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Lycée Jean Perrin
Classe de TSI1 2016/2017
07/11/16 au 11/11/16
Colles : semaine 7
V
Compléments d'algèbre linéaire
Revoir tout le programme de Sup concernant l'algèbre linéaire, qui est repris ici dans les grandes lignes avec quelques
compléments.
V.A Bases
Combinaisons linéaires - Sous-espace vectoriel engendré par une partie - Partie génératrice - Familles nies ou innies
libres - Familles nies ou innies liées - Bases - Rappels sur la dimension nie - Exemples de bases - Application linéaire
dénie par une base et son image.
V.B Sommes de sous-espaces vectoriels. Sommes directes
Dénition de la somme d'un nombre ni de sous-espaces vectoriels. Somme directe.
Caractérisation : la somme F1 + · · · + Fp est directe si et seulement si pour tout (~x1 , . . . , ~xp ) ∈ F1 × . . . × Fp :
~x1 + · · · + ~xp = ~0 =⇒ ~x1 = · · · = ~xp = ~0
En dimension nie, base adaptée à une décomposition en somme directe.
V.C Cas particulier : Somme directe de deux sous-espaces vectoriels. Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Dénition - Caractérisation - Base adaptée à une décomposition en somme directe de deux sous-espaces vectoriels Caractérisation des sommes directes en dimension nie.
V.D Formule du rang
Noyau et image - Dénition du rang - Pour un endomorphisme en dimension nie : équivalence entre l'injectivité,
la surjectivité, et la bijectivité.
V.E Hyperplan en dimension nie
Équations cartésiennes d'un hyperplan. Caractérisation comme sous-espace admettant une droite comme supplémentaire.
V.F Sous-espaces stables par un endomorphisme
Dénition. Forme matricielle dans une base adaptée.
V.G Exemples d'endomorphismes
Homothéties - Projecteurs
Démonstrations à connaître (pas plus de 15-20 minutes) :
1. La somme F1 + · · · + Fp est directe si et seulement si pour tout (~x1 , . . . , ~xp ) ∈ F1 × . . . × Fp :
~x1 + · · · + ~xp = ~0 =⇒ ~x1 = · · · = ~xp = ~0
2. Si E est de dimension nie et est somme directe de p sous-espaces vectoriels F1 , F2 , . . . , Fp , alors la concaténation
de bases des Fi (1 6 i 6 p) donne une base de E (démonstration pour p = 3).
−
−
→
−
→
−
−
→
3. Soient E et F deux K-espaces vectoriels, (→
e1 , →
e2 , . . . , −
e→
n ) une base de E . Alors f ( e1 ), f ( e2 ), . . . , f (en ) est une
famille génératrice de Im f , et si f est injective c'est une base de Im f .
4. La somme F1 + F2 est directe si et seulement si F1 ∩ F2 = {0}.
Donner un contre-exemple pour p = 3 concernant l'armation : F1 + · · · + Fp directe si et seulement si les
intersections des Fi sont deux à deux réduites à {0}.