entiers nombre parmi

COMBINATOIRE ET LOIS DE PROBABILITE
1. Dénombrement
1.1 Listes d'éléments d'un ensemble fini
Définition 1 : Soit
n
et
p
deux entiers naturels non nuls, et E un ensemble fini de
n
éléments.
Une suite finie ordonnée de
p
éléments de E, non nécessairement distincts, est
appelée une liste de
p
éléments de E.
Remarques : 1) Dans une liste de
p
éléments, l'ordre des éléments est important. Ainsi, deux
listes de
p
éléments contenant les mêmes éléments, mais dans un ordre différent,
sont distinctes.
2) Une liste de
p
éléments de E contenant plusieurs fois le même élément peut être
représentée par un tirage successif avec remise de
p
boules dans une urne en
contenant
n
.
Une liste de
p
éléments de E distincts deux à deux peut être représentée par un
tirage successif sans remise de
p
boules dans une urne en contenant
n
.
Théorème 1 : Soit
n
et
p
deux entiers naturels non nuls, et E un ensemble fini de
n
éléments.
Le nombre de listes de
p
éléments de E est égal à
np
.
Preuve : Par récurrence sur
p
.
Autrement dit, le nombre de tirages successifs avec remise de
p
boules dans une urne en
contenant
n
est égal à
np
.
Théorème 2 : Soit
n
et
p
deux entiers tels que
1⩽p⩽n
, et E un ensemble à
n
éléments.
Le nombre de listes de
p
éléments distincts de E est égal à
n(n−1)…(n−p+1)
.
Preuve : Par récurrence sur
p
.
Autrement dit, le nombre de tirages successifs sans remise de
p
boules dans une urne en
contenant
n
est égal à
n(n−1)…(n−p+1)
.
Remarques : 1) Une liste de
p
éléments d'un ensemble à
n
éléments peut contenir plus de
n
éléments. En revanche, une liste de
p
éléments distincts d'un ensemble à
n
éléments ne peut pas contenir plus de
n
éléments, ce qui explique la condition
1⩽p⩽n
du théorème 2.
2) Une liste de
p
éléments distincts (d'un ensemble à
n
éléments) s'appelle aussi
arrangement à
p
éléments (parmi
n
). Leur nombre se note
An
p
.
1.2 Permutations d'un ensemble fini
Définition 2 : Soit
n
un entier naturel non nul et E un ensemble fini de
n
éléments.
Un arrangement à
n
éléments de E est appelé une permutation de E.
Théorème 3 : Soit
n
un entier naturel non nul et E un ensemble fini de
n
éléments.
le nombre de permutations de E est l'entier naturel noté
n!
(qui se lit "factorielle n")
défini par :
n!=n×(n−1)×…×2×1
.
Par convention :
0!=1
.
Remarques : 1) Avec la notation "factorielle", le nombre d'arrangements à
p
éléments d'un
ensemble fini de
n
éléments
(1⩽p⩽n)
s'écrit :
An
p=n!
(n−p)!
.
2) Le nombre de tirages successifs sans remise de
n
boules dans une urne contenant
n
boules est
n!
.
3) Le nombre de façons de ranger
n
objets est
n!
.

1.3 Combinaisons
Définition 3 : Soit
n
et
p
deux entiers tels que
0⩽p⩽n
, et E un ensemble à
n
éléments.
Une partie de E constituée de
p
éléments est appelée une combinaison de
p
éléments de E.
Remarques : 1) Une combinaison d'éléments de E étant une partie de E, l'ordre des éléments
d'une combinaison n'a pas d'importance, puisque dans un ensemble il n'y a pas
d'ordre.
2) Une combinaison de
p
éléments de E peut être représentée par un tirage
simultané de
p
boules dans une urne en contenant
n
.
Théorème 4 : Soit
n
et
p
deux entiers tels que
0⩽p⩽n
. Le nombre de combinaisons de
p
éléments d'un ensemble fini de
n
éléments est l'entier naturel noté
(
n
p
)
(ou
Cn
p
)
(qui peut se lire "
p
parmi
n
") défini par :
(
n
p
)
=n!
p!(n−p)!
.
Preuve : Soit
n
et
p
deux entiers tels que
0⩽p⩽n
, et E un ensemble fini de
n
éléments.
Pour obtenir un arrangement à
p
éléments de E, on peut choisir une combinaison
de
p
éléments de E, puis ordonner ces
p
éléments (c'est-à-dire les permuter).
Or, pour chaque combinaison de
p
éléments de E, il y a
p!
façons de les permuter.
Il y a donc
(
n
p
)
×p!
arrangements à
p
éléments de E.
Donc, avec le théorème 2 :
(
n
p
)
×p!=n!
(n−p)!
, d'où :
(
n
p
)
=n!
p!(n−p)!
.
Autrement dit, le nombre de tirages simultanés de
p
boules dans une urne en contenant
n
est
(
n
p
)
On utilisera fréquemment les propriétés suivantes :
Théorème 5 : (1)
∀n∈ℕ
,
(
n
0
)
=
(
n
n
)
=1
et
(
n
1
)
=n
.
(2) Pour tous entiers
n
et
p
tels que
0⩽p⩽n
,
(
n
p
)
=
(
n
n−p
)
.
(3) Pour tous entiers
n
et
p
tels que
1⩽p⩽n−1
,
(
n
p
)
=
(
n−1
p
)
+
(
n−1
p−1
)
.
( relation de Pascal )
Preuve : Il suffit d'utiliser le théorème 4.
1.4 Triangle de Pascal et formule du binôme de Newton
Soit
n
et
p
deux entiers tels que
0⩽p⩽n
. On construit le tableau suivant, dit triangle de Pascal,
dans lequel se trouve, à l'intersection de la ligne
n
et de la colonne
p
, le coefficient
(
n
p
)
.
Comme
(
n
0
)
=
(
n
n
)
=1
, on place des 1 sur la première colonne et sur la diagonale, puis on complète
avec la relation de Pascal :
(
0
0
)
=1
(
1
0
)
=1
(
1
1
)
=1
(
2
0
)
=1
(
2
1
)
=2
(
2
2
)
=1
(
3
0
)
=1
(
3
1
)
=3
(
3
2
)
=3
(
3
3
)
=1

Théorème 6 : Pour tous nombres complexes
a
et
b
, et tout entier naturel
n
non nul :
(a+b)n=∑
k=0
n
(
n
k
)
an−kbk
.
Preuve : par récurrence sur
n
.
Remarques : 1)
a
et
b
ayant des rôles symétriques dans
(a+b)n
, on a aussi :
(a+b)n=∑
k=0
n
(
n
k
)
akbn−k
.
2) La formule du théorème 6 justifie le nom de coefficients binomiaux donnés
aux nombres
(
n
p
)
.
Exemples : 1)
(a+b)2=∑
k=0
2
(
2
k
)
a2−kbk=
(
2
0
)
a2−0b0+
(
2
1
)
a2−1b1+
(
2
2
)
a2−2b2=a2+2ab+b2
.
2)
(a+b)3=∑
k=0
3
(
3
k
)
a3−kbk=
(
3
0
)
a3−0b0+
(
3
1
)
a3−1b1+
(
3
2
)
a3−2b2+
(
3
3
)
a3−3b3
d'où :
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
.
3)
(a+b)4=∑
k=0
4
(
4
k
)
a4−kbk=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
.
2. Lois discrètes
Lorsqu'une variable aléatoire réelle prend des valeurs entières ou des valeurs réelles en nombre fini,
on dit que la loi de probabilité de cette variable aléatoire est discrète.
2.1 Loi de Bernoulli
Définition 4 : - Une épreuve de Bernoulli de paramètre
p
est une expérience aléatoire ayant
deux issues, l'une appelée "succès" et l'autre "échec", ces deux issues ayant pour
probabilités respectives
p
et
q
telles que
p+q=1
, autrement dit
q=1−p
.
- La loi de probabilité de la variable aléatoire X prenant la valeur 1 si l'issue est
"succès" et la valeur 0 si l'issue est "échec" est alors appelée la loi de Bernoulli de
paramètre
p
:
k 0 1
P(X=k)
q=1−p
p
On dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de paramètre
p
.
Théorème 7 : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre
p
.
On a alors :
E(X)=p
et
V(X)=p(1−p)
.
Preuve :
E(X)=0×(1−p)+ 1×p=p
et
V(X)=E(X2)−E(X)2=02×(1−p)+ 12×p−p2=p−p2=p(1−p)
.
2.2 Loi binomiale
Définition 5 : L'expérience aléatoire qui consiste à répéter
n
fois une épreuve de Bernoulli de
paramètre
p
de façon indépendante est appelée un schéma de Bernoulli.
La loi de probabilité de la variable aléatoire
X
égale au nombre de succès obtenus
au cours des
n
épreuves de ce schéma de Bernoulli est appelée la loi binomiale de
paramètres
n
et
p
, notée B
(n ,p)
.
On dit aussi que
X
suit la loi binomiale de paramètres
n
et
p
.

Remarque : Un schéma de Bernoulli peut consister à répéter
n
fois successivement et de façon
indépendante la même épreuve de Bernoulli (on lance
n
fois de suite et dans les
mêmes conditions un dé, le résultat d'un lancer n'ayant aucune influence sur le
résultat du lancer suivant), mais il peut aussi consister à effectuer simultanément
n
épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (on lance simultanément
n
dés identiques).
Théorème 8 : Soit
X
une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B
(n , p)
.
(1)
X
est à valeurs dans {0;1;...;n}.
(2) Pour tout entier
k
tel que
0⩽k⩽n
:
P(X=k)=
(
n
k
)
pk(1−p)n−k
.
(3)
E(X)=np
et
V(X)=np (1−p)
.
Preuve : (1)
X
compte le nombre de succès obtenus au cours des
n
épreuves d'un schéma
de Bernoulli,
X
prend donc toutes les valeurs entières de 0 à
n
.
(2) Lorsque
X
prend la valeur
k
, cela signifie qu'au cours du schéma de Bernoulli
il y a eu
k
succès et
n−k
échecs. L'événement
(X=k)
correspond donc à
l'ensemble des listes de
n
éléments avec
k
éléments "succès" et
n−k
éléments
"échec". Il y a en tout
(
n
k
)
telles listes, et chacune a la probabilité
pk(1−p)n−k
puisque les épreuves du schéma de Bernoulli sont indépendantes. Les événements
associés à l'apparition de chacune des listes sont deux à deux incompatibles, leurs
probabilités vont donc s'ajouter, ce qui donne :
P(X=k)=
(
n
k
)
pk(1−p)n−k
.
(3) admis.