examen d`analyse - juin 2012 - session 2 - math.univ

L1S2 - Math´ ematiques et Informatique - Universit´ e de Tours - 2011/2012
EXAMEN D’ANALYSE - JUIN 2012 - SESSION 2
Documents, calculatrices et mat´eriels ´electroniques non autoris´es
Dur´ee de l’´epreuve 2h
EXERCICE I
Soit fla fonction d´efinie sur ] −π, 0[∪]0, π[ par
f(x) = 1
x2−1
sin2x=sin2x−x2 x2sin2x.
1. Rappeler le d´eveloppement limit´e de sin xen 0 `a l’ordre 6.
En d´eduire le d´eveloppement limit´e de sin2xen 0 `a l’ordre 6.
2. Rappeler le d´eveloppement limit´e de 1
1−uen 0 `a l’ordre 1.
En d´eduire le d´eveloppement limit´e de 1
1−1
3x2en 0 `a l’ordre 2.
3. D´emontrer que le d´eveloppement limit´e de la fonction fen 0 `a l’ordre 2 est ´egale `a
f(x) = −1
3−1 15 x2+x2(x)
avec lim
x→0(x) = 0.
4. (a) D´eduire de la question pr´ec´edante que la fonction fpeut ˆetre prolong´ee par continuit´e
en 0 et donner la valeur de ce prolongement en 0.
(b) D´emontrer que la fonction gest d´erivable en 0 et donner la valeur de sa d´eriv´ee en 0.
5. (a) Donner l’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative Cde fen x= 0.
(b) Prt´eciser la position de la la courbe Cpar rapport `a sa tangente au voisinage de x= 0.
EXERCICE II
1. Soient aet bdeux nombres r´eels tels que a<b. V´erifier que si x∈[a, b], alors
a+b−x∈[a, b].
T.S.V.P.

2. Soit fune fonction continue de [a, b] dans Ret telle que pour tout xde [a, b], on ait :
f(a+b−x) = f(x).(1)
D´emontrer que
Zb
a
x f(x) dx=a+b
2Zb
a
f(x) dx . (2)
(on pourra faire le changement de variable u=a+b−xet utiliser l’´egalit´e (1)).
3. (Application) Soit maintenant fune fonction continue de [0, π] dans Rd´efinie par :
f(x) = sin x
1 + cos2x.
(a) V´erifier que la fonction fsatisfait l’´egalit´e (1).
(b) D´emontrer que
Zπ
0
xsin x
1 + cos2xdx=π 2Zπ
0
sin x
1 + cos2xdx .
(c) Calculer
Z1
−1
1
1 + u2du .
(d) D´eduire de tout ce qui pr´ec`ede la valeur de
Zπ
0
xsin x
1 + cos2xdx .
(on pourra utiliser le changement de variable u= cos x
EXERCICE III
On consid`ere l’´equation diff´erentielle
y00(x)−6y0(x)+9y(x) = xex+e3x(E)
1. Donner la forme g´en´erale des solutions de l’´equation homog`ene (Eh) associ´ee `a (E).
2. Trouver une solution particul`ere de l’´equation diff´erentielle
y00(x)−6y0(x)+9y(x) = xex(E1)
(on pourra, apr`es justification, la chercher sous la forme y1(x) = (ax +b)exo`u aet bsont
des r´eels `a d´eterminer).
3. Trouver une solution particul`ere de l’´equation diff´erentielle
y00(x)−6y0(x)+9y(x) = e3x(E2)
(on pourra, apr`es justification, la chercher sous la forme y2(x) = cx2e3xo`u cest un r´eel `a
d´eterminer).
4. Donner la forme g´en´erale des solutions de (E).