Feuille d`exercices 13 - Espaces vectoriels

Feuille d’exercices 13 - Espaces vectoriels - MPSI 1
Joyeux Noël et bonne année 223*3*3
Exercice 1
1. Soient G0et G00 deux sous-groupes d’un groupe G. Mon-
trer que G0∪Gest un groupe si et seulement si G0⊂G00
ou G00 ⊂G0.
2. Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels d’un K-
espace vectoriel E. Montrer que F∪Gest un sous-espace
vectoriel de Esi et seulement si F⊂Gou G⊂F.
3. Montrer que F+G=Vect(F∪G).
4. Soient V1, V2, ..., Vnns-e-v de E.
Montrer que V1∪V2∪... ∪Vnest un s-e-v de Esi et
seulement si l’un des s-e-v Vicontient tous les autres.
Exercice 2
Dans cet exercice, E=F(R,R).
1. L’ensemble {f∈E, f(1) = 1}est-il un sous-espace
vectoriel de E?
2. Soit F={x7→ ach(x−b),(a, b)∈R2}. Montrer que
sh et ch sont des éléments de Vect(F)puis que Fn’est
pas un sous-espace vectoriel de E.
Exercice 3
Soit Eun K-espace vectoriel, pet qdeux projecteurs.
1. On suppose que p◦q=IdE. Montrer que q◦pest un
projecteur.
2. Montrer que p+qest un projecteur si et seulement si
p◦q=q◦p= 0L(E).
3. Montrer que Ker p=Ker qsi et seulement si p=p◦q
et q=q◦p.
Exercice 4
Soit Eun K-espace vectoriel. Soit Uun sous-espace vectoriel
de Equi admet deux sous-espaces vectoriels supplémentaires
dans E,Vet W. Soit ple projecteur sur Vparallèlement à U.
Montrer que pdéfinit un isomorphisme de Wsur V.
Exercice 5
1. Soit ϕune forme linéaire non nulle sur un K-espace vec-
toriel E. Montrer qu’il existe un vecteur x0∈Etel que
Ker ϕet Vect ({x0})sont supplémentaires dans E.
2. Soient ϕet ψdeux formes linéaires. Montrer que
Ker ψ⊂Ker ϕ⇔ ∃λ∈K, ϕ =λψ.
Exercice 6
Soient F,Get Htrois s-e-v d’un K-e-v E.
1. Montrer que (F∩G)+(F∩H)⊂F∩(G+H).
2. Montrer que F+ (G∩H)⊂(F+G)∩(F+H).
3. Montrer que F∩(G+ (F∩H)) = (F∩G) + (F∩H).
Exercice 7
Soit Eun K-e-v et f∈L(E).
1. Montrer que Im f+Ker f=E⇔Im f=Im f2.
2. Montrer que Im f∩Ker f={0} ⇔ Ker f=Ker f2.
Exercice 8 Soit p∈L(E)un projecteur non nul et qui n’est
pas l’identité.
1. Montrer que IdE−pest un projecteur, que
Ker (IdE−p) = Im pet que IdE−pn’est pas inversible.
2. Soit P={a.p +b.Id, (a, b)∈K2}. Montrer que P
est un s-e-v de L(E)et un sous-anneau commutatif de
(L(E),+,◦).
3. Montrer que si λ∈K{1},IdE−λp est un automor-
phisme de E(on cherchera son inverse dans P).
4. Déterminer les éléments inversibles de l’anneau P.
Exercice 9 Soit Eun K-e-v, aet bdeux scalaires distincts. On
suppose que (u−a.IdE)◦(u−b.IdE) = 0L(E).
1. Montrer que p=1
b−a(u−a.IdE)et
q=1
a−b(u−b.IdE)sont deux projecteurs de E.
2. Montrer que ∀n∈N, un=anp+bnq.
3. En supposant que ab 6= 0, exprimer unen fonction de p
et qpour n∈Z.
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