Résolution des systèmes d`équations non-linéaires
Chapitre V Résolution des systèmes d’équations non-linéaires
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V.1 Introduction :
Un problème qui apparait fréquemment dans le calcul numérique est la détermination
simultanée de quelque ou tout les racines d’un ensemble d’équations non linéaires. Tel
problème est généralement plus compliqué que dans le cas d’une seule équation.
Exemple
:soit le système de deux équations suivant :
2+2= 4
+= 1
Dont la représentation graphique est donné par la figure( V.1)
Pour ce système il est clair qu’il accepte deux solutions distinctes alors que pour d’autre
système une étude plus détaillé sera nécessaire pour déterminer le nombre de solutions.
Un système général de n équations à n inconnus x
1
, . . . , x
n
peut se mètre sous la forme
(1,2,..,)= 0, i=1,..,n
Avec f
1
,…,f
n
, sont des fonctions à n variables, ou sous la forme vectorielles ()= 0
Le point de départ pour ce type de problème est la généralisation des méthodes de résolution
d’une équation non-linéaire (n=1) au système d’équations (n>1), mais par exemple il est
difficile ou impossible de généraliser tout les techniques (méthode de bissection et sécante), la
méthode de Newton, par contre, admet bien la généralisation.
V.2. Méthode de résolution :
V.2.1 Point fixe (à plusieurs variables)
Nous pouvons adapter la méthode de point fixe utilisé pour la résolution d’une équation non
linéaire à un système d’équations non linéaire :
()= 0 :
1(1,2,..,)= 0
2(1,2, . . , )= 0
…………………..
(1,2,..,)= 0
Par extraction d’une seule variable d’une des équations de façon à obtenir les schémas
suivants :
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=()
1=1(1,2,..,)
2=2(1,2, . . , )
…………………..
=(1,2, . . , )
Il faut noter qu’il n’est pas obligatoire d’extraire la première variable de la première
équation mais nous avons une multitude de combinaisons possibles. Le chois du schéma
obtenu est régi par la condition de convergence.
Ensuite on passe au schéma de récurrence suivant :
+1 =()
1
+1 =11
,2
,…,
2
+1 =21
,2
,…,
………………………..
+1 =1
,2
,…,
Avec : 01
0
…
0 connue ou donné.
Pour amélioré la convergence, on remarque qu’il est possible d’obtenir une autre
configuration basé sur l’utilisation des nouvelles valeurs de x
i
lorsqu’on calcule x
j
dans le cas
ou j>i c’est-à-dire : +1 =(,+1)
1
+1 =11
,2
,…,
2
+1 =21
+1,2
,…,
3
+1 =31
+1,2
+1,…,
………………………..
+1 =1
+1,2
+1, … , 1
+1,
Exemple :
2+2= 4
+= 1
0
0=2
1
Solution :
On maitre le système précédant sous la forme suivante :
+1
+1=4+12
1
Et pour une solution initiale : 0
0=2
1
Nous obtenant les résultats suivants :
k x y
1 -1.732051 0.8646647
2 -1.803429 0.8230788
Chapitre V Résolution des systèmes d’équations non-linéaires
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3 -1.822784 0.8352669
4 -1.817231 0.8384247
5 -1.815776 0.8375250
6 -1.816192 0.8372885
7 -1.816301 0.8373560
8 -1.816270 0.8373737
9 -1.816261 0.8373687
10 -1.816264 0.8373674
Si on utilise le deuxième schéma on obtient une convergence plus rapide
k x y
1 -1.732051 0.8230788
2 -1.822784 0.8384247
3 -1.815776 0.8372885
4 -1.816301 0.8373737
5 -1.816261 0.8373674
6 -1.816264 0.8373678
V.2.1.2.
Critère de convergence:
Pour obtenir la convergence d’un schéma à point fixe dans le cas d’une seule équation non
linéaire (n=1) la valeur absolue de la dérivée de G doit être inférieure à l’unité
< 1, alors
dans le cas ou n>1 la condition de convergence est étendue au système de condition suivant :
1
1
+
2
1
++
1
< 1 et
1
2
+
2
2
++
2
< 1 et
………………………..
1
+
2
++
< 1
Exemple : Tester cette condition sur le système précédant.
Algorithme
+1 =()
Début
Lire X
0
,
e
Faire tans que ||>
Fin tans que
+1 =(,+1)
Début
Lire X
0
,
e
Faire tans que ||>
Fin tans que
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V.2.2 Méthode de Newton
La méthode de Newton pour un système d’équation non linéaire consiste à généraliser la
méthode vue pour une seule équation et en prenant en considération l’effet dimensionnel.
Soit le système d’équation suivant :
1(,)= 0
2(,)= 0
A partir d’un couple de valeurs approchées (x
1
,y
1
) d’une solution du système, on peut
déterminer deux accroissements h et k à donner à x
1
et y
1
de manière à ce que :
1(1+,1+)= 0
2(1+,1+)= 0
En utilisant un développement de premier ordre on obtient :
1(1+,1+)=1(1,1)+ +.1(1)+.1(1)= 0
2(1+,1+)=2(1,1)+ +.2(1)+.2(1)=0
Avec :
1(1)=
1(,)
=1, 1(1)=
1(,)
=1,
2(1)=
2(,)
=1, 2(1)=
2(,)
=1,
Les quantités h et k sont déterminé alors par la résolution du système d’équations linéaires
suivant :
1
1
2
2
1
1=1(1,1)
2(1,1)
La matrice =
1
1
2
2
est appelé Jacobiènnes du système.
Les nouvelles valeur de x et y notés (x
2
,y
2
) sont donné par :
x
2
= x
1
+h
1
y
2
=y
1
+k
1
Le calcul est alors relancé avec le nouveau couple (x
2
,y
2
) affin d’approximer le couple (x
3
,y
3
)
et le processus sera répéter jusqu’à ce que h
i
et k
i
deviennent inférieures à une valeur e que
l’on se donne (selon la précision voulue pour le calcul). Ainsi, l’algorithme correspondant est
Algorithme
Exemple :
Soit le système suivant dont les solutions sont représentées sur la figure 1 :
=[1]. [()]
+1 =+
Début
Lire X
0
,
e
Faire tans que ||>
Définir []
Fin tans que
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x
2
+y
2
=2.0
x
2
-y
2
=1.0
Analytiquement on peut obtenir les solutions suivantes : = ±3
2
, = ± 2
2
1(,)=2+22
2(,)=221
1
= 2,
1
= 2
2
= 2,
2
=2
Donc =22
2 2,1(,)
2(,)=22+ 2
2+2+ 1
En utilisant la méthode de Newton et en partant du couple (1,1) on obtient :
n=1 :
=2 2
22, 1(,)
2(,)=0
1
Donc
=[1].[()] =1/4
1/4 donc x=1.25,y=0.75
Et en répétant le processus en obtient le tableau suivant :
x
1
x
2
∆x
1
∆x
2
1.000000 1.000000 0.2500000 -0.2500000
1.250000 0.7500000 -2.5000000E-02 -4.1666668E-02
1.225000 0.7083333 -2.5512589E-04 -1.2254703E-03
1.224745 0.7071078 -4.4570623E-08 -1.0607812E-06
En utilisant le couple (-1,1) on obtient :
x
1
x
2
∆x
1
∆x
2
-1.000000 1.000000 -0.2500000 -0.2500000
-1.250000 0.7500000 2.5000000E-02 -4.1666668E-02
-1.225000 0.7083333 2.5512589E-04 -1.2254703E-03
-1.224745 0.7071078 4.4570623E-08 -1.0607812E-06
-1.224745 0.7071068 4.4570626E-08 1.2101619E-08
1
/
5
100%
