équations différentielles linéaires; début des espaces vectoriels normés

Programme de khôlle
Psi 945 2016/2017
http://blog.psi945.fr
Khôlles : quinzaine numéro 10
Du 6 au 17 mars 2017
1 Première semaine : équations diérentielles
Rappels de première année sur les équations diérentielles linéaires, avec en particulier la nature
géométrique des ensembles de solutions, et la résolution eective pour les équations scalaires
d'ordre 1 (variation de la constante) et les homogènes d'ordre 2 à coecients constants.
Théorème de Cauchy linéaire pour Y (t) = AY (t) + B(t). Dimension de l'espace des solutions de
l'équation homogène. Résolutions pratiques lorsque A est diagonalisable ou trigonalisable.
Version scalaire (ordre 2) du théorème de Cauchy au sujet de y = ay + by + c lorsque a, b et
c sont continues sur I . Deux solutions de l'équation homogène constituent une base de S si et
seulement si leur wronskien ne s'annule pas. Si on connaît une première solution non nulle (par
exemple après recherche d'une solution développable en série entière), on peut en chercher une
seconde (libre avec la première) par factorisation. Quelques exemples de raccords de solutions
d'équations non résolues.
Le tout début des espaces vectoriels normés.
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H
2 Deuxième semaine : EDL, espaces vectoriels normés
Des équations diérentielles
Expaces vectoriels normés : normes et distances, boules, ouverts, fermés. À la marge : intérieur et
adhérence.
Convergence des suites. Caractérisation séquentielle des fermés.
Limite d'une fonction en un point adhérent, continuité. Propriétés opératoires.
En dimension nie : toutes les normes sont équivalentes; la convergence d'une suite est équivalente
à la convergence des coordonnées; la continuité d'une fonction est équivalente à la continuité de ses
applications coordonnées; une fonction continue dénie sur un fermé borné est bornée et atteint
ses bornes. les applications linéaires sont continues.
3 Questions de cours
(S1) Si u ∈ S a ses valeurs propres positives, alors il existe v ∈ S dont les valeurs propres sont
positives et tel que v = u.
(S1) Méthode de la variation de la constante pour prouver que si a et b sont continues sur I , alors
l'équation y = ay + b possède au moins une solution.
(S1+S2) Deux solutions y et y d'une équation homogène constituent une base de S si et
seulement si leur wronskien ne s'annule pas.
(S1+S2) Les boules ouvertes... sont des ouverts! Idem pour les boules fermées.
(S2) Unicité de la limite, pour une suite convergente d'un espace vectoriel normé.
(S2) Si f est continue de E dans R, alors {x ∈ E; f (x) > 0} est un ouvert de E. Variantes.
E
E
2
0
1
2
H
4 Coming next
Prochaine (et dernière!) quinzaine : calcul diérentiel dans R .
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