Loi binomiale www.mathmaurer.com – Cours – 1ère ES-L I – Loi de Bernoulli de paramètre p Définition 1: On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p une expérience aléatoire ayant 2 issues : succès avec une probabilité égale à p et échec. Définition 2: On appelle variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p la variable aléatoire X qui associe la valeur 1 à un succès avec la probabilité p et la valeur 0 à un échec avec la probabilité 1 – p. Définition 3: On appelle loi de Bernoulli de paramètre p la loi de probabilité de la variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p. x 0 1 p ( X x) 1 p p Propriété 1: L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p est : E (X ) p II – Loi binomiale de paramètres n et p Définition 4: On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p l'expérience aléatoire qui consiste à répéter n épreuves de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes. Arbre associé au schéma de Bernoulli n=3 p n=2 Succès p 1–p p 1–p Succès 1–p Échec p Succès 1–p Échec p Succès 1–p Échec p Succès 1–p Échec Échec Succès Échec 1–p p Succès Échec Définition 5: On appelle loi binomiale de paramètres n et p , notée (n , p), la loi de probabilité de la variable aléatoire qui associe au schéma de Bernoulli de paramètres n et p le nombre de succès. k p (X k) 0 p ( X 0) 1 p ( X 1) … … n p ( X n) n Définition 6: On appelle coefficient binomial , noté , le nombre de chemins réalisant k succès dans le k schéma de Bernoulli de paramètres n et p . Propriété 2: La loi binomiale (n , p) vérifie : n Pour tout k [0 , n], p ( X k ) p k (1 p)nk k Propriété 3: L'espérance de la loi binomiale (n , p), notée , est : n p III – Représentation graphique de la loi binomiale On représente la loi binomiale avec un diagramme en bâtons : – En abscisse, le nombre de succès – En ordonnée, la probabilité correspondante