Exercice 5
On lance deux dés bien équilibrés à six faces (qu'on suppose discernables). Décrire l'ensemble des résultats à l'aide d'un
arbre. Représenter les sommes dans un tableau à deux entrées. En déduire les probabilités des évènements suivants :
1. A1 = {La somme est égale à 8.}.
2. A2 = {La somme est égale à 7.}.
3. A3 = {On obtient un double}.
4. A4 = {La somme est un nombre pair.}.
5. A5 = {La somme est un multiple de 3.}.
6. A6 = {La somme est un nombre pair et un multiple de 3.}.
7. A7 = {La somme est un nombre pair ou un multiple de 3.}.
[pr020]
Exercice 6
Lors d'une loterie de Noël, 300 billets sont vendus aux enfants de l'école ; 4 billets sont gagnants. J'achète 10 billets,
quelle est la probabilité pour que je gagne au moins un lot ?
[pr022]
Remarque 10. Pour un univers dénombrable Ω = {ωn }n∈N , on ne peut évidemment plus avoir d'équiprobabilité. On
∗
peut caractériser une probabilité P par : ∀k ∈ N∗ , P ({ωk }) = pk , avec pk > 0 et :
+∞
X
pk =
+∞
X
P ({ωk }) = 1
k=1
k=1
Exercice 7
On pose, pour n ∈ N, P ({n}) =
1
2n+1
.
1. Montrer qu'on dénit ainsi une probabilité sur N.
2. Calculer la probabilité de l'évènement B = {n ∈ N, n > 10}.
3. Calculer la probabilité de l'ensemble I des entiers naturels impairs.
[pr024]
II Indépendance et conditionnement
II.A Probabilité conditionnelle
La question qui va maintenant se poser est de savoir de quelle façon on peut modier la probabilité d'un événement
lorsqu'on dispose d'une information supplémentaire.
Prenons l'exemple d'un club de tennis qui compte n licenciés, dont nH hommes et nF = n − nH femmes. Il y a nG
gauchers (des deux sexes) parmi tous les licenciés. On choisit un pratiquant au hasard. Notons les évènements suivants :
G =
{Le pratiquant choisi au hasard est gaucher}
H
{Le pratiquant choisi au hasard est un homme}
=
On note nG∩H le nombre d'hommes gauchers pratiquants. En considérant les divers choix comme équiprobables, on
peut calculer :
n
nH
et P (G ∩ H) = G∩H
P (H) =
n
n
7
On cherche quelle est la probabilité qu'un participant homme choisi au hasard soit gaucher. Autrement dit, quelle est
la probabilité qu'il soit gaucher sachant que c'est un homme ? Il est clair que c'est :
nG∩H
P (G ∩ H) × n
P (G ∩ H)
=
=
nH
P (H) × n
P (H)
ceci motive la dénition suivante :
Dénition 8. Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A et B deux évènements tels que P (B) > 0. On appelle probabilité
conditionnelle de A sachant B le réel :
PB (A) =
P (A ∩ B)
P (B)
(noté aussi : P (A|B))
Théorème 1. L'application PB est une probabilité sur Ω.
Démonstration.
?
Comme A ∩ B ⊂ B , on a 0 6 P (A ∩ B) 6 P (B), d'où 0 6 PB (A) =
? PB (Ω) =
?
Vérions les trois points qui caractérisent une probabilité :
P (A ∩ B)
6 1.
P (B)
P (B)
P (Ω ∩ B)
=
= 1.
P (B)
P (B)
On démontre le dernier point pour Ω ni, il est admis pour Ω dénombrable. Soient A1 et A2 deux évènements incompatibles :
PB (A1 ∪ A2 ) =
P (A1 ∪ A2 ) ∩ B
P (B)
=
P (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B)
P (B)
La réunion étant disjointe, on a :
PB (A1 ∪ A2 ) =
P (A2 ∩ B)
P (A1 ∩ B)
+
= PB (A1 ) + PB (A2 )
P (B)
P (B)
Exercice 8
On considère une urne qui contient 3 boules blanches et deux boules rouges. On en tire deux l'une après l'autre, sans
remise. On considère les évènements :
A
= {obtenir une boule rouge au premier tirage}
B
= {obtenir une boule rouge au second tirage}
L'univers Ω des résultats possibles est constitué des couples de boules obtenus au tirage, en tenant compte de l'ordre
et du fait que les boules sont discernables (cf remarque 2). Ainsi, on considère que chacun des évènements élémentaires
est équiprobable.
1. Quel est le cardinal de Ω ?
2. Calculer le cardinal de A. en déduire P (A).
3. Calculer le cardinal de A ∩ B . En déduire P (A ∩ B).
4. Calculer de deux façons la probabilité P (B|A) d'obtenir une boule rouge au second tirage sachant que la première
est rouge.
[pr026]
Remarque 11. On calcule très souvent d'abord
P (A ∩ B).
P (B|A), qui est généralement un calcul facile, puis on en déduit
II.B Formules de conditionnement
Théorème 2 (Formule des probabilités composées).
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A et B deux évènements tel que P (A) > 0. Alors :
P (A ∩ B) = P (A) × P (B|A)
8
Démonstration.
C'est immédiat avec la dénition d'une probabilité conditionnelle.
Remarque 12. On calcule très souvent directement P (B|A), qui est généralement un calcul facile, puis on en déduit
P (A ∩ B).
Remarque 13. Il peut être utile de savoir généraliser cette formule à une intersection quelconque. Par exemple, si
A, B et C sont trois évènements tels que P (A ∩ B) > 0, alors :
P (A ∩ B ∩ C)
=
P (A ∩ B) × P (C|A ∩ B)
=
P (A) × P (B|A) × P (C|A ∩ B)
Plus généralement, le théorème suivant se montre par récurrence :
Théorème 3 (Formule des probabilités composées généralisée).
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A1 , · · · , An des évènements tels que P (A1 ∩ · · · ∩ An ) > 0. Alors :
P (A1 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 ) × P (A2 |A1 ) × P (A3 |A1 ∩ A2 ) × · · · × P (An |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 )
Démonstration.
Le résultat est trivial pour n = 1, et s'il est vrai au rang n on a, en utilisant la formule des probabilités composées :
P (A1 ∩ · · · ∩ An ∩ An+1 ) = P (A1 ∩ · · · ∩ An ) × P (An+1 |A1 ∩ · · · ∩ An )
On conclut avec l'hypothèse de récurrence.
Exemple 8. On considère une urne contenant deux boules rouges et trois boules blanches. On eectue trois tirages
successifs sans remise et on cherche la probabilité de tirer trois boules blanches. En notant :
Ci
= {obtenir une boule blanche au i-ème tirage}
Il y a trois possibilités sur cinq que la première boule soit blanche donc P (C1 ) = 3/5. Si une boule blanche est tirée,
il ne reste plus que deux boules blanches sur quatre boules restantes au second tirage donc P (C2 |C1 ) = 2/4. Enn, si
on a tiré des boules blanches aux deux premiers tirages, il ne reste plus qu'une boule blanche sur trois boules restantes
d'où P (C3 |C1 ∩ C2 ) = 1/3. Ainsi, avec la formule des probabilités composées généralisée :
P (C1 ∩ C2 ∩ C3 )
= P (C1 ) × P (C2 |C1 ) × P (C3 |C1 ∩ C2 )
3 2 1
1
=
× × =
5 4 3
10
Exercice 9
Chaque jour du lundi au vendredi, Marc a la probabilité p ∈]0, 1[ d'égarer ses lunettes (s'il les a eu le jour qui précède)
mais ce vendredi soir il ne les retrouve plus et ça le contrarie. Il est cependant certain de les avoir eu en sa possession
lundi matin.
1. Quelle est probabilité que Marc ait perdu ses lunettes dans la journée de Lundi ?
2. Quel est le jour le plus probable où eu lieu cette perte ?
[pr035]
Théorème 4 (Formule de Bayes).
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A et B deux évènements tel que P (A) > 0 et P (B) > 0. Alors :
P (A|B) =
P (B|A)P (A)
P (B)
Remarque 14. Cette formule permet de passer d'une probabilité conditionnelle à une autre.
Démonstration.
D'après la formule des probabilités composées, on a :
P (A ∩ B) = P (A|B) × P (B) = P (B|A) × P (A)
et le résultat en découle immédiatement.
9
Théorème 5 (Formule des probabilités totales).
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. B un évènement tel que P (B) > 0. I ⊂ N. Si (Ai )i∈I est un système complet
d'évènements de probabilités non nulles alors :
P (B) =
X
P (B ∩ Ai ) =
i∈I
X
P (B|Ai )P (Ai )
i∈I
Remarque
15. La formule reste valable dans le cas d'une famille (Ai )i∈I d'évènements deux à deux incompatibles tels
X
que
P (Ai ) = 1.
i∈I
Remarque 16. Lorsque le système complet (A1 , . . . , An ) est ni, la formule devient :
P (B) =
n
X
P (B ∩ Ak ) =
k=1
n
X
P (B|Ak )P (Ak )
k=1
Elle est particulièrement employée pour un système complet formé d'un évènement et de son contraire :
P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ A) = P (B|A)P (A) + P (B|A)P (A)
Remarque 17. Lorsque le système complet (An )n∈N est dénombrable, la formule devient :
P (B) =
+∞
X
P (B ∩ An ) =
n=0
+∞
X
P (B|An )P (An )
n=0
Dans le cas où (A1 , . . . , An ) est un système complet ni.
Les évènements A1 , · · · , An sont deux à deux incompatibles, donc les évènements B ∩ A1 , · · · , B ∩ An sont également deux à deux incompatibles. En eet, pour i 6= j :
Démonstration.
(B ∩ Ai ) ∩ (B ∩ Aj ) = B ∩ (Ai ∩ Aj ) = B ∩ ∅ = ∅
De plus, la réunion de ces ensembles forme l'ensemble B :
(B ∩ A1 ) ∪ · · · ∪ (B ∩ An ) = B ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An ) = B ∩ Ω = B
D'où :
P (B)
Donc P (B) =
n
X
P (B ∩ Ak ) =
k=1
n
X
P (B|Ak )P (Ak )
=
P (B ∩ A1 ) ∪ · · · ∪ (B ∩ An )
=
P (B ∩ A1 ) + · · · + P (B ∩ An )
(avec la formule des probabilités composées).
k=1
Exercice 10
Un débutant à un jeu eectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, les probabilités de gagner ou de
perdre sont les mêmes. Puis on suppose que :
Si une partie est gagnée, la probabilité de gagner la suivante est 0, 6.
Si une partie est perdue, la probabilité de perdre la suivante est 0, 7.
Soit Gn l'évènement Gagner la partie n , et un = P (Gn ). On note vn = P (Gn ).
1. Écrire deux relations entre un , un+1 , vn , vn+1 .
2. À l'aide de la matrice mise en évidence, en déduire un et vn .
Faire un calcul direct à l'aide de un + vn .
[pr029]
En combinant la formule de Bayes avec celle des probabilités totales, on obtient le théorème suivant :
Corollaire 1.
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. B un évènement tel que P (B) > 0. I ⊂ N. Si (Ai )i∈I est un système complet
d'évènements de probabilités non nulles alors pour tout j ∈ I :
P (B|Aj )P (Aj )
P (Aj |B) = X
P (B|Ai )P (Ai )
i∈I
10
On peut noter qu'il n'est pas nécessaire de retenir par coeur cette formule. Elle se retrouve immédiatement à l'aide des
formules précédentes.
Exercice 11
Une maladie est présente dans la population à raison d'une personne malade sur 10000. Un laboratoire pharmaceutique
a développé un test de dépistage : si une personne est malade, le test est positif à 99%. Si une personne n'est pas
malade, le test est positif à 0, 1%.
1. Le test vous paraît-il assez able à première vue ?
2. Calculer la probabilité qu'une personne donnée soit infectée sachant qu'elle a un test positif.
Que pensez-vous maintenant de ce test ?
[pr030]
II.C Indépendance de deux évènements
Dénition 9. Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A et B deux évènements.
On dit que A et B sont indépendants si P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Remarque 18. Si P (B) > 0, l'indépendance de A et B équivaut à l'égalité P (A|B) = P (A).
Démonstration.
Il sut de rappeler que P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
et c'est immédiat.
Remarque 19. Dans la pratique, la notion est très intuitive : on reconnaîtra deux évènements indépendants lorsque
la réalisation de l'un n'inue pas (en termes de chances de réalisation) sur la réalisation de l'autre.
Ainsi, si on prend l'exemple d'une urne contenant des boules de couleur (3 blanches, 3 rouges), et qu'on fait deux tirages
successifs avec remise, on peut considérer que l'évènement A : tirer une boule blanche au premier tirage n'inue pas
sur l'évènement B : tirer une boule blanche au second tirage : il y a toujours 3 possibilités sur 6 pour ce dernier
(soit une probabilité de 1/2).
Mathématiquement, on peut vérier ainsi l'indépendance de A et B :
P (B) =
P (B|A) =
Nombre de tirages favorables
card (B)
6×3
1
=
=
=
Nombre de tirages possibles
card (Ω)
6×6
2
Nombre de tirages favorables
card (B ∩ A)
3×3
1
=
=
=
Nombre de tirages possibles
card (B)
6×3
2
En revanche, si le tirage s'eectue sans remise, il est intuitif que les évènements A et B ne soient plus indépendants : si
une boule rouge est obtenue au premier tirage, il y a 3 possibilités sur 5 de sortir une boule blanche au second tirage.
Si une boule blanche est obtenue au premier tirage, il ne reste plus que 2 possibilités sur 5 d'en sortir une au second
tirage.
Exemple 9. On lance une pièce deux fois successivement, et on cherche la probabilité de l'évènement A : obtenir
face sur les deux lancers . On considère que les résultats des deux lancers sont indépendants. On peut décomposer A
de la manière suivante : A = A1 ∩ A2 avec :
A1 = {obtenir face sur le premier lancer}
A2 = {obtenir face sur le second lancer}
Les événements A1 et A2 sont donc indépendants de probabilité égale à 1/2. Donc :
P (A) = P (A1 ) × P (A2 ) =
1
4
On peut également obtenir ce résultat en comptant le nombre de cas favorables à la réalisation de A (un seul) et en
divisant par le nombre de cas possibles (quatre).
Remarque 20. Attention car l'indépendance de deux évènements peut dépendre de la loi de probabilité, où même de
l'univers, comme le montrent les exercices qui suivent.
11
Exercice 12
On lance deux fois une pièce. A est l'évènement obtenir pile au premier lancer et B est l'évènement obtenir deux
fois le même résultat .
Étudier l'indépendance de A et B , d'abord sous l'hypothèse que la pièce est parfaitement équilibrée, ensuite sous
3
l'hypothèse que la pièce est faussée de sorte que la probabilité d'obtenir pile à un lancer soit .
[pr031]
5
Exercice 13
On s'intéresse à la répartition des sexes des enfants d'une famille de n enfants. On prend comme modélisation :
Ωn = {f, g}n = {(x1 , . . . , xn ), xi ∈ {f, g}, i = 1, . . . , n}
muni de l'équiprobabilité. On considère les évènements :
A
= {La famille a des enfants des deux sexes}
B
= {La famille a au plus une lle}
2n − 2
n+1
et P (B) = n .
2n
2
2. En déduire que A et B ne sont indépendants que si n = 3.
1. Montrer que pour n > 2, P (A) =
[pr032]
II.D Indépendance mutuelle d'une famille nie d'évènements
Dénition 10. Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A1 , . . . , An une famille nie d'évènements.
On dit que A1 , . . . , An sont mutuellement indépendants si pour tout i1 , · · · , ik ∈ [[1, n]], on a
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik ) = P (Ai1 ) · P (Ai2 ) · · · P (Ain )
Remarque 21.
− En particulier, l'indépendance mutuelle d'une famille nie d'évènements entraîne l'indépendance de ces évènements
deux à deux.
− Attention car la réciproque est fausse en général. Lorsque n > 3, l'indépendance des évènements Ak (1 6 k 6 n)
deux à deux n'entraîne pas leur indépendance mutuelle.
Par exemple, on lance un dé deux fois de suite et on considère les évènements suivants :
(a) A : Le premier lancer est égal à 1. (b) B : Les deux lancers sont égaux. (c) C : Le second lancer est égal à 2. 1
6
L'univers est Ω = [[1, 6]]2 et card (Ω) = 36. On a P (A) = P (B) = P (C) = .
A et C sont clairement indépendants. Les évènements A et B (de même que B et C ) sont indépendants car :
P (A ∩ B) =
card (A ∩ B)
1
=
= P (A) × P (B)
card (Ω)
36
En revanche, les évènements A, B et C ne sont pas mutuellement indépendants car :
P (A ∩ B ∩ C) = P (∅) = 0 6= P (A) × P (B) × P (C)
Il faut en fait comprendre que la connaissance simultanée de A et B modie notre information sur C : sachant que
le premier lancer fait 1 et que les deux lancers sont égaux, on sait qu'il n'est pas possible que le second lancer soit
égal à 2.
Exercice 14
On lance n fois successivement un dé à 6 faces. Les résultats de chaque lancer sont considérés (mutuellement) indépendants.
12
1. Calculer la probabilité de l'évènement Fn : "Obtenir un six uniquement au nième lancer".
2. Calculer la probabilité de l'évènement Gn : "Obtenir au moins un six au cours des n lancers".
3. Calculer la probabilité de l'évènement Hn : "Obtenir 2 fois un six au cours des n lancers".
[pr033]
Remarque 22. De manière générale on considère, comme dans l'exercice précédent, une expérience aléatoire composée
d'épreuves répétées dans les mêmes conditions, par exemple :
Lancers successifs d'un dé (ou pièce de monnaie).
Tirages dans une urne avec remise.
On admet que si A1 , . . . , An sont des évènements tels que An est déterminé uniquement par le résultat de la n-ième
épreuve , alors A1 , . . . , An sont mutuellement indépendants. En eet, le résultat d'une épreuve donnée n'inuence pas
celui des autres épreuves.
13