Loi de Bernoulli et loi binômiale

Statistiques
L2 Psychologie
Loi de Bernoulli et loi binômiale
Statistiques
L2 Psychologie
Les variables Xi suivent une loi de Bernoulli de paramètre p et sont indépendantes entre elles.
n
P
Xi représente alors le nombre de fois où l’évènement A s’est réalisé lors des n épreuves.
X=
i=1
On présente ici un rappel concernant les lois de Bernoulli et binômiale. Pour une étude plus
détaillée il faut se reporter aux notes du cours magistral.
1
Préliminaires
On peut montrer que :
P (X = k) = Cnk pk (1 − p)k (pour k = 0, . . . , n)
On dit que X suit une loi binômiale de paramètre n et p. On note X ∼ B(n; p).
1. Le produit 1 × 2 × 3 × . . . × n se note n! (on dit factoriel n).
⋄ Exemple : 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
2. Si on dispose de n objets le nombre de possibilités de prendre k objets parmi ces n se note
Cnk et on peut montrer que :
n!
Cnk =
k!(n − k)!
Remarque : sur les calculatrices scientifiques on peut calculer les Cnk en utilisant la fonction
nCr.
⋄ Exemple : A une foire, lorsque l’on joue à un jeu on a 5% de chance de gagner. On fait dix
parties de ce jeu, quelle est la probabilité de gagner exactement 3 fois ? Quelle est la probabilité
de gagner au moins deux fois ?
Pour i = 1, . . . , 10 on pose
Xi =
1 si on gagne à la ième partie
0 sinon
Les variables Xi sont indépendantes et suivent une loi de Bernoulli de paramètre 0, 05.
10
P
X =
Xi représente le nombre de fois où l’on gagne au cours des 10 parties. D’après ce qui
i=1
4 = 12650 façons différentes de former un groupe de 4 élèves dans
⋄ Exemple : Il y a C25
une classe qui en compte 25.
2
Loi de Bernoulli
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si P (X = 1) = p
et P (X = 0) = 1 − p.
Les variables de Bernoulli permettent de modéliser les expériences où seulement deux résultats
sont possibles. Dans ce cas, l’évènement X = 1 correspond à un "succès" et l’évènement X = 0
à un "échec".
La probabilité d’avoir un "succès" est p et celle d’obtenir un "échec" est 1 − p.
précède X ∼ B(10 ; 0, 05). On a donc :
3 × 0, 053 × (1 − 0, 05)10−3 = 120 × 0, 053 × 0, 957 ≃ 0, 01.
P (X = 3) = C10
On a donc 1% de chance de gagner exactement 3 fois lors des 10 parties.
P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2)
= 1 − (P (X = 0) + P (X = 1))
0 × 0, 050 × (1 − 0, 05)10−0 + C 1 × 0, 051 × (1 − 0, 05)10−1 ) .
= 1 − (C10
10
≃ 0, 09
On a donc 9% de chance de gagner au moins 2 fois lors des 10 parties.
⋄ Exemple : On peut modéliser le résultat d’un jeu de pile ou face à l’aide d’une variable
aléatoire X suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/2 :
1 si on obtient un pile
X=
0 sinon
On a P (X = 1) =
3
1
1
et P (X = 0) = .
2
2
Loi binômiale
On s’intéresse ici au nombre de réalisations d’un évènement A de probabilité p lors de la répétition
de n épreuves indépendantes. On pose pour i = 1, . . . , n :
1 si A est réalisé lors de l’épreuve i
Xi =
0 sinon
1
2