Quand les familles ne sont pas finies L`alphabet grec
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Quand les familles ne sont pas nies Dans cette section, on adapte les dénitions de famille libre, génératrice et de base au cas où la famille n'est pas nie. On se place dans un R-espace vectoriel E , on considère I un ensemble d'indices non nécessairement ni, comme par exemple I = N, et (ei )i∈I une famille d'éléments de E indexée par I . On veut dénir ce que cela veut dire que cette famille est libre, génératrice ou qu'elle est une base. Dénition 1 P i∈I λi ei , On appelle où les λi ∈ R combinaison linéaire (e ) tous nuls sauf un nombre ni de la famille sont i i∈I tout élément de la forme . Autrement dit, une combinaison linéaire d'une famille innie n'est ni plus ni moins qu'une combinaison linéaire d'une sous-famille nie. Plus généralement, si P est une partie de E (non nécessairement nie), on dit que x ∈ E est combinaison linéaire d'éléments de P , s'il est combinaison linéaire d'un nombre ni d'éléments de P . Cela étant les notions de famille libre et de famille génératrice s'étendent aisément : Dénition 2 (Famille génératrice innie) tous nuls sauf un nombre ni E est combinaison scalaires λi ∈ R, i ∈ I , ment de (ei )i∈I La famille est dite génératrice x∈E i∈I λi ei . linéaire de cette famille. Autrement dit, pour tout Dénition 3 (Famille libre innie) La famille , tels que (ei )i∈I est dite x= il existe des P libre si toute combinaison li- néaire nulle de cette famille est triviale. Autrement dit, pour toute famille de scalaires pour presque tout i, si tout élé- (λi )i∈I nuls on a : X λi ei = 0E =⇒ λi = 0R , ∀i ∈ I. Exemple. Le prototype de famille innie qui est libre, génératrice et donc aussi une i∈I base, est la famille (X n )n∈N dans le R-espace vectoriel R[X]. L'alphabet grec Voici la liste des lettres grecques avec lesquelles j'ai coutûme de nommer les scalaires dans ce cours d'algèbre linéaire. Nom alpha gamma epsilon eta iota lambda nu omicron rho tau phi psi Minuscule Majuscule α γ ε η ι λ ν o ρ τ ϕ ψ Γ Λ Φ Ψ Exercice 1 : Retour à l'école primaire ! 1. Écrire une ligne de chaque lettre grecque. 2. Pour le xi, doublez la dose, na ! Nom beta delta zeta theta kappa mu xi pi sigma upsilon chi omega Minuscule Majuscule β δ ζ θ κ µ ξ π σ υ χ ω ∆ Θ Ξ Π Σ Υ Ω
