Feuille d’exercices 13 - Espaces vectoriels - MPSI 1 Joyeux Noël et bonne année 223*3*3 Exercice 1 0 Exercice 7 Soit E un K-e-v et f ∈ L(E). 00 1. Soient G et G deux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que G0 ∪ G est un groupe si et seulement si G0 ⊂ G00 ou G00 ⊂ G0 . 1. Montrer que Im f + Ker f = E ⇔ Im f = Im f 2 . 2. Montrer que Im f ∩ Ker f = {0} ⇔ Ker f = Ker f 2 . 2. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K- Exercice 8 Soit p ∈ L(E) un projecteur non nul et qui n’est espace vectoriel E. Montrer que F ∪G est un sous-espace pas l’identité. vectoriel de E si et seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F . 1. Montrer que IdE − p est un projecteur, que 3. Montrer que F + G = Vect(F ∪ G). Ker (IdE −p) = Im p et que IdE −p n’est pas inversible. 4. Soient V1 , V2 , ..., Vn n s-e-v de E. 2. Soit P = {a.p + b.Id, (a, b) ∈ K 2 }. Montrer que P Montrer que V1 ∪ V2 ∪ ... ∪ Vn est un s-e-v de E si et est un s-e-v de L(E) et un sous-anneau commutatif de seulement si l’un des s-e-v Vi contient tous les autres. (L(E), +, ◦). Exercice 2 Dans cet exercice, E = F(R, R). 3. Montrer que si λ ∈ K{1}, IdE − λp est un automorphisme de E (on cherchera son inverse dans P). 1. L’ensemble {f ∈ E, f (1) = 1} est-il un sous-espace vectoriel de E ? 4. Déterminer les éléments inversibles de l’anneau P. 1. On suppose que p ◦ q = IdE . Montrer que q ◦ p est un projecteur. 2. Montrer que ∀n ∈ N, un = an p + bn q. Exercice 9 Soit E un K-e-v, a et b deux scalaires distincts. On 2. Soit F = {x 7→ a ch(x − b), (a, b) ∈ R2 }. Montrer que suppose que (u − a.Id ) ◦ (u − b.Id ) = 0 E E L(E) . sh et ch sont des éléments de Vect(F ) puis que F n’est 1 pas un sous-espace vectoriel de E. (u − a.IdE ) et 1. Montrer que p = b−a Exercice 3 1 (u − b.IdE ) sont deux projecteurs de E. q= Soit E un K-espace vectoriel, p et q deux projecteurs. a−b 3. En supposant que ab 6= 0, exprimer un en fonction de p et q pour n ∈ Z. 2. Montrer que p + q est un projecteur si et seulement si p ◦ q = q ◦ p = 0L(E) . 3. Montrer que Ker p = Ker q si et seulement si p = p ◦ q et q = q ◦ p. Exercice 4 Soit E un K-espace vectoriel. Soit U un sous-espace vectoriel de E qui admet deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E, V et W . Soit p le projecteur sur V parallèlement à U . Montrer que p définit un isomorphisme de W sur V . Exercice 5 1. Soit ϕ une forme linéaire non nulle sur un K-espace vectoriel E. Montrer qu’il existe un vecteur x0 ∈ E tel que Ker ϕ et Vect ({x0 }) sont supplémentaires dans E. 2. Soient ϕ et ψ deux formes linéaires. Montrer que Ker ψ ⊂ Ker ϕ ⇔ ∃λ ∈ K, ϕ = λψ. Exercice 6 Soient F , G et H trois s-e-v d’un K-e-v E. 1. Montrer que (F ∩ G) + (F ∩ H) ⊂ F ∩ (G + H). 2. Montrer que F + (G ∩ H) ⊂ (F + G) ∩ (F + H). 3. Montrer que F ∩ (G + (F ∩ H)) = (F ∩ G) + (F ∩ H). 1