fonctions de classe c1

FONCTIONS DE CLASSE C1
FONCTIONS DE CLASSE C1
La notion de classe C 1 pour une fonction QXPpULTXHG¶XQHYDULDEOHUpHOOH est
présente en analyse (étude de fonctions numériques à une variable réelle,
intégrations par parties) et en probabilités (fonction de UpSDUWLWLRQG¶XQe
variable aléatoire à densité).
$O¶DLGH de plusieurs exercices, nous allons travailler cette notion.
Ces exercices nous permettront GHWUDYDLOOHUOHVIRQGDPHQWDX[GHO¶DQDO\VH
(continuité, dérivabilité, limites, dérivées).
Cours
1) Définition
Une fonction numérique f G¶XQHYDULDEOHUpHOOHGéfinie sur un intervalle I est
dite de classe C 1 si elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée f ' est
continue sur cet intervalle.
2) Propriétés
a) Si f et g sont deux fonctions de classe C 1 sur un intervalle I alors les
fonctions f g et f u g sont de classe C 1 sur I ͘
Si de plus g QHV¶DQQXOHSDUVXU I , alors
f
est de classe C 1 sur I .
g
b) Si f est une fonction de classe C 1 sur un intervalle I et si g est une
fonction de classe C 1 sur un intervalle J FRQWHQDQWO¶LQWHUYDOOH f I ,alors
la fonction g
f est de classe C 1 VXUO¶LQWHUYDOOH I ͘
Remarque.
La fonction f étant de classe C 1 VXUO¶LQWHUYDOOH I , elle est dérivable donc
continue sur cet intervalle.
FONCTIONS DE CLASSE C1
10
/¶LPDJHG¶XQLQWHUYDOOHSDUXQHIRQFWLRQFRQWLQXHHVWXQLQWHUYDOOH
(théorème des valeurs intermédiaires), on peut donc affirmer que f I est
un intervalle.
Exercice 1
On considère la fonction numérique f de la variable réelle x telle que
­ 0 si x 0
°
f x ® x
°¯ ln x sinon
1) 'RQQHUO¶HQVHPEOHGHGpILQLWLRQGHODIRQFWLRQ f .
2) La fonction f est-elle dérivable en 0 ?
3) Justifier que la fonction f est de classe C 1 sur > 0,1> .
4) Dresser le tableau des variations de la fonction f .
(On y fera apparaître les différentes limites et la valeur de f e )
On considère la suite v telle que v0
3 et n  , vnn1
vn
ln vn
5) Montrer que n  , vn t e .
6) Justifier que la suite v converge et déterminer sa limite.
Correction
1.
x
existe si et seulement si x ! 0 et ln x z 0 .
ln x
x
existe si et seulement si x ! 0 et x z 1 .
ln x
f 0 existe donc la fonction f est définie sur > 0,1>
2. Pour x  @0,1> ,
f x f 0
x0
§ x ·
¨
¸
© ln x ¹
x
@1, f>
1
o 0 puisque lim ln x f
x o0
ln x xo0
La fonction f est donc dérivable en 0 et f ' 0 0
11
FONCTIONS DE CLASSE C1
3. La fonction f est de classe C 1 sur @0,1> et sur @1, f> comme quotient de
fonctions de classe C 1 GRQWOHGpQRPLQDWHXUQHV¶DQQXOHSDVVXU @0,1> et sur
@1, f> .
™ Pour établir le caractère C 1 de la fonction f sur chaque
intervalle ouvert on utilise les théorèmes généraux rappelés en
début de chapitre.
x  @0,1> ‰ @1, f> , f ' x lim ln x
x o0
f donc lim
x o0
ln x 1
ln x
Finalement lim f ' x 0
x o0
1 u ln x x u
0 et lim
x o0
2
1
x
ln x 1
ln x 1
ln x 2
1
1
ln x (ln x)2
2
0
f ' 0 Ÿ f ' continue en 0.
La fonction f est de classe C 1 sur > 0,1> .
4. x  @0,1> ‰ @1, f> , f ' x x u ln x 1 u
ln x 2
1
x
ln x 1
ln x 2
est du signe de
ln x 1 :
ln x 1 0 œ ln x 1 œ x e
ln x 1 ! 0 œ ln x ! 1 œ x ! e
La fonction f est dérivable donc continue en 0 : lim f x x o0
lim x 1 ½
°
Ÿ lim f x f
¾
lim ln x 0 ° xo1
x o1
¿
x o1
lim x 1 ½
°
Ÿ lim f x f ¾
lim ln x 0 ° xo1
x o1
¿
x o1
f 0 0 .
FONCTIONS DE CLASSE C1
12
lim
x of
ln x
x
x
f ' x f x
0 (Limite usuelle) Ÿ lim f x f x of
0
1
-
e
-
0
0
f
+
f
f
e
f
5. Montrons le résultat par récurrence. On note P n : vn t e
¾ Initialisation : v0 3 t e , puisque e | 2.718 .
¾ Hérédité : on suppose que pour un n t 0 , vn t e et on veut montrer
que vn 1 t e .
Si vn t e , alors f vn vn 1 t f e e car la fonction f est croissante sur
> e, f> .
¾ Conclusion : n  , vn t e
6. n  , vn 1 vn
vn
vn
ln vn
vn u
1 ln vn
ln vn
vn t e ! 0
½
°
vn t e Ÿ ln vn t 1 Ÿ 1 ln vn d 0 ¾ Ÿ vn 1 vn d 0
°
vn t e Ÿ ln vn t 1 ! 0
¿
La suite vn est décroissante et minorée par e : elle converge vers un réel
Lte.
vn
. On passe à la limite quand n tend vers f : L
ln vn
fonction ln est continue en L t e .
vn 1
On a donc L
L
œ L ln L L
ln L
0 œ L 1 ln L 0 œ L
Comme L t e , on a L e : la suite vn converge vers e .
L
car la
ln L
0 ou L e .
13
FONCTIONS DE CLASSE C1
Exercice 2
Soit f O¶DSSOLFDWLRQGpILQLHVXU
1.
2.
3.
4.
par : f x ­ e x2 1
°
si x z 0
® x
° 0
si x 0
¯
Montrer que f est impaire et continue sur .
Montrer que f est de classe C 1 sur .
Donner le tableau des variations de f.
(QGpGXLUHO¶H[LVWHQFHG¶XQHDSSOLFDWLRQUpFLSURTXHGHf impaire.
Correction
1. La fonction f est définie sur
x  , x 
intervalle symétrique par rapport à 0 donc
.
2
f x
2
­ e x 1
ex 1
°
si x z 0 f x : f est impaire
® x
x
°
0 si x 0
¯
2
La fonction x e x 1 est continue sur comme composée et différence de
fonctions continues sur , par conséquent la fonction f est continue sur
@f,0> et sur @0, f> comme quotient de fonctions continues dont le
GpQRPLQDWHXUQHV¶DQQXOHSDVVXUFKDFXQGHFHVLQWHUYDOles.
Continuité en 0 :
2
e x 1 x Ÿ e x 1 x 2 , on a donc
0
0
2
x
x Ÿ lim f x lim x 0
x o0
x o0
x
fonction f en 0.
f x
0
f 0 ce qui assure la continuité de la
Conclusion : la fonction f est continue sur
2
2. La fonction x e x 1 est de classe C 1 sur comme composée et
différence de fonctions de classe C 1 sur , par conséquent la fonction f est
de classe C 1 sur @f,0> et sur @0, f> comme quotient de fonctions de classe
C 1 GRQWOHGpQRPLQDWHXUQHV¶DQQXOHSDVVXUFKDFXQGHFHVLQWHUYDOOHs.
FONCTIONS DE CLASSE C1
14
Etude en 0
a) Dérivabilité en 0
2
f x f 0 ex 1
f x f 0
Pour x z 0,
1 Ÿ lim
1.
li
2
0
0
o
x
x0
x0
x
La fonction f est donc dérivable en 0 et f ' 0 1 .
b) Continuité de f ' en 0.
2
x  @f,0> ‰ @0, f> , f ' x Pour x au voisinage de 0, e
2
e x 2 x2 1 1
1 x
2
ex 2 x2 1 1
2
2
x
x
2x
2
2
x
1 x o x donc e
o x2
x2
1.
0 x2
Finalement lim f ' x 1
2
2 xe x x e x 1 1
x2
1 x2 o x2
1 1 x2 o x2
0
x 2 , et donc
f ' x
x o0
f ' 0 : la fonction f ' est continue en 0.
Les conclusions de DHWESHUPHWWHQWG¶DIILUPHUTXH :
La fonction f est de classe C 1 sur
™ Pour établir le caractère C 1 de la fonction f sur @f,0> et sur
@0, f> on utilise les théorèmes généraux rappelés en début de
chapitre.
™ Pour établir le caractère C 1 de la fonction f sur , on traite le
SUREOqPHORFDOHQHQUHYHQDQWjODGpILQLWLRQG¶XQHIRQFWLRQGH
classe C 1 .
™ Les études de limites nécessaires à la résolution du problème se
font éventuellement jO¶DLGHG¶pTXLYDOHQWVHWVLQpFHVVDLUHj
O¶DLGHGHGpveloppements limités.
2
3. Pour x z 0, f ' x est du signe de g x e x 2 x 2 1 1
Cherchons donc le signe de g x .
La fonction g est dérivable sur comme composée, produit et différence de
fonctions dérivables sur .
2
2
x  , g ' x 2 xe x 2 x 2 1 e x 4 x
x  , g ' x x2
2
2
xe x 4 x 2 2 4
xe (2 4 x ) : g ' x est du signe de x .
15
FONCTIONS DE CLASSE C1
La fonction g est donc décroissante sur @f,0@ et croissante sur > 0, f> :
elle admet un minimum absolu en 0 qui vaut g 0 0 .
Conclusion : la fonction g est positive sur
et strictement positive sur
*
.
Revenons à f.
Pour x z 0, f ' x ! 0 , or f ' 0 1 donc x  , f ' x ! 0 : la fonction f
est strictement croissante sur .
Limites jO¶LQILQL
2
ex 1
x z 0, f x x
lim x f
2
2
ex
1
ex
1
xu 2 x
x
x
x
½
2
°
ex
x u 2 f (en posant A
¾ Ÿ xlim
of
x
f °
¿
x of
x2 )
eA
lim
Aof A
1
0 , il vient : lim f x f .
Comme lim
x of x
x of
lim f x lim f X (en posant X x HWGRQFHQXWLOLVDQWO¶LPSDULWp
x2
e
lim 2
x of x
x of
X of
de la fonction f , il vient : lim f x lim ª f X º¼
X of ¬
x of
x
f ' x 0
f
f .
+f
-
+
f ( x)
+f
f
4. La fonction f est continue et strictement croissante sur
est une bijection de
sur f
: la fonction f
.
La fonction f admet donc une bijection réciproque f 1 définie sur
f 1 .
f
x
y
f
1
avec
FONCTIONS DE CLASSE C1
16
Montrons que f 1 est impaire. On a : y  , y 
1
y
f 1 y f 1 y f 1 y f
xœ y
.
f x
x œ y
f x
x œ y
f x , car f est impaire
x œ f 1 y x
Finalement f 1 y x f 1 y : f 1 est impaire.
La fonction f admet donc une bijection réciproque f 1 impaire
Exercice 3
­ x ln x si x  @0,1>
°
Soit la fonction f définie sur > 0,1@ par : f x ® x 1
° f 0 0 et f 1 1
¯
1. Etudier la continuité de la fonction f sur > 0,1@ .
2. La fonction f est-elle de classe C 1 sur > 0,1@ ?
3. Dresser le tableau des variations de la fonction f sur > 0,1@ .
Correction
1. La fonction x
x ln x est continue sur @0,1@ comme produit de fonctions
continues sur @0,1@ , par conséquent la fonction f est continue sur @0,1>
cRPPHTXRWLHQWGHIRQFWLRQVFRQWLQXHVGRQWOHGpQRPLQDWHXUQHV¶DQQXOHSDV
sur O¶LQWHUYDOOH @0,1> .
¾ Continuité en 0
lim x ln( x) 0 limite usuelle ½
°
x o0
f x
¾ Ÿ lim
x o0
lim x 1 1
°
x o0
¿
Donc f est continue en 0.
0
0
1
f 0 ,
¾ Continuité en 1
ln( x)
1
x 1 Ÿ f x 1 x
; lim f x 1
x o1
f 1 ; donc f est continue en 1.