Chapitre IV Sens de variation d`une fonction Résolution graphique d

Chapitre IV
Sens de variation d’une fonction
Résolution graphique d’inéquations
Extrait du programme :
I. Sens de variation d’une fonction
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de .
- Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels u et v de I,
Si u  v alors f ( u )  f ( v ) On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre.
- Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels u et v de I,
Si u  v alors f ( u )  f ( v ) On dit qu’une fonction décroissante inverse l’ordre.
On dit que la fonction est strictement croissante ou décroissante lorsqu’on manipule des inégalités
strictes.
- Lorsque le sens de variation de f ne varie pas sur un intervalle, on dit que la fonction f est
monotone sur cet intervalle. Elle est donc soit monotone croissante, soit monotone
décroissante.
-
Interprétation graphique :
Une fonction croissante conserve l’ordre :
pour tous réels x1 et x2 de I, f ( x1 ) et f ( x2 ) sont rangés dans le même
ordre que x1 et x2.

Une fonction décroissante inverse l’ordre :
pour tous réels x1 et x2 de I, f ( x1 ) et f ( x2 ) sont rangés dans l’ordre
contraire de x1 et x2.
II. Tableau de variation
Définition : Etudier les variations (ou le sens de variation) d’une fonction, c’est indiquer les plus
grands intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.
On résume ces propriétés dans un tableau de variation
Point-méthode 13 : Dresser le tableau de variation d’une fonction
On considère la fonction f définie sur [ − 2;5 ] et représentée par la courbe ci-
contre.
1. Décrire les variations de f
2. Dresser le tableau de variation de f
Solution :
1. Pour déterminer le sens de variation d’une fonction, on lit sur l’axe des abscisses les
intervalles sur lesquels la courbe « monte » ou « descend » quand on la parcourt de gauche à
droite.
- Croissante sur [-2;-1]
- Décroissante sur [-1;2]
- Croissante sur [2;5]
2. Un tableau de variation a 2 lignes :
 une ligne pour l’axe des abscisses
o On écrit x dans la première case
o On écrit l’ensemble de définition aux extrémités de la 2ème case, puis on indique
toutes les valeurs de x pour lesquelles il y a un changement de variations
 Une ligne pour l’axe des ordonnées
o On écrit f dans la première case
o On trace des flèches qui montent ou qui descendent en s’arrêtant sous chaque x.
On laisse de l’espace entre chaque flèche.
o Dans chacun des espaces, bien alignés avec les x de la 1ère ligne, on écrit les
images de chacun d’eux.
Ce qui donne le tableau de variation suivant :
 Ces valeurs se lisent sur l’axe des abscisses
 Ces valeurs se lisent sur l’axe des
ordonnées, ce sont les images des x
correspondants.
Point-méthode 14 : Comparer des images grâce aux variations d’une fonction
On reprendra pour cet exercice le tableau de variation trouvé dans le PM13. Lorsque cela est possible,
1. Comparer f ( 3 ) et f ( 4 )
2. Comparer f ( 1 ) et f ( 0 )
3. Comparer f ( − 1,5 ) et f ( 1 )
4. Comparer f ( − 2 ) et f ( 2 )

Solution :
1. Comparer f ( 3 ) et f ( 4 ) : la fonction f est croissante sur [3 ;4] donc elle conserve l’ordre.
3 < 4 donc f ( 3 ) < f ( 4 )
2. Comparer f ( 1 ) et f ( 0 ) : la fonction f est décroissante sur [0 ;1] (attention à l’ordre) donc
elle inverse l’ordre.
0 < 1 donc f ( 0 ) > f ( 1 )
3. Comparer f ( − 1,5 ) et f ( 1 ) : sur [-1,5 ;1] la fonction n’est pas monotone, on ne peut donc
pas comparer les images.
4. Comparer f ( − 2 ) et f ( 2 ) : sur [-2 ;2] la fonction n’est pas monotone, mais on sait que
f ( − 2 ) = 3 et f ( 2 ) = 1 par conséquent, f ( 2 ) < f ( − 2 )
III. Extremum d’une fonction
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de  et a un nombre réel de I.
 Dire que f admet un maximum sur I en a signifie que :
Pour tout nombre réel xI, f ( x ) ≤ f ( a )
Le maximum de f sur I est f ( a ).
 Dire que f admet un minimum sur I en a signifie que :
Pour tout nombre réel xI, f ( x ) ≥ f ( a )
Le minimum de f sur I est f ( a ).
Interprétation graphique :
Le maximum de f sur I est l’ordonnée du point le plus haut de la courbe représentative de f sur I.
Le minimum de f sur I est l’ordonnée du pont le plus bas de la courbe représentative de f sur I.
Point-méthode 15 : Déterminer un extremum graphiquement et algébriquement
Voici la représentation graphique de la fonction définie sur [0 ;3] par :
f ( x ) = ( x − 1 ) ² + 2
1. Déterminer graphiquement le minimum de f
2. Déterminer par le calcul le minimum de f ainsi que la valeur en laquelle il est
atteint.
Solution :
1. On repère sur la courbe le point le plus bas. Son ordonnée est le minimum
Le point ( 1;2 ) est le plus bas de la courbe, donc le minimum de f est 2, atteint
pour x = 1
2. Pour prouver algébriquement qu’un point est un minimum, il faut 2 étapes :
- Trouver un m tel que pour tout x, f ( x ) ≥ m
- Vérifier qu’il existe un a tel que f ( a ) = m, c’est-à-dire vérifier que m est bien atteint.
Pour cela, on s’aide du carré présent dans l’expression de la fonction f :
( x − 1 ) ² ≥ 0 car un carré est toujours positif
Donc ( x − 1 ) ² + 2 ≥ 2 car on ajoute 2 à chaque membre de l’inégalité
Ainsi f ( x ) ≥ 2 pour tout x de [0 ;3]

On résout maintenant l’équation f ( x ) = 2 pour savoir si 2 est bien atteint :
f ( x ) = 2
 ( x − 1 ) ² + 2 = 2
 ( x − 1 ) ² = 0
 x − 1 = 0
 x = 1
Ainsi f ( 1 ) = 2 et pour tout xde [0 ;3] , f ( x ) ≥ 2 donc 2 est le minimum de f sur [0 ;3] atteint pour
x = 1
IV. Résolution graphique d’inéquation
Nous avons appris dans le chapitre II comment résoudre graphiquement une équation. En appliquant
une méthode très similaire, on peut aussi résoudre une inéquation graphiquement. En règle générale,
l’ensemble solution s’écrit sous forme d’intervalle.
Point-méthode 16 : Résoudre graphiquement une inéquation
Les courbes cf et cg ci-contre représentent deux
fonctions f et g définies sur [ − 3;6 ].
1. Résoudre graphiquement l’inéquation : f ( x ) < 2
2. Résoudre graphiquement f ( x ) ≥ g ( x )
Solution :
1. Pour résoudre une inéquation, on procède comme
pour une équation :

- On se place en 2 sur l’axe des ordonnées, on repère les abscisses des points
d’intersection avec la courbe : ici − 2 et 3.
- On regarde toute la partie de la courbe qui est SOUS cette droite (car on a
« inférieure »).
- S’il y a 2 morceaux (ou plus), alors l’ensemble solution sera sous la forme de 2
intervalles (ou plus)
- On fera attention aux crochets en fonction de l’inégalité stricte ou large.
Ici f ( x ) < 2 a pour solution : s = [-3 ;-2[ ∪ ]3 ; 6]
Les crochets sont fermés en − 3 et en 6 car on est bien en dessous de la droite y = 2 pour ces abscisses,
mais on les ouvre en − 2 et 3 car on est sur la droite, et l’inégalité est stricte.
2. Pour comparer 2 fonctions,
- on repère les abscisses de leurs points d’intersection
- on regarde le ou les intervalles sur le(s)quel(s) la courbe représentant f est au-dessus
(car supérieure) de celle représentant g.
- on est vigilant sur le nombre d’intervalles et sur les crochets.
Ici f ( x ) ≥ g ( x ) a pour solution : s = [-1 ; 3] l’inégalité est large, donc les crochets sont
fermés.