Cours de maths - 1ère ES-L - Rappels sur les équations

I – Répétition d'expériences identiques et indépendantes
 II – Loi de Bernoulli de paramètre p
 III – Loi binomiale de paramètres n et p
1 - Loi de Bernoulli
Définition 1: On dit que 2 expériences sont indépendantes si le résultat de l'une n'a aucune influence sur le
résultat de l'autre.
Propriété 1: Sur un arbre pondéré représentant la répétition d'expériences aléatoires identiques et
indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque
résultat.
Définition 2: On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p une expérience aléatoire ayant 2 issues :
succès avec une probabilité égale à p et échec.
Définition 3: On appelle variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p la variable aléatoire X qui associe
la valeur 1 à un succès avec la probabilité p et la valeur 0 à un échec avec la probabilité 1 – p.
Définition 4: On appelle loi de Bernoulli de paramètre p la loi de probabilité de la variable aléatoire de
Bernoulli X de paramètre p.
x
0
1
()p X x
1p
p
Propriété 2: L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p est :
()E X p
Définition 5: On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p l'expérience aléatoire qui consiste à
répéter n épreuves de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes.
Arbre associé au schéma de Bernoulli
Loi binomiale
www.mathmaurer.com – Cours – 1ère S
Échec
Succès
1 – p
p
Échec
Succès
1 – p
p
Échec
Succès
1 – p
p
Échec
Succès
1 – p
p
1 – p
Échec
Succès
p
1 – p
Échec
Succès
p
1 – p
Échec
Succès
p
n = 2
n = 3

 2 - Coefficient binomial
 3 - Calcul de probabilité
 4 - Espérance et écart-type
Définition 6: On appelle loi binomiale de paramètres n et p , notée  (n , p), la loi de probabilité de la
variable aléatoire qui associe au schéma de Bernoulli de paramètres n et p le nombre de succès.
k
0
1
…
n
()p X k
( 0)pX
( 1)pX
…
()p X n
Définition 7: On appelle coefficient binomial , noté
n
k
, le nombre de chemins réalisant k succès dans le
schéma de Bernoulli de paramètres n et p .
Propriété 3: Soit n un entier naturel non nul;
(1)
, si 0 alors nn k k n n k k
(2)
1
, si 0 1 alors 11
n n n
k k n k k k
Propriété 4: La loi binomiale  (n , p) vérifie :
Pour tout k  [0 , n],
( ) (1 )
k n k
n
p X k p p
k
Propriété 5: Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale  (n , p).
( ) et ( ) (1 )E X np X np p