fonctions de classe c1

FONCTIONS DE CLASSE C1
La notion de classe
1
C
pour une fonction QXPpULTXHG¶XQHYDULDEOHUpHOOH est
présente en analyse (étude de fonctions numériques à une variable réelle,
intégrations par parties) et en probabilités (fonction de UpSDUWLWLRQG¶XQe
variable aléatoire à densité).
$O¶DLGH de plusieurs exercices, nous allons travailler cette notion.
Ces exercices nous permettront GHWUDYDLOOHUOHVIRQGDPHQWDX[GHO¶DQDO\VH
(continuité, dérivabilité, limites, dérivées).
Cours
1) Définition
Une fonction numérique
f
G¶XQHYDULDEOHUpHOOHGéfinie sur un intervalle
I
est
dite de classe
1
C
si elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée
'f
est
continue sur cet intervalle.
2) Propriétés
a) Si
f
et
g
sont deux fonctions de classe
1
C
sur un intervalle
I
alors les
fonctions
fg
et
fgu
sont de classe
1
C
sur
I
͘
Si de plus
g
QHV¶DQQXOHSDUVXU
I
, alors
f
g
est de classe
1
C
sur
I
.
b) Si
f
est une fonction de classe
1
C
sur un intervalle
I
et si
g
est une
fonction de classe
1
C
sur un intervalle
J
FRQWHQDQWO¶LQWHUYDOOH
fI
,alors
la fonction
gf
f
est de classe
1
C
VXUO¶LQWHUYDOOH
I
͘
Remarque.
La fonction
f
étant de classe
1
C
VXUO¶LQWHUYDOOH
I
, elle est dérivable donc
continue sur cet intervalle.
FONCTIONS DE CLASSE C1

/¶LPDJHG¶XQLQWHUYDOOHSDUXQHIRQFWLRQFRQWLQXHHVWXQLQWHUYDOOH
(théorème des valeurs intermédiaires), on peut donc affirmer que
fI
est
un intervalle.
Exercice 1
On considère la fonction numérique
f
de la variable réelle
x
telle que
0 si 0
sinon
ln
x
fx x
x
°
®
°
¯
1) 'RQQHUO¶HQVHPEOHGHGpILQLWLRQGHODIRQFWLRQ
f
.
2) La fonction
f
est-elle dérivable en 0 ?
3) Justifier que la fonction
f
est de classe
1
C
sur
>>
0,1
.
4) Dresser le tableau des variations de la fonction
f
.
(On y fera apparaître les différentes limites et la valeur de
fe
)
On considère la suite
v
telle que
0
3v
et
1
,ln
n
n
n
v
nv v
1
,
ln
n
v
,
n
1
n
v
,
n
5) Montrer que
,
n
nve t
,
n
ve
,
n
t
v
,
n
.
6) Justifier que la suite
v
converge et déterminer sa limite.
Correction
1.
ln
x
x
existe si et seulement si
0x!
et
ln 0xz
.
ln
x
x
existe si et seulement si
0x!
et
1xz
.
0f
existe donc la fonction
f
est définie sur
>>@ >
0,1 1, f
@
>
1,
@
f
2. Pour
@>
0
01
ln
0,1 , 0
0ln
x
x
fx f x
xxxx
o
§·
¨¸
©¹
 o
puisque
0
lim ln
x
x
o
f
La fonction
f
est donc dérivable en 0 et
'0 0f
FONCTIONS DE CLASSE C1
10

3. La fonction
f
est de classe
1
C
sur
@>
0,1
et sur
@>
1, f
comme quotient de
fonctions de classe
1
C
GRQWOHGpQRPLQDWHXUQHV¶DQQXOHSDVVXU
@>
0,1
et sur
@>
1, f
.
 Pour établir le caractère
1
C
de la fonction
f
sur chaque
intervalle ouvert on utilise les théorèmes généraux rappelés en
début de chapitre.
@>@ >
22 2
1
1ln ln 1 1 1
0,1 1, , ' ln (ln )
ln ln
xx x
x
xfx xx
xx
uu 
  f 
0
lim ln
x
x
o
f
donc
0
1
lim 0
ln
x
x
o
et
2
0
1
lim 0
ln
x
x
o
Finalement
0
lim ' 0 ' 0 '
x
fx f f
o
continue en 0.
La fonction
f
est de classe
1
C
sur
>>
0,1
.
4.
@>@ >
22
1
ln 1 ln 1
0,1 1, , '
ln ln
xx x
x
xfx
xx
uu 
  f
est du signe de
ln 1x
:
ln 1 0 ln 1xxxe  
ln 1 0 ln 1xxxe!  ! !
La fonction
f
est dérivable donc continue en 0 :
0
lim 0 0
xfx f o
.
1
1
1
lim 1
lim
lim ln 0
x
x
x
x
fx
x
o
o
o
½
° f
¾
°
¿
1
1
1
lim 1
lim
lim ln 0
x
x
x
x
fx
x
o
o
o
½
° f
¾
°
¿
11
FONCTIONS DE CLASSE C1

ln
lim 0
x
x
x
of
(Limite usuelle)
lim
x
fx
of
 f
x
0 1 e
f
'fx
- - 0 +
fx
0
f f
f
e
5. Montrons le résultat par récurrence. On note
:
n
Pn v et
¾ Initialisation :
0
3ve t
, puisque
2.718e|
.
¾ Hérédité : on suppose que pour un
0nt
,
n
vet
et on veut montrer
que
1n
ve t
.
Si
n
vet
, alors
1nn
fv v fe e t
car la fonction
f
est croissante sur
>>
,ef
.
¾ Conclusion :
,
n
nve t
,
n
ve
,
n
t
v
,
n
6.
1
1ln
,ln ln
nn
nn nn
nn
vv
nvv vv
vv
   u
,
nn
1
n
1
v
,
n
vv
1
,
nn
1
1
0
ln 1 1 ln 0 0
ln 1 0
n
nn nnn
nn
ve
ve v v v v
ve v
t! ½
°
t t d   d
¾
°
t t! ¿
La suite
n
v
est décroissante et minorée par
e
: elle converge vers un réel
Let
.
1
ln
n
n
n
v
vv
. On passe à la limite quand
n
tend vers
f
:
ln
L
LL
car la
fonction
ln
est continue en
Let
.
On a donc
ln 0 1 ln 0 0
ln
L
LLLLLLL
L
ou
Le
.
Comme
Let
, on a
Le
: la suite
n
v
converge vers
e
.
FONCTIONS DE CLASSE C1
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Exercice 2
Soit f O¶DSSOLFDWLRQGpILQLHVXU par :
21si 0
0si 0
x
ex
fx x
x
°z
®
°
¯
1. Montrer que f est impaire et continue sur .
2. Montrer que f est de classe
1
C
sur .
3. Donner le tableau des variations de f.
4. (QGpGXLUHO¶H[LVWHQFHG¶XQHDSSOLFDWLRQUpFLSURTXHGHf impaire.
Correction
1. La fonction
f
est définie sur intervalle symétrique par rapport à 0 donc
,xx  
,
x
,
x
,
.
22
11
si 0
0 si 0
xx
ee
x
fx fx
xx
x
°  z
®
°
¯
: f est impaire
La fonction
2
1
x
xe
2
1
x
e
est continue sur comme composée et différence de
fonctions continues sur , par conséquent la fonction
f
est continue sur
@>
,0f
et sur
@>
0, f
comme quotient de fonctions continues dont le
GpQRPLQDWHXUQHV¶DQQXOHSDVVXUFKDFXQGHFHVLQWHUYDOles.
Continuité en 0 :
2
2
00
11
xx
exe x
2
2
00
1
x
x
1
xe
, on a donc
2
000
lim lim 0 0
xx
x
fx x fx x f
x
oo
2
0
x
x
0
x
x
ce qui assure la continuité de la
fonction
f
en 0.
Conclusion : la fonction
f
est continue sur
2. La fonction
2
1
x
xe
2
1
x
e
est de classe
1
C
sur comme composée et
différence de fonctions de classe
1
C
sur , par conséquent la fonction
f
est
de classe
1
C
sur
@>
,0f
et sur
@>
0, f
comme quotient de fonctions de classe
1
C
GRQWOHGpQRPLQDWHXUQHV¶DQQXOHSDVVXUFKDFXQGHFHVLQWHUYDOOHs.
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FONCTIONS DE CLASSE C1