Trajectoires orthogonales

Trajectoires orthogonales
Voici un résumé de ce qu’il faut savoir sur le calcul de l’équation différentielle associée à
une famille de courbes ainsi que sur l’équation différentielle nécessaire pour déterminer les
trajectoires orthogonales à cette famille de courbes.
On part par exemple d’une famille de courbes :
f (x, y) = c
(1)
et on dérive de chaque côté. On obtient :
fx
dy
dx
+ fy
=0
dx
dx
de sorte que :
dy
fx
=− =m
dx
fy
(2)
qui est l’équation différentielle associée à la famille de courbes de départ c.-à-d. si on résout
cette équation, on trouvera la famille (1) comme solution générale.
Pour trouver les trajectoires orthogonales, on rappelle que si une courbe à une pente
m en un point, alors la courbe perpendiculaire aura une pente −1/m. On considère donc
l’équation différentielle :
1
fy
dy
=− =
(3)
dx
m
fx
La résolution de cette équation donne une famille de courbes orthogonales à la famille (1).
Exemple :
Soit la famille de courbes x2 + y 2 = c2 . L’équation différentielle correspondante est :
fx
2x
x
dy
=− =−
=−
dx
fy
2y
y
Pour obtenir les trajectoires orthogonales, on résout :
dy
fy
2y
y
=
=
=
dx
fx
2x
x
ou encore :
dy
dx
=
y
x
dont la solution est :
y = cx
soit une famille de droites passant par l’origine. Il est facile de constater que cette famille de
courbes est orthogonale à celle donnée par (1).
Une autre façon de procéder consiste à partir directement de l’expression de la famille de
courbes et de la dériver par rapport à x. On obtient :
2x + 2yy 0 (x) = 0
de sorte que :
y 0 (x) = −
x
y
qui est bien la même équation que celle obtenue en (2). Pour trouver les trajectoires orthogonales, on résout encore :
y
y 0 (x) =
x
Exemple :
Soit la famille de courbes c2 x2 + y 2 = c2 (voir l’exercice 6c de la Série III). En dérivant de
chaque côté, on trouve :
c2 2x + 2yy 0 (x) = 0 et en simplifiant y 0 (x) = −
c2 x
y
où la constante c apparaı̂t encore. Il faut donc l’éliminer. Mais on a que :
x2 + y 2 /c2 = 1
ce qui entraı̂ne que :
y2
c =
1 − x2
Dans l’équation différentielle, on trouve :
2
y2
y 0 (x) = −
1 − x2
!
x
xy
xy
=−
= 2
2
y
1−x
x −1
Pour les trajectoires orthogonales, on doit donc résoudre :
y 0 (x) = −
x2 − 1
xy