Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité

Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuit´e
E. Dostal
Aoˆut 2014

Table des mati`eres
2 Fonctions : limites et continuit´e 2
2.1 Limites .............................................. 2
2.2 Th´eor`emes............................................. 7
2.3 Continuit´e............................................. 9
1

Chapitre 2
Fonctions : limites et continuit´e
Toutes les fonctions consid´er´ees dans ce chapitre sont d´efinies sur Rou une partie de Ret sont `a
valeurs dans R. Les intervalles consid´er´es sont non vides et non r´eduits `a un point.
2.1 Limites
2.1.1 Limite finie en l’infini
D´efinition 1 Soit fune fonction d´efinie (au moins) sur ]a; +∞[.Soit Lun r´eel.
On dit que fa pour limite Len +∞si et seulement si , tout intervalle ouvert contenant L
contient aussi tous les r´eels f(x)pour xassez grand.
La droite ∆d’´equation y=Lest alors appel´e asymptote horizontale `a la courbe Cfen +∞
Notation : On ´ecrit
lim
x→+∞f(x) = L
x
f(x)
O
l
Exemples : Parmi les fonctions de r´ef´erence, on trouve par exemple que :
lim
x→+∞
1
x= 0 lim
x→+∞
1
xk= 0(k∈N∗) lim
x→+∞
1
√x= 0
Remarque : d´efinition analogue en −∞
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E. Dostal - 2014 CHAPITRE 2. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUIT ´ E
Dire que
lim
x→+∞f(x) = L
, c’est dire que, pour tout intervalle ]L−ǫ;L+ǫ[ avec ǫ > 0, il existe un r´eel A tel que pour tout x > A,
f(x)∈]L−ǫ;L+ǫ[
(On retrouve une d´efinition analogue `a celle de convergence d’une suite du chapitre pr´ec´edent)
2.1.2 Limite infinie en l’infini
D´efinition 2
La fonction ftends vers +∞quand xtends vers +∞si et seulement si tout intervalle ]λ; +∞[
(λ∈R) contient toutes les valeurs de xpour xassez grand.
La fonction ftends vers −∞ quand xtends vers +∞si et seulement si tout intervalle ]−∞;λ[
(λ∈R) contient toutes les valeurs de xpour xassez grand.
f(x)
M
Ox
On a des d´efinitions analogues en −∞.
x
O
m
f(x)
Exemples : Parmi les fonctions de r´ef´erence, on trouve par exemple que :
lim
x→+∞x2= +∞lim x→+∞xn= +∞lim x→+∞
√x= +∞
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E. Dostal - 2014 CHAPITRE 2. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUIT ´ E
D´efinition 3 Soit fune fonction d´efinie dans un intervalle I=]λ; +∞[avec (λ∈R). La
droite d’´equation y=ax +b(a,br´eels) est une asymptote oblique `a la courbe repr´esentative de
fen +∞si et seulement si : f(x) = ax +b+h(x)o`u hest une fonction d´efinie sur Itelle que
lim
x→+∞h(x) = 0
Autre formulation
lim
x→+∞(f(x)−(ax +b)) = 0
x
f(x)
O
On a des d´efinitions analogues en −∞.
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