Trajectoires orthogonales

Trajectoires orthogonales
Voici un r´esum´e de ce qu’il faut savoir sur le calcul de l’´equation diff´erentielle associ´ee `a
une famille de courbes ainsi que sur l’´equation diff´erentielle n´ecessaire pour d´eterminer les
trajectoires orthogonales `a cette famille de courbes.
On part par exemple d’une famille de courbes :
f(x, y) = c(1)
et on d´erive de chaque cˆot´e. On obtient :
fx
dx
dx +fy
dy
dx = 0
de sorte que : dy
dx =−
fx
fy
=m(2)
qui est l’´equation diff´erentielle associ´ee `a la famille de courbes de d´epart c.-`a-d. si on r´esout
cette ´equation, on trouvera la famille (1) comme solution g´en´erale.
Pour trouver les trajectoires orthogonales, on rappelle que si une courbe `a une pente
men un point, alors la courbe perpendiculaire aura une pente −1/m. On consid`ere donc
l’´equation diff´erentielle : dy
dx =−
1
m=fy fx
(3)
La r´esolution de cette ´equation donne une famille de courbes orthogonales `a la famille (1).
Exemple :
Soit la famille de courbes x2+y2=c2. L’´equation diff´erentielle correspondante est :
dy
dx =−
fx
fy
=−
2x
2y=−
x
y
Pour obtenir les trajectoires orthogonales, on r´esout :
dy
dx =fy fx
=2y
2x=y x
ou encore : dy
y=dx x

dont la solution est :
y=cx
soit une famille de droites passant par l’origine. Il est facile de constater que cette famille de
courbes est orthogonale `a celle donn´ee par (1).
Une autre fa¸con de proc´eder consiste `a partir directement de l’expression de la famille de
courbes et de la d´eriver par rapport `a x. On obtient :
2x+ 2yy0(x) = 0
de sorte que :
y0(x) = −
x
y
qui est bien la mˆeme ´equation que celle obtenue en (2). Pour trouver les trajectoires ortho-
gonales, on r´esout encore :
y0(x) = y
x
Exemple :
Soit la famille de courbes c2x2+y2=c2(voir l’exercice 6c de la S´erie III). En d´erivant de
chaque cˆot´e, on trouve :
c22x+ 2yy0(x) = 0 et en simplifiant y0(x) = −
c2x
y
o`u la constante capparaˆıt encore. Il faut donc l’´eliminer. Mais on a que :
x2+y2/c2= 1
ce qui entraˆıne que :
c2=y2
1−x2
Dans l’´equation diff´erentielle, on trouve :
y0(x) = − y2
1−x2!x y=−
xy
1−x2=xy x2 −1
Pour les trajectoires orthogonales, on doit donc r´esoudre :
y0(x) = −
x2 −1
xy