CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand
Algèbre et analyse tensorielle Cours 2:
Espaces vectoriels normés, continuité
Jeudi 12 octobre 2006
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Espaces vectoriels normés
Soit un E un espace vectoriel sur un corps K .
Une norme sur E est une application N de E dans R+ veriant:
∀x ∈ E × E N (x) = 0 ⇒ x = 0
∀(λ, x) ∈ K × E N (λx) = |λ|N (x)
∀(x, y) ∈ E 2 N (x + y) ≤ N (x) + N (y)
Exemples
-Sur l'espace vectoriel Rn ; en notant (x1 , x2 , ..; xn ) les coordonnées d'un vecteur quel1
conque de cet espace,k x kp = (| x1 |p +...+ | xn |p ) p et k x k∞ = Sup1≤i≤n | xi |
dénissent des normes. Le cas p=2 est très particulier, on retrouve la norme euclidienne provenant du produit scalaire classique.
-Soit E = C([a, b], R), l'ensemble des fonctions numériques continues sur l'intervalle
[a, b]
k f k2 = (
Rb
a
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| f (x) | dx) 2
k f k∞ = Supx∈[a,b] | f (x) |
sont des normes sur l'ensemble C([a, b], R)
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Remarque: k f k2 = ( ab | f (x) | dx) 2 provient aussi d'un produit scalaire. Cette
norme a de nombreuses applications en physique. Elle permet de modéliser l'energie
d'un signal entre autre.
R
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Remarque
Un espace vectoriel normé (e.v.n) est un cas particulier d'epace métrique; on pose en
eet si (E, N ) est un e.v.n en posant d(x, y) = N (x − y) on vérie que d est une distance. En revanche la réciproque est fausse. Par exemple, la distance lexicographique
entre les mots d'un langages n'est liée a aucune structure d'espace vectoriel.
1.1 Equivalence de normes
D'après la remarque précédente, On a une notion d'équivalence de normes, heritée
de l'équivalence des distances:
On dit que deux normes sont équivalentes quand:
∃α, β tel que ∀x ∈ E αN1 (x) < N2 (x) < βN1 (x).
Théorème
Dans un espace vectoriel de dimension nie, toutes les normes sont équivalentes.
La consequence pratique de ce théorème intervient quand on fait de l'analyse sur
Rn ;c'est le cas qui nous importe pour ce cours. Par contre en analyse fonctionnelle
où l'on manipule des espaces fonctionnels de dimensions innies ce resultat ne subsiste pas et le choix d'une norme adaptée au problème à resoudre est très important.
1.2 Produit scalaire, espace euclidien
Le cas p = 2 vu precèdement permet vraiment de faire de la géometrie euclidienne
car l'orthogonalité peut être modélisée:
Un produit scalaire ϕ sur E est une forme bilinéaire symétrique (2- tenseur symétrique
comme on le verra) dénie et positive:
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ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z)
ϕ(λx, y) = λϕ(x, y)
ϕ(x, x) ≥ 0
ϕ(x, x) = 0 ⇒ x = 0
Exemple, remarque
-Sur Rn : ϕ(x, y) = x1 y1 + ...xn yn si x = (x1 , ...xn ) et y = (y1 , ...yn ) est un produit
scalaire
-Sur C([a, b], R) ϕ(x, y) =
Rb
a
f (x)g(x)dx) est un produit scalaire.
En physique on a coutume de nommer produit scalaire :
< x, y >= c2 .tt0 − x1 y1 − x2 y2 − x3 y3
même si ce réel n'est pas déni positif. Dire que ϕ(x, x) est nul c'est dire que l'on se
déplace à la vitesse de la lumière.
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Limite, continuité
-Soit (X1 , O1 ), (X2 , O2 ) deux espaces topologiques. f une application de X1 vers
X2 . On dit que f admet une limite l quand x tend vers a lorsque:
∀V ∈ V(l) ∃U ∈ V(a) / f (U ) ⊂ V
-Si f est dénie au point a et que l = f (a) ,on dit que f est continue au point
a -Remarque: à partir de cette dénition générale; on retrouve toutes les dénitions
classiques de limite et continuité.
2.1 application de la dénition générale
1)X1 = X2 = R et les ouverts engéndrés par les intervalles ouverts.
modelisons limx→a f (x) = l (*):
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Un voisinage de l contient un intervalle ]l − ε, l + ε[
Un voisinage de a contient un intervalle ]a − α, a + α[
(*) devient:
∀ > 0, ∃α > 0 f (]a − α, a + α[) ⊂]l − ε, l + ε[
Ou encore:
∀ > 0, ∃α > 0 |x − a| < α ⇒ |f (x) − l| < ε
2)modelisons la limite d'une suite: limn→+∞ f (n) = l (*):
Vn = {n + 1, n + 2, ...} forme une famille d'ouverts donc:
Un voisinage de l contient un intervalle ]l − ε, l + ε[
Un voisinage de +∞ contient un VN = {N + 1, N + 2, ...}
(*) devient:
∀ > 0, ∃N > 0 f ({N + 1, N + 2, ...}) ⊂]l − ε, l + ε[
Ou encore:
∀ > 0, ∃N > 0 n > N ⇒ |f (n) − l| < ε
en posant un = f (n) On retrouve la dénition connue.
2.2 Continuité d'une application de Rn dans Rp
Rappelons que dans un espace de dimension nie toutes les normes sont équivalentes:
On choisit donc N1 appropriée a la source, N2 au but et:
On dit que f admet l pour limite quand x tend vers x0 quand:
∀ > 0, ∃α > 0 N1 (x − x0 ) < α ⇒ N2 (f (x) − l) < ε
On dit que f est continue en x0 quand: limx→x0 f (x) = f (x0 )
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