Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité
publicité
Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité E. Dostal Août 2014 Table des matières 2 Fonctions : limites 2.1 Limites . . . . 2.2 Théorèmes . . . 2.3 Continuité . . . et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 7 9 Chapitre 2 Fonctions : limites et continuité Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur R ou une partie de R et sont à valeurs dans R. Les intervalles considérés sont non vides et non réduits à un point. 2.1 Limites 2.1.1 Limite finie en l’infini Définition 1 Soit f une fonction définie (au moins) sur ] a ; +∞[.Soit L un réel. On dit que f a pour limite L en +∞ si et seulement si , tout intervalle ouvert contenant L contient aussi tous les réels f (x) pour x assez grand. La droite ∆ d’équation y = L est alors appelé asymptote horizontale à la courbe Cf en +∞ Notation : On écrit lim f (x) = L x→+∞ f(x) 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 l O x Exemples : Parmi les fonctions de référence, on trouve par exemple que : lim x→+∞ 1 =0 x lim x→+∞ 1 = 0(k ∈ N∗ ) xk Remarque : définition analogue en −∞ 2 1 lim √ = 0 x x→+∞ E. Dostal - 2014 CHAPITRE 2. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ Dire que lim f (x) = L x→+∞ , c’est dire que, pour tout intervalle ]L − ǫ; L + ǫ[ avec ǫ > 0, il existe un réel A tel que pour tout x > A, f (x) ∈]L − ǫ; L + ǫ[ (On retrouve une définition analogue à celle de convergence d’une suite du chapitre précédent) 2.1.2 Limite infinie en l’infini Définition 2 La fonction f tends vers +∞ quand x tends vers +∞ si et seulement si tout intervalle ]λ; +∞[ (λ ∈ R) contient toutes les valeurs de x pour x assez grand. La fonction f tends vers −∞ quand x tends vers +∞ si et seulement si tout intervalle ]−∞; λ[ (λ ∈ R) contient toutes les valeurs de x pour x assez grand. f(x) 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 M x O On a des définitions analogues en −∞. f(x) x O 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 m Exemples : Parmi les fonctions de référence, on trouve par exemple que : √ lim x2 = +∞ lim xn = +∞ lim x = +∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ 3 E. Dostal - 2014 CHAPITRE 2. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ Définition 3 Soit f une fonction définie dans un intervalle I =]λ; +∞[ avec (λ ∈ R). La droite d’équation y = ax + b (a,b réels) est une asymptote oblique à la courbe représentative de f en +∞ si et seulement si : f (x) = ax + b + h(x) où h est une fonction définie sur I telle que lim h(x) = 0 x→+∞ Autre formulation lim (f (x) − (ax + b)) = 0 x→+∞ f(x) O x On a des définitions analogues en −∞. 4 E. Dostal - 2014 2.1.3 CHAPITRE 2. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ Limite d’une fonction en a Soit a un réel et I un intervalle ouvert contenant a ou dont a est une borne, f est donc définie dans I sauf peut etre en a. 2.1.3.1 Limite infinie en a Définition 4 On dit que que la fonction f a pour limite +∞ quand x tends vers a si et seulement si tout intervalle ]m; +∞[(m ∈ R) contient tous les réels f (x) pour tout réel x dans I assez proche de a. f(x) M O 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 a x Extension : On définit de manière analogue quand une fonction admet pour limite −∞ en a. Notation : On écrit lim f (x) = +∞ x→a Exemples : La fonction x 7→ √1x est définie sur ]0; +∞[. 0 est une borne de cet ensemble de définition, donc on peut regarder si f admet une limite en 0. 1 lim √ = +∞ x→0 x Remarque : En général, il faudra souvent distinguer si on approche de a par des valeurs inférieures (limite à gauche) ou par des valeurs supérieures (limite à droite). Ces distinctions apparaı̂tront aussi dans la notation de la limite : on ajoutera en dessous pour une limite à droite : x > a ou on parlera de limite pour x → a+ . lim x→0 x<0 1 = −∞ x et lim x→0 x>0 1 = +∞ x Définition 5 La droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe représentative de f si et seulement si f (x) a pour limite +∞ ou −∞ quand x tends vers a. 5 E. Dostal - 2014 2.1.3.2 CHAPITRE 2. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ Limite finie en a Définition 6 On dit que la fonction f tends vers L quand x tends vers a si et seulement si tout intervalle ouvert contenant L contient aussi toutes les valeurs de f (x) pour tout réel x dans I et assez proche de a. Notation : On écrit lim f (x) = L x→a f(x) 111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 O x a Application : Indiquer toutes les limites et asymptotes que vous pouvez déduire du graphique. f(x) 2 −3 5 x 6 E. Dostal - 2014 2.2 CHAPITRE 2. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ Théorèmes 2.2.1 Théorèmes d’opérations Les tableaux suivants rassemblent les théorèmes d’opérations, admis, relatifs aux fonctions. (on retrouve les mêmes résultats que pour les suites (mises en rappel)) Théorème 1 Limite d’une somme Si f (ou (Un ))a pour limite et si g (ou (Vn ))a pour limite alors f + g (ou (Un + Vn ))a pour limite Théorème 2 l l′ l + l′ l +∞ +∞ l −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ F.A.D. Limite d’un produit Si f (ou (Un )) a pour limite et si g (ou (Vn )) a pour limite alors f g (ou (Un Vn )) a pour limite l l′ ll′ l 6= 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ F.A.D. Comprendre dans ce tableau, qu’il faudra en plus une étude des signes pour déterminer à quel ∞ on a affaire. Théorème 3 Limite d’un quotient Si f (ou (Un )) a pour limite et si g (ou (Vn )) a pour limite f Un alors (ou )a pour limite g Vn l′ l 6 0 = l l′ l ∞ l′ 0 ∞ 6= 0 ∞ ∞ ∞ l 6= 0 0 ∞ 0 0 0 F.A.D. ∞ ∞ F.A.D. En particulier, lorsque le dénominateur tend vers 0, il sera important d’en déterminer le signe afin de savoir si on obtient finalement +∞ ou −∞. Proposition 4 – Toute fonction polynôme non nulle admet en −∞ et +∞ même limite que son terme de plus haut degré. – Toute fonction rationnelle non nulle admet en −∞ et +∞ même limite que le quotient du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur. 2.2.2 Théorèmes de comparaison Proposition 5 Soit f et g deux fonctions définies dans un intervalle I =] − λ; +∞[ avec (λ ∈ R). telles que pour tout x ∈ I , f (x) ≥ g(x) • Si lim g(x) = +∞ alors lim f (x) = +∞ x→+∞ • Si x→+∞ lim f (x) = −∞ alors x→+∞ 7 lim g(x) = −∞ x→+∞ E. Dostal - 2014 CHAPITRE 2. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ exemple : f (x) = x2 + sin x , pour tout réel x, x2 − 1 ≤ f (x) Théorème 6 Théorème des gendarmes Si a désigne un réel ou +∞ ou −∞ et I un intervalle ouvert contenant a ou dont a est une borne, si f ,g et h sont trois fonctions définies dans I sauf peut etre en a telles que pour tout x dans I, f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) et f et h ont même limite L en a (L désigne un réel ou +∞ ou −∞), Alors lim g(x) = L x→a démonstration (raisonnement semblable à celui pour les suites) Exemples : 1. lim x→0 2. √ x sin 1 x sin x x→+∞ x lim 2.2.3 Théorèmes de composition Théorème 7 Les lettres α , β et γ désignent ou des nombres réels ou +∞ ou −∞. I est un intervalle ouvert contenant α ou dont α est une borne. J est un intervalle ouvert contenant β ou dont β est une borne. Soit f une fonction définie dans I et g une fonction définie dans J. Si pour tout réel x dans I, f (x) est dans J alors gof est définie sur I par gof (x) = g(f (x)) et si lim f (x) = β et lim g(x) = γ alors lim gof (x) = γ x→α x→α x→β démonstration admise Exemple : 1. lim x→+∞ p x2 − 2x + 3 Proposition 8 Les lettres β et γ désignent ou des nombres réels ou +∞ ou −∞. (Vn ) est une suite définie dans N telle que lim Vn = β n→+∞ I est un intervalle ouvert contenant β ou dont β est une borne tel que pour tout n ∈ N, Vn ∈ I f est une fonction définie dans I telle que lim f (x) = γ x→β Alors, la suite (f (Vn )) a pour limite γ en +∞ 8 E. Dostal - 2014 CHAPITRE 2. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ Exemple : lim n→+∞ 2.3 r n n+1 Continuité 2.3.1 Définition Définition 7 Soient I un intervalle, f un fonction définie (au moins) sur I et a ∈ I. On dit que f est continue en a lorsque f admet une limite en a égale à f (a) remarque : la condition lim f (x) = f (a) peut s ecrire lim f (a + h) = f (a) x→a h→0 9 E. Dostal - 2014 CHAPITRE 2. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ Définition 8 Soit I un intervalle et f une fonction définie (au moins) sur I. On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en tout point a de I. 2.3.2 Théorèmes d’opérations et de comparaison Des théorèmes d’opérations sur les limites, on déduit : Proposition 9 Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et λ ∈ R. Alors : • f + g est continue sur I • λf est continue sur I • f g est continue sur I 1 f • si, de plus, g est non nulle sur I, alors et sont continues sur I g g Soient f une fonction continue sur un intervalle I et g une fonction continue sur un intervalle J contenant f (I), alors gof est continue sur I Si une suite (Un ) converge vers un réel L et si f est continue sur un intervalle contenant L, alors (f (Un )) converge vers f (L) Conséquences : 1. Toute fonction polynome (à coefficients réels) est continue sur R. 2. Toute fonction rationnelle (à coefficients réels) est continue sur tout intervalle contenu dans son ensemble de définition. 10 E. Dostal - 2014 2.3.3 CHAPITRE 2. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ Dérivabilité et continuité Théorème 10 Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I remarque : la réciproque est fausse (exemple : fonction valeur absolue) 2.3.4 Théorème des valeurs intermédiaires Théorème 11 Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels dans I. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe un réel (sous entendu au moins un) c compris entre a et b tel que f (c) = k remarque : la réciproque est fausse (etude avec la fonction partie entière, a = 0, b = 1 et λ = 0, 5 ... exemple d’application : Toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine. Corollaire 12 Si f est une fonction définie, continue et strictement monotone sur I alors pour tout réel λ compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = λ admet une unique solution. démonstration par l’absurde en supposant deux solutions distinctes et en utilisant la stricte monotonie Remarque : On admettra la généralisation de ce corollaire sur un intervalle ouvert où l’une ou les deux bornes est(sont) infini(s) et à la condition que la fonction admette une limite finie ou infinie en cette(ces) borne(s). Convention : Dans un tableau de variations, les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré. Dans la rédaction de la solution à un problème, une simple référence au tableau de variations suffira pour justifier l’existence et l’unicité d’uns solution d’une équation du type f (x) = λ 11
