Cours de maths - 1ère ES-L - Probabilités : loi binomiale

I – Loi de Bernoulli de paramètre p
 II – Loi binomiale de paramètres n et p
Définition 2: On appelle variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p la variable aléatoire X qui associe
la valeur 1 à un succès avec la probabilité p et la valeur 0 à un échec avec la probabilité 1 – p.
Définition 3: On appelle loi de Bernoulli de paramètre p la loi de probabilité de la variable aléatoire de
Bernoulli X de paramètre p.
x
0
1
()p X x
1p
p
Propriété 1: L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p est :
()E X p
Définition 5: On appelle loi binomiale de paramètres n et p , notée  (n , p), la loi de probabilité de la
variable aléatoire qui associe au schéma de Bernoulli de paramètres n et p le nombre de succès.
k
0
1
…
n
()p X k
( 0)pX
( 1)pX
…
()p X n
Définition 6: On appelle coefficient binomial , noté
n
k
, le nombre de chemins réalisant k succès dans le
schéma de Bernoulli de paramètres n et p .
Loi binomiale
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Définition 1: On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p une expérience aléatoire ayant 2 issues :
succès avec une probabilité égale à p et échec.
Définition 4: On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p l'expérience aléatoire qui consiste à
répéter n épreuves de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes.
Arbre associé au schéma de Bernoulli
Échec
Succès
1 – p
p
Échec
Succès
1 – p
p
Échec
Succès
1 – p
p
Échec
Succès
1 – p
p
1 – p
Échec
Succès
p
1 – p
Échec
Succès
p
1 – p
Échec
Succès
p
n = 2
n = 3

 III – Représentation graphique de la loi binomiale
On représente la loi binomiale avec un diagramme en bâtons : – En abscisse, le nombre de succès
– En ordonnée, la probabilité correspondante
Propriété 2: La loi binomiale  (n , p) vérifie :
Pour tout k  [0 , n],
( ) (1 )
k n k
n
p X k p p
k
Propriété 3: L'espérance de la loi binomiale  (n , p), notée  , est :
np