Cours de maths - 1ère ES-L - Rappels sur les équations

Loi binomiale
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I – Répétition d'expériences identiques et indépendantes
Définition 1: On dit que 2 expériences sont indépendantes si le résultat de l'une n'a aucune influence sur le
résultat de l'autre.
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Propriété 1: Sur un arbre pondéré représentant la répétition d'expériences aléatoires identiques et
indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque
résultat.

II – Loi de Bernoulli de paramètre p
Définition 2: On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p une expérience aléatoire ayant 2 issues :
succès avec une probabilité égale à p et échec.

Définition 3: On appelle variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p la variable aléatoire X qui associe
la valeur 1 à un succès avec la probabilité p et la valeur 0 à un échec avec la probabilité 1 – p.

Définition 4: On appelle loi de Bernoulli de paramètre p la loi de probabilité de la variable aléatoire de
Bernoulli X de paramètre p.
x
0
1
p ( X  x)
1 p
p

Propriété 2: L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p est :
E (X )  p
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III – Loi binomiale de paramètres n et p
1 - Loi de Bernoulli
Définition 5: On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p l'expérience aléatoire qui consiste à
répéter n épreuves de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes.
Arbre associé au schéma de Bernoulli
n=3
p
n=2
Succès
p
1–p
p
1–p
Succès
1–p
Échec
p
Succès
1–p
Échec
p
Succès
1–p
Échec
p
Succès
1–p
Échec
Échec
Succès
Échec
1–p
p
Succès
Échec
Définition 6: On appelle loi binomiale de paramètres n et p , notée  (n , p), la loi de probabilité de la
variable aléatoire qui associe au schéma de Bernoulli de paramètres n et p le nombre de succès.
k
0
1
…
n
p (X  k)
p ( X  0)
p ( X  1)
…
p ( X  n)

2 - Coefficient binomial
n
Définition 7: On appelle coefficient binomial , noté   , le nombre de chemins réalisant k succès dans le
k 
schéma de Bernoulli de paramètres n et p .
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Propriété 3: Soit n un entier naturel non nul;
n
 n
(1)  k  , si 0  k  n alors 
 
n  k  k 
 n   n   n  1
(2)  k  , si 0  k  n  1 alors    


 k   k  1   k  1

3 - Calcul de probabilité
Propriété 4: La loi binomiale  (n , p) vérifie :
n
Pour tout k  [0 , n], p ( X  k )     p k  (1  p)nk
k 


4 - Espérance et écart-type
Propriété 5: Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale  (n , p).
E ( X )  np et  ( X )  np(1  p)