Corrections — Série 8

Math´ ematiques I (G. Favi) Section d’Architecture EPFL
Corrections — S´erie 8
Exercice 1.
La circonf´erence de la base du cˆone sera de 2πr −θr =(2π−θ)rpour autant que θsoit donn´e en
radians. Cette circonf´erence est aussi celle du nouveau disque qui forme la base. Si nous appelons
le rayon de ce nouveau disque R, nous avons 2πR =(2π−θ)ret donc
R=(2π−θ)r
2π=(1−θ
2π)r .
En prenant l’intersection du cˆone avec un plan contenant un diam`etre de la base et le sommet du
cˆone, nous obtenons un triangle isoc`ele. La bissectrice de l’angle au sommet forme la hauteur h
d’un triangle rectangle dont la base est Ret l’hypoth´enuse r. Le demi-angle d’ouverture est donc
arcsin(R
r)=arcsin(1−θ 2π),
une valeur qui ne d´epend que de θ.
Exercice 2.
On utilise par exemple que sin(β)=−cos(β+π
2)et cos(β)=sin(β+π 2)pour ´ecrire
sin(α+β)=−cos(α+(β+π
2))=−cos(α)cos(β+π 2)+sin(α)sin(β+π 2)
=cos(α)sin(β)+sin(α)cos(β),
comme demand´e.
Exercice 3.
Pour les valeurs demand´ees, on peut utiliser par exemple que
sin(15○)=sin(60○−45○)=sin(60○)cos(45○)−cos(60○)sin(45○)=√6
4−√2 4=√6−√2 4,
ou encore
sin(15○)=1−cos(30○)
2=1−√3
2
2=2−√3 4=2−√3 2.
Notons qu’en ´elevant la premi`ere des ces solutions (positives) au carr´e, on obtient 6−2√4⋅3+2
16 =2−√3 4,
qui est la valeur de la seconde solution au carr´e, et que les deux valeurs obtenues sont donc bien
´egales(!). Un calcul similaire pour le cosinus donne
cos(15○)=√6+√2
4=2+√3 2,
qui est aussi la valeur obtenue via cos(15○)=1−sin2(15○). On obtient donc
tan(15○)=√6−√2
√6+√2=2−√3
ou
tan(15○)=2−√3
2+√3=7−4√3.
Exercices du 18 novembre 2016

Math´ ematiques I (G. Favi) Section d’Architecture EPFL
Exercice 4.
L’exercice 1 de la s´erie 7 affirme que sin(τ)=1
2cord(2τ), que l’on peut d’ailleurs ´ecrire comme
cord(θ)=2 sin(1
2θ). Or la corde d’un angle donne la distance entre les deux points aux extr´emit´es
de ladite “corde”. Dans le cas de deux points arbitraires Aet Bqui d´eterminent respectivement
des angles αet βavec la demi-droite positive des x, l’angle que la corde mesure est θ=β−α(la
valeur absolue est n´ecessaire pour avoir un angle positif ).
Exercice 5. La formule de transformation du produit de deux sinus en somme de cosinus donne:
sin(θ2−θ1)sin(θ4−θ3)=1
2(cos(θ2−θ1+θ3−θ4)−cos(θ2−θ1+θ4−θ3)),
sin(θ4−θ1)sin(θ3−θ2)=1
2(cos(θ4−θ1+θ2−θ3)−cos(θ4−θ1+θ3−θ2)),
sin(θ3−θ1)sin(θ4−θ2)=1
2(cos(θ3−θ1+θ2−θ4)−cos(θ3−θ1+θ4−θ2)).
On observe que la somme des cˆot´es droites des deux premi`eres ´egalit´es donne le cˆot´e droite de la
troisi`eme. On en d´eduit que la mˆeme relation est valide pour les cˆot´es gauches.
Exercice 6.
(a) Si la relation AC ⋅BD =AB ⋅CD +AD ⋅BC est vraie dans un cercle de rayon 1, alors elle est
vraie dans un cercle de rayon rparce que toutes les longueurs seront alors multipli´ees par r
et
r⋅AC ⋅r⋅BD =r2⋅AC ⋅BD
=r2⋅(AB ⋅CD +AD ⋅BC)=r⋅AB ⋅r⋅CD +r⋅AD ⋅r⋅BC .
(b) On peut ´ecrire A=(cos(α),sin(α)),B=(cos(β),sin(β)),C=(cos(γ),sin(γ)),D=(cos(δ),sin(δ))
et on peut supposer que α≤β≤γ≤δ. L’exercice 4 nous dit que
AC =2 sin(1
2(γ−α)), BD =2 sin(1 2(δ−β)),
AB =2 sin(1
2(β−α)), CD =2 sin(1 2(δ−γ)), AD =2 sin(1 2(δ−α)), BC =2 sin(1 2(γ−β)).
L’´egalit´e cherch´ee suit en multipliant chaque cˆot´e de l’´egalit´e de l’exercice 5 par 4, et en
posant θ1=1
2α,θ2=1 2β,θ3=1 2γ,θ4=1 2δ.
Exercices du 18 novembre 2016

Math´ ematiques I (G. Favi) Section d’Architecture EPFL
Exercice 7. [QCM de type examen]
Soit α=105○. Alors la valeur de αen radians est
◻α=π
7
◻α=π
6
⊠α=7π
12
◻α=13π
24
En effet, on a que α=105○=60○+45○=π
3+π 4=7π 12 . On peut aussi arriver `a la r´eponse en utilisant
la formule vue au cours qui dit que αen radians vaut 105
180 π=35 60 π=7 12 π.
Exercice 8. [QCM de type examen]
Soit α=105○. Alors on a
◻cos(α)=√2
4(1+√3)
⊠cos(α)=√2
4(1−√3)
◻cos(α)=√2
2(1+√3)
◻cos(α)=√2
2(1−√3)
En effet, on peut utiliser la formule cos(x+y)=cos(x)cos(y)−sin(x)sin(y)avec x=π
3et y=π 4.
On trouve cos(α)=√2
2(1 2−√3 2)=√2 4(1−√3)
Exercice 9. [QCM de type examen]
Soit αun angle tel que cos(α)=√7
4. Alors on a
◻cos(2α)=−1
2
◻cos(2α)=1
4
⊠cos(2α)=−1
8
◻cos(2α)=1
16
On utilise ici la formule cos(2α)=2 cos2(α)−1 et on trouve cos(α)=27
16 −1=7 8−1=−1 8.
Exercices du 18 novembre 2016