Mathématiques de l`ingénieur I

Math´ematiques de l’ing´enieur I
MAT-10363 – E08
A Nombres complexes
2. Forme polaire
Un nombre complexe zest dit sous forme polaire s’il est ´ecrit sous la forme
z=r(cos θ+isin θ),
o`u ret θsont des nombres r´eels tels que r≥0. On dit alors que rest le module de zet θest son
argument. Si x+iy est la forme cart´esienne de z, alors on a les relations
x=rcos θet y=rsin θ. (1)
L’argument d’un nombre complexe n’est pas uniquement d´etermin´e. Si θest un argument pour z,
alors θ+ 2πen est un aussi. Cela est dˆu au fait que les fonctions sinus et cosinus sont p´eriodiques :
sin θ= sin(θ+ 2π) et cos θ= cos(θ+ 2π).
De fa¸con plus g´en´erale, si θest un argument pour z, alors θ+ 2πk en est un aussi pour chaque valeur
de k∈Z. Le nombre complexe z= 0 a un module de r= 0 et son argument n’est pas d´efini.
Clip illustrant la repr´esentation polaire.
Pour convertir un nombre complexe entre les formes polaire et cart´esienne, on utilise les ´equations
(1). Pour le calcul des fonctions trigonom´etriques, les tableaux de la page 267 du livre sont souvent
pratiques.
Exemple ´
Ecrire sous forme polaire z:= −2√3 + 2i.
Sol. Solution clip.
Re
z
Im
π−θ
2√3
2
r
θ
r=q22+ (2√3)2=√4 + 12 = 4.
sin(π−θ) = 2
4= 1/2
⇒π−θ=π/6
⇒θ= 5π/6.
Donc, z= 4 cos 5π
6+isin 5π 6.
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Exemple ´
Ecrire sous forme cart´esienne z:= √2(cos 5π
4+isin 5π 4).
Sol. z=√2(cos 5π
4+isin 5π 4) = √2−√2 2−√2 2i=−1−i.
Produits et quotients sous forme polaire
La multiplications de deux nombres complexes sous formes polaires z1:= r1(cos θ1+isin θ1) et
z2:= r2(cos θ2+isin θ2) est le nombre complexe dont le module est le produit des modules de z1
et z2et l’argument est la somme des arguments de z1et z2. Similairement, le quotient de z1par z2
est le nombre complexe dont le module est le quotient des modules de z1et z2et l’argument est la
diff´erence des arguments de z1et z2.
z1z2= (r1r2)cos(θ1+θ2) + isin(θ1+θ2)et z1
z2
=r1
r2cos(θ1−θ2) + isin(θ1−θ2).
Exemple Donner sous forme polaire le produit de z:= 3 + 9
√3iet w:= 2(cos π
5+isin π 5).
Sol. En ´ecrivant zsous forme polaire, on trouve z= 6(cos π
3+isin π 3). Ainsi,
zw = 6 cos π
3+isin π 32cos π 5+isin π 5= 12 cos 8π 15 +isin 8π 15 .
Lieux g´eom´etriques
Voici deux approches pour d´ecrire un lieu g´eom´etrique donn´e par une ´equation complexe.
1M´ethode alg´ebrique.
Pour certains probl`emes, il est plus facile de travailler sous forme cart´esienne et poser z:= x+iy,
tandis que pour d’autres, il est plus facile d’utiliser la forme polaire z:= r(cos θ+isin θ). En
tout temps, il faut avoir en tˆete les relations classiques : |z|2=zz, Re z=z+z
2, . . .
2M´ethode g´eom´etrique.
On utilise les interpr´etations g´eom´etriques de z+w,zw,z,|z|,|z−w|, . . . Rappelons que |z−w|
s’interpr`ete comme la distance entre les points zet wdans le plan de Gauss.
Exemple Trouver les points ztels que
a) |z+i|= 2. b) |z−1|=|z+ 5|.
Sol. a) Solution clip. b) Solution clip.
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Exercices
1) Donner sous forme polaire le r´esultat de 3√2+2i
−√2−
2
3i.
2) Supposons que θest l’argument d’un nombre complexe z. Quel est l’argument de
a) 2
z? b) (z−z)2?
R´eponses
1) 3(cos π+isin π).
2) a) θb) π
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