Première S - Trinôme du second degré

Trinôme du second degré.
Equation du second degré.
I) Trinôme du second degré :
1) Définition
On appelle fonction trinôme du second de
g
ré toute fonction  définie sur IR
qui peut s’écrire sous la forme :
:⟼² avec ,  et  réels et   0 .
On dit que ²est un polynôme du second degré ou un trinôme
du second degré.
Exemple :
Soit ,  ,  et j les fonctions définies sur IR par :
² , 3²–52, 13–) , 3²
sont des fonctions polynômes du second degré.
Contre exemples :
 définie sur IR par 1²––1²
n’est pas une fonction polynôme du second degré car en simplifiant on trouve
4 .
 définie sur IR \ {0} par + 
 - 4
 définie sur IR par ²1.
ne sont pas non plus des trinômes du second degré.
2) Forme canonique
Soit la fonction définie sur par = ²     , avec a  0 ,
un polynôme du second degré.
Comme a  0 , pour tout réel , on a =  ²
Or ²
 =  
² ²
²
Donc  = 
² 
et enfin  =  
²
Cette écriture s’appelle forme canonique du trinôme .
Exemple 1: Soit  = ²–3+ 
 . Ecrire le trinôme  sous forme canonique.

 =²–3+ 
 donc  ( – 
)2 –   +   et enfin
 ( – 
)2 – 
Exemple 2 : Ecrire le trinôme  sous la forme canonique :
 =  
 ²+ 5
 = 1
2 ²+ 5 donc  =  
 (²2 10) ou encore
 = 1
2 1²110 et enfin :
=
²
II Equation du second degré : a x ² + b x + c = 0
avec a  0 .
1) Discriminant
Le réel ² se note ∆ et s’appelle le discriminant du trinôme :
²
On a donc .
 =  
² ∆
.
Exemples :
• Calculer le discriminant de 3²–51 :
Réponse :  = (– 5 ) ² – 4 ( 3 ) ( 1)
 = 13
• Calculer le discriminant de ²–3 
 :
Réponse :  = 3
• Calculer le discriminant de 1
2 ²+ 5 :
Réponse :  = -9

2) Equation du second degré : a x ² + b x + c = 0
avec a  0 .
Soit ²un polynôme du second de
g
ré (a 0) et
 = ² son discriminant.
L’existence de solutions pour l’équation ² et la factorisation du
polynôme dépendent du signe de  .
Si  > 0 Si  = 0 Si  < 0
l’équation
²  admet
deux solutions
distinctes dans IR :
√
et
√
Le trinôme se factorise de
la façon suivante :
––
l’équation
²       admet
une solution unique dans
IR : 
Le trinôme se factorise
de la façon suivante :
–²
l’équation
²  n’admet
pas de solution dans IR
 n’est pas factorisable
en produit de facteurs du
premier degré à
coefficients réels.
Remarques :
 On appelle racine du polynôme ² toute solution de l’équation :
²0 .
 Si le polynôme admet deux racines  et  distinctes ou confondues, alors :
leur somme – 
leur produit P =  x = 
 Lorsque l’équation admet une solution unique  , c’est-à-dire lorsque  = 0 ,
on dit que  est une solution double, car elle a deux fois la même solution et 
 = a (  –  ) ² .
Exemples :
Déterminer si les polynômes suivants admettent des racines ;
si oui en donner une factorisation.
1) ²––6 ;
2) 5²–4035;
3) 9²–61;
4) ²–1;
5)  ,  ²  1

Réponses :
• Pour :
 = 25
le polynôme admet 2 racines – 2 et 3 ,
on a donc : 2–3 ;
• Pour :
Tout d’abord factorisons par 5 : 587
= 36
le polynôme admet 2 racines : 1 et 7 ,
on a donc : 5–1–7 ;
• Pour  :
 = 0
le polynôme admet une racine 
 ,
on a donc : = 9 ( – 1
3 )2 ;
• Pour j :
 = – 3
le polynôme n’admet aucune racine dans  et n’est pas factorisable ;
• Pour k :
 =  ² – 4 1 = 2²
le polynôme admet une racine si 2 et deux racines si 2