Dénombrement

Dénombrement
Chapitre 1
I) Permutations
On dispose de trois cubes où sont inscrits les lettres de l’alphabet A, B et C.
Combien de « mots » de 3 lettres peut-on former ?
Et si on dispose de quatre cubes ?
Conclusion : Avec un ensemble (non ordonné) {a, b, c} de trois éléments, je peux former 3 × 2 × 1
listes (ordonnées), comme par exemple (a, b, c), (b, a, c), (c, b, a), etc.
Je peux donc permuter 3 cubes de 3 × 2 × 1 manières différentes.
Définition
Soit n un entier naturel non nul. Le nombre n × (n − 1) × · · · × 2 × 1 est appelé factorielle n.
On note n! = n × (n − 1) × · · · × 2 × 1
Conventionnellement, 0! = 1.
D’après l’exemple, nous pouvons donc dire maintenant que
Théorème
Le nombre de permutations d’un ensemble contenant n éléments est n!.
Exemples :
➔ Dénombrer toutes les manières possibles de distribuer un jeu de 32 cartes ?
➔ Combien y a-t-il d’anagrammes du mot ZOÉ ?
➔ du mot ANA ?
Ainsi, la procédure suivante permet de calculer les factoriels avec maxima ou XCAS
maxima
factorial (200)
Xcas
factorial (200)
Avec un programme en récursif
python
def f(n):
if n<=1: return 1
else:
return n*f(n-1)
Xcas
facto(n):={
local res;
if ( n<=0 ) { res:=1}
else { res:=n*facto(n-1)}
retourne res
}
II) Combinaisons
On distribue 3 cartes d’un jeu de 32 cartes. Combien y a-t-il de mains (combinaisons) possibles ?
1
Définition
Soit n et p deux entiers naturels et E un ensemble contenant n éléments. Un sous-ensemble
de E contenant p éléments est appelé une combinaison de p éléments de E ou encore une
p-combinaison d’éléments de E.
Exemple : E est l’ensemble des cartes. n = CardE = 32. Une main possible est (7t, Dq, Ac) est
un sous ensemble de E contenant p = 3 éléments.
C’est une combinaison de 3 éléments de E.
Définition
Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble contenant n éléments est noté
32
Le nombre de mains possibles est donc noté
3
!
n
p
ou encore Cnp
!
Par exemple, on pourrait dire que j’ai 32 manières de choisir la première carte, 31 pour la deuxième
et 30 choix pour la troisième, donc il y a 32 × 31 × 30 façons d’avoir 3 cartes.
Par exemple (7t,Dq,Ac) mais dans une main l’ordre des cartes importe peu, la preuve on trie
généralement les cartes.
ainsi (7t, Dq, Ac) (7t, Ac, Dq) (Dq, 7t, Ac) (Dq, Ac, Dq) (Ac, 7t, Dq) (Ac, Dq, 7t) représente la même main.
il y a 3! façons d’ordonner ces nombres donc finalement :
32 × 31 × 30
5
=
3
3!
!
On généralise la formule suivante :
Propriété
Pour tous entiers naturels n et p tels que 0 ≤ p ≤ n
n(n − 2)(n − 3 · · · (n − (p − 1))
n
=
p
p!
!
Nous pouvons formuler cette propriété plus synthétiquement. En effet
n!
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) (n − p)(n − p − 1)(n − p − 2) × · · · × 2 × 1
n
×
=
=
p
p!
(n − p)(n − p − 1)(n − p − 2) × · · · × 2 × 1
p!(n − p)!
!
d’où
Théorème
Pour tous entiers naturels n et p tels que 0 ≤ p ≤ n
TS
!
n!
n
=
p
p!(n − p)!
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maxima
Xcas
binomial (10,2) ou comb(10,2)
binomial (10,2)
!
!
!
!
n
n
n
n
Remarque : Pour tous entiers naturels n,
=
= 1 et
=
=n
0
n
1
n−1
III) Triangle de Pascal - Binôme de Newton
À l’aide des formules précédentes, établissez que
Propriété
Pour tous entiers naturels n et p tels que 0 ≤ p ≤ n,
!
n
n
=
p
n−p
!
Établissez, toujours par le calcul, la relation suivante, dite Relation de Pascal
Propriété
Pour tous entiers naturels n et p tels que 0 ≤ p ≤ n − 1.
n
n
n+1
+
=
p
p+1
p+1
!
!
!
Théorème
Soit a et b des nombres complexes et n un entier naturel non nul, alors
(a + b) =
n
n
X
p=0
!
!
!
n p n−p
n n−1
n
ab
= an +
a b +···+
abn−1 + bn
p
1
n−1
On peut prouver cette formule par récurrence en remarquant que (a + b)k+1 = a(a + b)k + b(a + b)k
et en utilisant la relation de Pascal au bon moment.
Cette formule nous permet donc d’obtenir de nouveaux « produits remarquables », à conditions
de connaître les coefficients binomiaux.
Testez la formule aux rangs 2, 3, 4, 5. Disposez vos résultats dans un tableau en n’écrivant que
les coefficients et conjecturer le triangle de Pascal...
IV) ÉPREUVE DE BERNOULLI
TS
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Définition
• On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve ayant deux éventualités :
L’éventualité S appelé succès avec la probabilité p et l’éventualité S appelé échec avec la probabilité 1 − p .
• La loi de Bernoulli est la variable aléatoire X telle que X = 1 si le succès est réalisé et 0
sinon.
P (X = 1) = p, p est appelé paramètre de la loi de Bernoulli X.
xi
1 0
La loi de probabilité de X est
p(X = xi ) p 1-p
Propriété
Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors E(X) = p et V (X) = p(1 − p).
Preuve : E(X) = 1 × p + 0 ∗ (1 − p) = p
V (X) =
2
X
pi x2i − E(X)2 = p × 12 + (1 − p) × 02 − p2 = p − p2 = p(1 − p).
i=1
Exemple, La probabilité d’avoir un garçon est de 0,52, et donc d’avoir une fille de 0, 48.
Avoir un enfant est donc une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0, 52.
Soit G l’évènement avoir un garçon.
xi
p(X = xi )
1
0,52
0
0,48
Imaginons maintenant que nous répétions cette expérience n fois.
Par exemple imaginons une famille de 4 enfants.
Définition
On répète n fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de fois où le succès est réalisé. Alors X suit une
loi binomiale de paramètre n et p.
On note cette loi B(n, p)
Exemple : X(Ω) = {0, 1, 2, 3, 4}
xi
p(X = xi )
0
1
2
3
4
Théorème
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p) et soit k ∈ {0, 1, 2, ..., n}. Alors :
!
n k
➔ p(X = k) =
p (1 − p)n−k
k
➔ on admettra que E(X) = np.
TS
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