examen d`analyse - juin 2012 - session 2 - math.univ

L1S2 - Mathématiques et Informatique - Université de Tours - 2011/2012
EXAMEN D’ANALYSE - JUIN 2012 - SESSION 2
Documents, calculatrices et matériels électroniques non autorisés
Durée de l’épreuve 2h
EXERCICE I
Soit f la fonction définie sur ] − π, 0[∪]0, π[ par
f (x) =
1
sin2 x − x2
1
=
.
−
x2
sin2 x
x2 sin2 x
1. Rappeler le développement limité de sin x en 0 à l’ordre 6.
En déduire le développement limité de sin2 x en 0 à l’ordre 6.
1
en 0 à l’ordre 1.
1−u
1
En déduire le développement limité de
en 0 à l’ordre 2.
1 − 31 x2
2. Rappeler le développement limité de
3. Démontrer que le développement limité de la fonction f en 0 à l’ordre 2 est égale à
f (x) = −
1
1 2
−
x + x2 (x)
3
15
avec lim (x) = 0.
x→0
4. (a) Déduire de la question précédante que la fonction f peut être prolongée par continuité
en 0 et donner la valeur de ce prolongement en 0.
(b) Démontrer que la fonction g est dérivable en 0 et donner la valeur de sa dérivée en 0.
5. (a) Donner l’équation de la tangente à la courbe représentative C de f en x = 0.
(b) Prtéciser la position de la la courbe C par rapport à sa tangente au voisinage de x = 0.
EXERCICE II
1. Soient a et b deux nombres réels tels que a < b. Vérifier que si x ∈ [a, b], alors
a + b − x ∈ [a, b].
T.S.V.P.
2. Soit f une fonction continue de [a, b] dans R et telle que pour tout x de [a, b], on ait :
f (a + b − x) = f (x) .
(1)
Démontrer que
b
Z
a
a+b
x f (x) dx =
2
b
Z
f (x) dx .
(2)
a
(on pourra faire le changement de variable u = a + b − x et utiliser l’égalité (1)).
3. (Application) Soit maintenant f une fonction continue de [0, π] dans R définie par :
f (x) =
sin x
.
1 + cos2 x
(a) Vérifier que la fonction f satisfait l’égalité (1).
(b) Démontrer que
Z
π
0
x sin x
π
dx =
2
1 + cos x
2
Z
π
0
sin x
dx .
1 + cos2 x
(c) Calculer
Z
1
−1
1
du .
1 + u2
(d) Déduire de tout ce qui précède la valeur de
Z π
x sin x
dx .
2
0 1 + cos x
(on pourra utiliser le changement de variable u = cos x
EXERCICE III
On considère l’équation différentielle
y 00 (x) − 6y 0 (x) + 9y(x) = xex + e3x
(E)
1. Donner la forme générale des solutions de l’équation homogène (Eh ) associée à (E).
2. Trouver une solution particulère de l’équation différentielle
y 00 (x) − 6y 0 (x) + 9y(x) = xex
(E1 )
(on pourra, après justification, la chercher sous la forme y1 (x) = (ax + b) ex où a et b sont
des réels à déterminer).
3. Trouver une solution particulère de l’équation différentielle
y 00 (x) − 6y 0 (x) + 9y(x) = e3x
(E2 )
(on pourra, après justification, la chercher sous la forme y2 (x) = cx2 e3x où c est un réel à
déterminer).
4. Donner la forme générale des solutions de (E).