Nombre dérivé - Perpendiculaires
Nom : Jeudi 16 janvier 2014 – 2h00
Devoir surveillé n°5
Angles orientés – Trigonométrie – Nombre dérivé
L’énoncé est à rendre avec sa copie.
Penser à écrire son nom en entête sur cet énoncé ainsi que sur l’annexe.
La qualité de la rédaction et de la présentation entrera pour une part importante dans la notation
de la copie.
Le barème n’est qu’indicatif (le devoir est noté sur 30 points).
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
EXERCICE 1(3 points).
ABCD est un parallélogrammme tel que ³−→
AB ;−−→
AD´=π
6et Eest un point tel que ³−−→
D A ;−→
AE´=−2π
3.
1. Par le calcul à l’aide des angles orientés, déterminer ³−→
AE ;−−→
CD´.
Aucune lecture graphique d’angle géométrique ne sera recevable.
2. Que peut-on en déduire pour les droites (AE) et (CD) ?
EXERCICE 2(8 points).
Les parties et les questions de chaque partie sont indépendantes.
Partie A
Donner la mesure principale des angles suivants et placer les points correspondants sur le cercle
trigonométrique fourni en annexe sur la figure 5.1 :
1. α=41π
6. 2. β=181π
4.
Partie B
Déterminer, dans l’intervalle indiqué, l’ensemble Sdes solutions des équations suivantes :
1. Dans R: sinx=−p2
2.
2. Dans R: cosx=−1
2.
3. Dans ]−π;π] : sin x=cos¡π
8¢.
4. Question bonus (hors barème)
Dans [0; 2π] : 2sin2x+sinx−1=0.
On pourra penser à effectuer le changement
de variable X =sinx.
Partie C
Simplifier au maximum les expressions suivantes :
1. A(x)=cos(6π)+sin¡−3π
4¢+cos¡−π
2¢+sin(11π)+cos¡7π
6¢+sin¡8π
3¢
2. B(x)=¡sin¡π
2−x¢¢2+sin(π−x)cos¡π
2−x¢
EXERCICE 3(6 points).
Soit fune fonction définie et dérivable sur Ret Csa courbe représentative donnée en annexe sur
la figure 5.2.
Les droites TA,TBet TCsont les tangentes à la courbe Crespectivement aux points A,Bet C.
1. (a) Expliquer comment déterminer graphiquement vers quel nombre tend la quantité
f(1+h)−f(1)
hlorsque htend vers 0.
(b) Donner ce nombre.
2. Par lecture graphique, déterminer :
(a) f(−2) et f′(−2) ;
(b) f(3) et f′(3).
3. On sait que f(5) =0 et que f′(5) =5
2.
(a) Tracer la tangente TDà la courbe Cau point Dd’abscisse 5.
(b) Déterminer par le calcul l’équation réduite de TD.
Jeudi 16 janvier 2014 – 2h00
EXERCICE 4(9 points).
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x)=x2+2x−3. On appelle Csa courbe représentative.
1. (a) Déterminer par le calcul les coordonnées de A, point d’intersection de Cavec l’axe des
ordonnées.
(b) Déterminer par le calcul, à l’aide du taux d’accroissement, le coefficient directeur de la
tangente à Cen A.
2. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection de Cavec l’axe des abs-
cisses.
3. Déterminer par le calcul, à l’aide du taux d’accroissement, f′(−1) puis une équation réduite
de la tangente à Cau point d’abscisse −1.
4. Dans le repère de la figure 5.3 donnée en annexe :
(a) Placer en rouge tous les points qu’on peut déduire des questions précédentes ;
(b) Tracer en vert toutes les tangentes qu’on peut déduire des questions précédentes ;
(c) Tracer C.
EXERCICE 5(4 points).
Une entreprise Eest en construction sur un ter-
rain à une certaine distance d’une route R.
L’objectif de l’architecte responsable de cette
construction est de déterminer le point de la
route le plus proche de l’entreprise afin de
construire l’allée la plus courte possible pour
joindre l’entreprise à cette route.
Après étude, il constate que, dans un repère bien
choisi, l’entreprise peut être considérée comme
située au point Ede coordonnées (1; 0) et que
la route peut être modélisée, sur cette portion,
comme la représentation graphique Rde la
fonction qui à xassocie pxsur [0; 1], comme in-
diqué sur le repère ci-contre.
O
x
y
E
R
Soit Mun point de Rd’abscisse x.
On note E M =f(x).
1. Montrer que f(x)=px2−x+1.
2. Soit gla fonction définie sur Rpar g(x)=x2−x+1.
(a) Déterminer les variations de gsur Ret en déduire celles de fsur [0; 1].
(b) En déduire les coordonnées du point Mqui minimise la longueur de l’allée et donner
cette longueur (dans l’unité du repère).
(c) Placer ce point sur la figure et tracer cette allée.
1
/
3
100%
