Espaces Lp

Espaces Lp
Dans tout ce chapitre on se place dans un ouvert
Ω
de
Rd .
Tous les
concepts présentés se généralisent sans diculté à un borélien quelconque de
Rd .
1
Préliminaires
1.1
Espaces
Soit
p
un
Lp (Ω)
réel de [1, +∞[.
Dénition 1.1. Lp (Ω) = f mesurables sur Ω ,
1.2
p
|f
|
<
+∞
Ω
R
Fonctions égales presque partout
Dénition 1.2. Soit f
et g deux fonctions mesurables. On dit que f et g sont
égales presque partout si {x ∈ Ω, | f (x) 6= g(x)} est un ensemble négligeable.
1.3
Deux théorèmes importants
Théorème 1.3.
tout. Alors
Soient f et g deux fonctions de L1 (Ω) égales presque parZ
Z
f=
g
Ω
Ω
Théorème 1.4.
Soient f ∈ L1 (Ω) telle que
presque partout sur Ω.
1
R
Ω
|f | = 0. Alors f est nulle
2
Espace
La relation f
L1(Ω)
=g
pp est une relation d'équivalence sur
L1 (Ω).
On peut
donc considérer l'espace quotient, qui est l'ensemble des classes d'équivalence.
Dénition 2.1. L1 (Ω) est le quotient de L1 (Ω) par la relation d'équivalence
"égalité presque partout dans Ω".
Autrement dit,
1
L (Ω) =
Z
f
dénie sur
Ω
à un ensemble négligeable près
;
| f (x) | dx < +∞
Ω
Théorème 2.2.
Muni de la norme dénie par
Z
kf kL1 (Ω) =
|f (x)| dx,
Ω
l'espace vectoriel L1 (Ω) est un espace de Banach.
3
Espace
L2(Ω)
De même que pour
L1 (Ω), on quotiente L2 (Ω) par la relation d'équivalence
"égalité presque partout".
Dénition 3.1. L2 (Ω) est le quotient de L2 (Ω) par la relation d'équivalence
"égalité presque partout dans Ω".
Autrement dit,
2
L (Ω) =
Z
f
dénie sur
Ω
à un ensemble négligeable près
;
| f (x) | dx < +∞
Ω
Théorème 3.2.
L'application
2
Z
2
f ∈ L (Ω), g ∈ L (Ω) 7→ (f, g)L2 =
f (x)g(x) dx
Ω
2
est un produit scalaire. Muni de ce produit scalaire, L2 (Ω) est un espace de
Hilbert.
La norme induite est
kf kL2 (Ω)
p
= (f, f )L2 =
sZ
| f (x) |2 dx
Ω
Remarque 3.3. Dans l'espace de Hilbert L2 (Ω), l'inégalité de Cauchy-Schwarz
s'écrit :
Z
∀f ∈ L (Ω), ∀g ∈ L (Ω), f (x)g(x) dx ≤ kf kL2 (Ω) kgkL2 (Ω)
2
2
Ω
ce qui implique notamment
∀f ∈ L2 (Ω), ∀g ∈ L2 (Ω), kf gkL1 (Ω) ≤ kf kL2 (Ω) kgkL2 (Ω)
4
Espaces
Lp(Ω)
et
Lploc(Ω)
On généralise ici les espaces précédemment présentés.
Soit
4.1
p
un réel,
Espaces
p ≥ 1.
Lp (Ω)
Dénition 4.1.
L'espace vectoriel Lp (Ω) est le quotient de Lp (Ω) par la
relation d'équivalence "égalité presque partout dans Ω"
Autrement dit, on a
Lp (Ω) =

 f,
Ω
à un ensemble négligeable près,
Z
telles que

Théorème 4.2.
dénie sur
| f (x) |p dx < +∞
Ω
Muni de la norme dénie par
Z
1/p
p
kf kLp (Ω) =
|f (x)| dx
,
Ω
l'espace vectoriel L (Ω) est un espace de Banach.
p
3



.
Théorème 4.3
.
Soit p ∈ R, 1 < p < +∞. Soit q ∈
]1, ∞[ tel que 1/p + 1/q = 1. Soit f ∈ L (Ω) et g ∈ Lq (Ω). Alors f g ∈ L1 (Ω)
et
kf gkL1 (Ω) ≤ kf kLp (Ω) kgkLq (Ω)
(Inégalité de Hölder)
p
Remarque 4.4. Pour p = q = 2, on retrouve l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Théorème 4.5.
4.2
On suppose Ω borné. Soit q > p ≥ 1. Alors Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω).
Lploc (Ω)
Espaces
Dénition 4.6.
Soit Ω un ouvert de Rd . On dit que f est localement intégrable sur Ω si, pour tout compact K inclus dans Ω, la fonction f est
intégrable sur K . On note
L1loc (Ω) = f ; f ∈ L1 (K) pour tout compact K ⊂ Ω
l'espace vectoriel des fontions localement intégrables.
De même,
Lploc (Ω) = {f ; f ∈ Lp (K) pour tout compact K ⊂ Ω} .
Remarque 4.7.
On a bien sur Lp (Ω) ⊂ Lploc (Ω).
Proposition 4.8.
Soit q > p ≥ 1. Alors Lqloc (Ω) ⊂ Lploc (Ω).
Soit p ≥ 1. Alors Lp (Rd ) ⊂ Lploc (Rd ) ⊂ L1loc (Rd ).
Dénition 4.9
Lploc (I)). Soit fn une suite de Lploc (Ω) et
f ∈ Lploc (Ω). On dit que fn converge vers f dans Lploc (Ω) si, pour tout compact
K ⊂ Ω, la suite fn|K converge vers f|K dans Lp (K).
5
Espace
(Convergence dans
L∞(Ω)
Dénition 5.1.
On dit qu'une fonction f est essentiellement bornée sur Ω
si il existe un réel positif M tel que
µ({x ∈ Ω; |f (x)| ≥ M }) = 0.
4
Remarque 5.2. En dehors d'un ensemble de mesure nulle, on a |f (x)| < M .
Dénition 5.3.
bornées sur Ω.
On note L∞ (Ω) l'ensemble des fonctions essentiellement
Encore une fois, pour avoir un espace de Banach on va devoir quotienter
∞
L (Ω).
Dénition 5.4. L∞ (Ω) est le quotient de L∞ (Ω) par la relation d'équivalence
"égalité presque partout".
Autrement dit,
L∞ (Ω) = {f
dénie sur
Théorème 5.5.
Ω
à un ensemble négligeable près
;f
est essentiellement bornée}
Muni de la norme dénie par
kf kL∞ (Ω) = inf{M ≥ 0; µ({x ∈ Ω; |f (x)| ≥ M }) = 0},
l'espace vectoriel L∞ (Ω) est un espace de Banach.
Théorème 5.6.
Pour f ∈ L∞ (Ω), on a :
pour presque tout x ∈ Ω, |f (x)| ≤ kf kL∞ (Ω)
et kf kL∞ (Ω) est le plus petit réel satisfaisant cette propriété.
Théorème 5.7.
Si f est continue sur Ω et essentiellement bornée, alors
pour tout x ∈ Ω, |f (x)| ≤ kf kL∞ (Ω)
Remarque 5.8.
C'est le "pour tout" qui est important ici.
Théorème 5.9.
Si f ∈ L1 (Ω) et g ∈ L∞ (Ω), alors le produit f g est dans
L (Ω) et
1
kf gkL1 (Ω) ≤ kf kL1 (Ω) kgkL∞ (Ω)
Remarque 5.10.
Ceci étend l'inégalité de Hölder au cas p = 1, q = +∞
5
6
Convolution dans
L1(Rd)
Theorem-Dénition 6.1.
Soient f et g dans L1 (Rd ). La fonction notée
f ? g dénie presque partout sur Rd par
Z
(f ? g)(x) =
f (x − y)g(y)dy
Rd
est appelée la convolée de f et g (ou le produit de convolution). La fonction
f ? g est dans L1 (Rd ) et on a
kf ? gkL1 (Rd ) ≤ kf kL1 (Rd ) kgkL1 (Rd )
7
Un résultat d'intégrabilité important
Proposition 7.1.
Soit f : x ∈ Rd → |x|1α . Alors
f est intégrable sur Bd (0, 1) (boule unité de Rd ) si et seulement si α < d
f est intégrable sur Rd \Bd (0, 1) si et seulement si α > d
6