TD 1 Cin´ematique

L’impesanteur
Il n’est pas n•cessaire d’aller dans l’espace pour se trouver en •tat de "impesanteur". Ce
terme est g•n•ralement pr•f•r• ‚ celui de "apesanteur" qui pr•sente une ambiguƒt•
phon•tique.
Le CNES r•alise r•guli„rement ‚ bord de l’Airbus A300 "Z•ro g" des exp•riences en
impesanteur.
Durant la trajectoire bleue (Figure 1), le pilote de l'Airbus "Z•ro g" maintient d’abord son
Airbus en vol horizontal ‚ environ une altitude de 6000 m„tres puis il monte en se cabrant et
donne ‚ son avion les ressources n•cessaires (puissance des moteurs, r•glage des d•rives)
pour que dans la zone de la trajectoire verte l'avion ait une trajectoire identique ‚ celle d'un
projectile soumis ‚ la seule acc•l•ration de pesanteur et ayant la m…me vitesse initiale.
Durant toute la p•riode o† l'avion d•crit la trajectoire verte, le pilote maintient la pouss•e de
ses r•acteurs de fa‡on ‚ juste compenser la force produite par le frottement de l’air.
Figure 1: Trajectoire de l’Airbus A300 pour r•aliser des exp•riences en impesanteur.
1. D•terminer la vitesse de l’avion (intensit•, direction) au d•but de la trajectoire verte
sachant que le vol en impesanteur doit durer 20 secondes et que pour des raisons de
s•curit• la vitesse de l’avion ne doit jamais …tre inf•rieure ‚ 360 km/h.

La Terre est consid•r•e comme un r•f•rentiel galil•en. Soit Oxyz le rep‚re associ• ƒ ce
r•f•rentiel. Le vecteur unitaire kport• par l’axe Oz co„ncide avec la verticale du lieu et est
ascendant. Au d•but de la trajectoire verte
( 0)
t , la vitesse
0
v
de l’avion est dans le plan
Oxz et fait un angle avec l’horizontale.
Lors de la trajectoire verte l’avion subit juste la force de gravitation (la pouss•e des r•acteurs
Pest •gale et oppos•e ƒ la force de freinage a•rodynamique Fr). La RDF s’•crit :
mmg
a k + P + Fr
=>
mmg
a k
Cette •quation diff•rentielle se r•sout facilement (voir "Mouvement balistique d’un
projectile")
En projetant cette •quation vectorielle sur les 3 axes du rep‚re Oxyz, il vient:
0
x
ma =>
0
x
dv
m
dt
soit
0.
x
mdv dt
[1]
0
y
ma =>
0
y
dv
m
dt
soit
0.
y
mdv dt
[2]
z
ma g
=> z
dv
m g
dt
soit
.
z
mdv g dt
  [3]
Les •quations [1], [2] et [3] sont des •quations diff•rentielles ƒ variables s•par•es qui peuvent
…tre int•gr•es membre ƒ membre. Le temps varie de 0 ƒ t. Pour t=0, les composantes de la
vitesse sont: 0
.cos
v , 0 et 0
.sin
v
0cos
0
x
v
x
v
mdv
=> 0
cos 0
x
mv mv soit 0
.cos
x
v v
0
0
y
v
y
mdv
=>
0 0
y
mv soit
0
y
v
0sin 0
z
vt
z
v
mdv mg dt
=> 0
.sin ( 0)
z
mv mv mg t soit 0
.sin
z
v gt v
Sur Ox la vitesse du projectile reste constante. Elle reste nulle sur Oy.
0
.cos
x
v v => 0
.cos
dx v
dt
=> 0
.cos .
dx v dt
[4]
0
y
v =>
0
dy
dt
=>
0.
dy dt
[5]

0
.sin
z
v gt v    => 0
.sin
dz gt v
dt
   => 0
..sin .
dz gt dt v dt
   [6]
Les équations [4], [5] et [6] sont des équations différentielles à variables séparées qui peuvent
être intégrées membre à membre. Les conditions initiales (t=0) de la position sont:
0 0 0
0
x y z
0
0 0
.cos
x t
dx v dt
=> 0
0.cos .( 0)
x v t => 0
.cos .
x v t
[7]
0 0
0
yt
dy dt
=>
0 0( 0)
y t =>
0
y [8]
0
0 0 0
.sin
z t t
dz gt dt v dt
=> 0
1
0 . ² .sin .
2
z g t v t
    => 0
1
. ² .sin .
2
z g t v t
   [9]
Les équations [7], [8] et [9] sont les équations paramétriques (ou équations horaires) du
mouvement du projectile.
Remarque : L'équation de la trajectoire est obtenue en éliminant le temps entre les équations
[7] et [9]:
[7] =>
0
.cos
x
tv par substitution de t dans [9], il vient:
0
1 ( )² sin
.
2 ( .cos )² cos
x
z g x
v
   c'est bien l'équation d'une parabole.
A la fin de la trajectoire verte il vient
0
f
z . Or 01
.sin . .
2
z v g t t
=>
01
.sin . 0
2
f
v g t => 01
.sin .
2
f
v g t
A.N.: g = 10 m/s²
20
f
t s
=> 0
.sin 100
v
Figure 2: Relation entre
0
v
et pour un vol en impesanteur de 20 secondes.

La composante de la vitesse •tant constante selon Ox, la vitesse sera minimale lorsque la
composante sur Oz sera minimale. La vitesse de l’Airbus sera minimale lorsque celui-ci sera
au sommet de sa trajectoire parabolique. Elle sera alors •gale ƒ: min 0
.cos
v v or
min
100 /
v m s
=> 0
.cos 100
v et 0
.sin 100
v en faisant le rapport de ces 2 •quations :
1
tg =>
45
et 0
141 /
v m s
2. V•rifier que, lorsque l’Airbus r•alise la trajectoire verte, tout objet plac• dans l’avion se
trouve en •tat d’impesanteur.
Tout objet l†ch• dans l’Airbus, dans un temps compris entre 0 et
f
t
, est soumis ƒ la seule
force de pesanteur. Son acc•l•ration –g est •gale ƒ celle de l’acc•l•ration d’entraˆnement du
r•f•rentiel "Airbus". Dans ce r•f•rentiel l'objet est dit en •tat d'impesanteur.
Remarques: Si ‚ t=0 un objet est lˆch• sans vitesse initiale par rapport ‚ l’Airbus, il restera
‚ cette m…me positon fixe dans l’Airbus. Cependant entre 0 et
f
t
, l’assiette de l’Airbus varie
de -45‰ ‚ +45‰. Pour un observateur li• ‚ l’Airbus, l’objet tournera d’un quart de tour.
Dans ce type d’exp•rience le terme de micropesanteur est plus adapt• que celui
d’impesanteur du fait des perturbations et des •carts entre les conditions th•oriques de vol et
les conditions r•elles.
Il existe un autre dispositif exp•rimental pour cr•er l’•tat d’impesanteur : un r•f•rentiel en
chute libre. Ce dispositif parfois utilis• ne permet pas des essais de plus de 1 ‚ 3 secondes.