Chap 03 : Généralités sur les fonctions

Chapitre 3
Généralités sur les fonctions
3.1 Fonctions
Dénition 1 :
Soit D une partie de R.
Une fonction f de D vers R associe à tout élèment x de D un unique réel noté f (x).
f (x) est appelé l'image de x par f
x est des antécédants de f (x)
−
→ →
−
Dans le plan muni d'un repère (O; i , j ), la courbe représentative de f , notée Cf , est l'ensemble
des points M de coordonées (x; f (x))
Exemples : fonctions usuelles dites de référence.
Nom
Fonctions anes
Fonction carré
Fonction inverse
Fonctions circulaires
formule
x 7−→ ax + b avec a et b ∈ R
x 7−→ x2
1
x 7−→
x
x 7−→ cos(x) et x 7−→ sin(x)
Exemple : Déterminer un ensemble de dénition
ensemble de dénition
dénies sur R
dénie sur R
Repésentation graphique
droites
parabole
dénie sur R∗
hyperbole
dénies sur R
sinusoïdes
1
.
x+1
f n'est dénie que pour les réels x tels que x + 1 > 0 d'où l'ensemble de dénition Df de la fonction
f est ] − 1; +∞[.
Soit f la fonction dénie par f (x) = √
1
3.2
Parité et éléments de symétrie
Dénition 2 :
Soit f une fonction dénie sur un intervalle I symétrique par rapport à 0.
Dire que f est paire (respectivement impaire) signie que pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x)
(respectivement f (−x) = −f (x)).
Exemples :
Montrer que la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 + 1 est paire.
1
Montrer que la fonction h dénie sur R∗ par h(x) = est impaire
x
Remarque : il existe des fonctions qui ne sont ni paires, ni impaires.
− −
→
Propriété 1 : Dans le plan muni d'un repère (O; →
i , j ), si une fonction f est impaire alors sa
courbe représentative Cf admet le point O comme centre de symétrie.
y
1
O
x
1
→ →
−
Propriété 2 : Dans le plan muni d'un repère orthogonal (O; −
i , j ),
si une fonction f est paire alors sa courbe représentative Cf admet l'axe des ordonnées (Oy) comme
axe de symétrie.
2
y
1
x
1
3.3
Périodicité
Dénition 3 :
Soit f une fonction dénie sur un intervalle I et T un reél strictement positif.
Dire que f est périodique de période T signie que pour tout x ∈ I on a f (x + T ) = f (x).
→ −
→
Propriété 3 : Dans le plan muni d'un repère orthogonal (O; −
i , j ), si une fonction f est pério-
dique de période T alors sa courbe représentative Cf est globalement invariante par translation de
−
→
vecteur kT i où k est entier relatif.
y
T
1
x
1
3
3.4 Sens de variation et extremun
Dénition 4 :
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I inclus dans son ensemble de
dénition Df lorsque :
pour tout couple (x1 ; x2 ) d'éléments de I , tels que x1 < x2 , on a f (x1 ) < f (x2 )
Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I inclus dans son ensemble de
dénition Df lorsque :
pour tout couple (x1 ; x2 ) d'éléments de I , tels que x1 < x2 , on a f (x2 ) < f (x1 )
On dit qu'un fonction est monotone sur un intervalle I lorsque f est soit croissante sur I soit
décroissante sur I .
f (x1)
f (x2)
f (x1)
O
f (x2)
x1
x2
O
x1
x2
Autrement dit, une fonction croissante conserve l'ordre, tandis qu'une fonction décroissante inverse l'ordre.
Dénition 5 Soit f une fonction et I un intervalle de Df .
Dire que f atteint un maximun en x0 sur l'intervalle I signie que pour tout x ∈ I on a
f (x) ≤ f (x0 ).
Dire que f atteint un minimun en x1 sur l'intervalle I signie que pour tout x ∈ I on a
f (x) ≥ f (x1 ).
Exemple : Soit la fonction u dénie sur R par u(x) = 1 − (x − 2)2 . Montrer que f admet un
maximun sur R.
4
3.5 Opérations et Comparaison de fonctions
Comparaison
Soient f et g deux fonctions dénies sur un même domaine D. On a :
f = g si, et seulement si, pour tout x ∈ D on a f (x) = g(x)
f ≤ g si, et seulement si, pour tout x ∈ D on a f (x) ≤ g(x)
f ≥ g si, et seulement si, pour tout x ∈ D on a f (x) ≥ g(x)
Interprétation graphique :
f ≤ g signie que la courbe représentative Cf est "en dessous" de la courbe représentative Cg
f ≥ g signie que la courbe représentative Cf est "au dessus" de la courbe représentative Cg
Dénition 6 Une fonction f est dite :
majorée sur I lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout x ∈ I f (x) ≤ M .
minorée sur I lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout x ∈ I f (x) ≥ m.
bornée sur I lorsqu'il existe des réels M et m tels que pour tout x ∈ I m ≤ f (x) ≤ M .
Opérations
Soient f et g deux fonctions d'ensembles de dénition respectifs Df et Dg .
On dénit sur D = Df ∩ Dg les fonctions :
f + g : x 7−→ f (x) + g(x).
kf : x 7−→ k × f (x) avec k ∈ R.
f × g : x 7−→ f (x) × g(x)
et pour tout x de D, tel que g(x) 6= 0 :
f
f (x)
: x 7−→
g
g(x)
Sens de variation
Théorème 1
La somme de deux fonctions strictement croissantes (resp. décroissante) sur un intervalle I est une
fonction strictement croissante (resp. décroissante) sur I .
Théorème 2 Soient k un réel et f une fonction.
Si k > 0, f et kf ont le même sens de variation.
Si k < 0, f etkf varient en sens contraires sur I .
3.6 Composée de deux fonctions
Soit f et g deux fonctions, et x un réel de Dg Si g(x) ∈ Df , on peut caculer f (g(x)).
Dénition 7
Soit f et g deux fonctions, la fonction f ◦g (f rond g ) est la fonction dénie par (f ◦g)(x) = f (g(x)).
5
Le domaine de déntion de la fonction f ◦ g est D = {x ∈ Dg tels que g(x) ∈ Df }
x+3
et a fonction g dénie sur R par
x−3
2
g(x) = x − 5x + 6. La fonction f√◦ g est dénie
pour les réels x tels que g(x) 6= 3 c'est-à-dire
√
5
−
13
5
+
13
x2 − 5x + 9
x2 − 5x + 6 − 3 6= 0 soit R − {
;
} et dénie par (f ◦ g)(x) = 2
.
2
2
x − 5x + 3
Exemple : Soit la fonction f dénie sur R∗ par f (x) =
Théorème 3 Soient f et g deux fonctions strictement monotones et I un intervalle sur lequel f ,
g et f ◦ g sont dénies.
• Si f et g ont le même sens de variation, alors f ◦ g est croissante sur I .
• Si f et g ont des sens de variation diérents, alors f ◦ g est décroissante sur I .
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