Trinôme du second degré. Equation du second degré. I) Trinôme du second degré : 1) Définition On appelle fonction trinôme du second degré toute fonction définie sur IR qui peut s’écrire sous la forme : : ⟼ ² avec , On dit que ² du second degré. et réels et 0. est un polynôme du second degré ou un trinôme Exemple : Soit , , et j les fonctions définies sur IR par : ² , 3 ²– 5 2, 1 3– ) , 3 ² sont des fonctions polynômes du second degré. Contre exemples : définie sur IR par 1 ²– – 1 ² n’est pas une fonction polynôme du second degré car en simplifiant on trouve 4 . définie sur IR \ {0} par définie sur IR par + -4 ² 1. ne sont pas non plus des trinômes du second degré. 2) Forme canonique Soit la fonction définie sur par un polynôme du second degré. = Comme a 0 , pour tout réel , on a = Or ² Donc = = et enfin = ² , avec a 0, ² ² ² ² ² ² Cette écriture s’appelle forme canonique du trinôme . Exemple 1: Soit = ²– 3 + . Ecrire le trinôme sous forme canonique. = ²– 3 + ( – )2 – donc + et enfin ( – )2 – Exemple 2 : Ecrire = ² + 5 = 1 ² 2 + 5 = 1 2 = 1 ² ² le trinôme donc 1 sous = ( ² la 2 forme canonique : 10) ou encore et enfin : 10 II Equation du second degré : a x ² + b x + c = 0 avec a 0 . 1) Discriminant Le réel ² ² se note ∆ et s’appelle le discriminant du trinôme : On a donc . = ∆ ² Exemples : • Calculer le discriminant de 3 ²– 5 Réponse : = (– 5 ) ² – 4 ( 3 ) ( 1) = 13 • Calculer le discriminant de ²– 3 Réponse : 1 : : =3 1 • Calculer le discriminant de ² 2 Réponse : = -9 + 5 : . 2) Equation du second degré : a x ² + b x + c = 0 avec a 0 . Soit ² = ² un polynôme du second degré (a son discriminant. L’existence de solutions pour l’équation ² polynôme dépendent du signe de . 0) et et la factorisation du Si >0 Si =0 Si <0 l’équation l’équation l’équation ² n’admet ² admet ² admet deux solutions une solution unique dans pas de solution dans IR IR : distinctes dans IR : et √ √ n’est pas factorisable Le trinôme se factorise de Le trinôme se factorise en produit de facteurs du de la façon suivante : la façon suivante : premier degré à – ² – – coefficients réels. Remarques : On appelle racine du polynôme ² ² Si le polynôme admet deux racines leur somme leur produit P = x toute solution de l’équation : 0 . et distinctes ou confondues, alors : – = Lorsque l’équation admet une solution unique , c’est-à-dire lorsque = 0 , on dit que est une solution double, car elle a deux fois la même solution et )². =a( – Exemples : Déterminer si les polynômes suivants admettent des racines ; si oui en donner une factorisation. 1) 2) 3) 4) 5) ²– – 6 ; 5 ²– 40 35; 9 ²– 6 1; ²– 1; , ² 1 Réponses : • Pour : = 25 le polynôme admet 2 racines – 2 et 3 , on a donc : 2 – 3 ; • Pour : Tout d’abord factorisons par 5 : = 36 le polynôme admet 2 racines : 1 et 7 , on a donc : 5 – 1 – 7 ; • Pour 5 8 7 : =0 le polynôme admet une racine on a donc : = 9 ( – , 1 2 ) ; 3 • Pour j : =–3 le polynôme n’admet aucune racine dans et n’est pas factorisable ; • Pour k : = ²–4 1 = 2 ² le polynôme admet une racine si 2 et deux racines si 2