Loi de Bernoulli et loi binômiale

Statistiques L2 Psychologie
Loi de Bernoulli et loi binômiale
On présente ici un rappel concernant les lois de Bernoulli et binômiale. Pour une étude plus
détaillée il faut se reporter aux notes du cours magistral.
1 Préliminaires
1. Le produit 1×2×3×...×nse note n!(on dit factoriel n).
⋄Exemple : 5! = 5 ×4×3×2×1 = 120
2. Si on dispose de nobjets le nombre de possibilités de prendre kobjets parmi ces nse note
Ck
net on peut montrer que :
Ck
n=n!
k!(n−k)!
Remarque : sur les calculatrices scientifiques on peut calculer les Ck
nen utilisant la fonction
nCr.
⋄Exemple : Il y a C4
25 = 12650 façons différentes de former un groupe de 4 élèves dans
une classe qui en compte 25.
2 Loi de Bernoulli
On dit qu’une variable aléatoire Xsuit une loi de Bernoulli de paramètre psi P(X= 1) = p
et P(X= 0) = 1 −p.
Les variables de Bernoulli permettent de modéliser les expériences où seulement deux résultats
sont possibles. Dans ce cas, l’évènement X= 1 correspond à un "succès" et l’évènement X= 0
à un "échec".
La probabilité d’avoir un "succès" est pet celle d’obtenir un "échec" est 1−p.
⋄Exemple : On peut modéliser le résultat d’un jeu de pile ou face à l’aide d’une variable
aléatoire Xsuivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/2:
X=1si on obtient un pile
0sinon
On a P(X= 1) = 1
2et P(X= 0) = 1 2.
3 Loi binômiale
On s’intéresse ici au nombre de réalisations d’un évènement Ade probabilité plors de la répétition
de népreuves indépendantes. On pose pour i= 1,...,n :
Xi=1si Aest réalisé lors de l’épreuve i
0sinon
1
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Les variables Xisuivent une loi de Bernoulli de paramètre pet sont indépendantes entre elles.
X=
n
P
i=1
Xireprésente alors le nombre de fois où l’évènement As’est réalisé lors des népreuves.
On peut montrer que :
P(X=k) = Ck
npk(1 −p)k(pour k= 0,...,n)
On dit que Xsuit une loi binômiale de paramètre net p. On note X∼ B(n;p).
⋄Exemple : A une foire, lorsque l’on joue à un jeu on a 5% de chance de gagner. On fait dix
parties de ce jeu, quelle est la probabilité de gagner exactement 3 fois ? Quelle est la probabilité
de gagner au moins deux fois ?
Pour i= 1,...,10 on pose
Xi=1si on gagne à la ième partie
0sinon
Les variables Xisont indépendantes et suivent une loi de Bernoulli de paramètre 0,05.
X=
10
P
i=1
Xireprésente le nombre de fois où l’on gagne au cours des 10 parties. D’après ce qui
précède X∼ B(10 ; 0,05). On a donc :
P(X= 3) = C3
10 ×0,053×(1 −0,05)10−3= 120 ×0,053×0,957≃0,01.
On a donc 1% de chance de gagner exactement 3 fois lors des 10 parties.
P(X≥2) = 1 −P(X < 2)
= 1 −(P(X= 0) + P(X= 1))
= 1 −(C0
10 ×0,050×(1 −0,05)10−0+C1 10 ×0,051×(1 −0,05)10−1)
≃0,09
.
On a donc 9% de chance de gagner au moins 2 fois lors des 10 parties.
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