Dans tout le chapitre, le plan est muni d`un repère (O, ®i, ®j)

1ère STG
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1) Définitions
Fonction : D est une partie de l’ensemble  des réels.
Définir une fonction sur D, c’est associer à chaque réel x de D, un réel et un seul, appelé
l’image de x.
D est appelé l’ensemble (ou domaine) de définition de la fonction : c’est l’ensemble des
nombres pour lesquels la fonction existe.
Notations :
Une fonction est généralement désignée par l’une des lettres f, g, h …
L’image d’un réel x de D par la fonction f est noté f(x), on lit: « f de x ».
Au lieu d’écrire « f est la fonction qui à x associe f(x) », on peut écrire : f : x  f(x) .
Exemple :
f est la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; + [ par f(x) = x – 2 x².
L’ensemble de définition de cette fonction est [ 0 ; + [ et pour calculer l’image d’un nombre
de cet ensemble, on procède ainsi :
image de 0 : f (0) = 0 – 2 0² = 0
7
7 7
7
7
image de : f
= –2
= –2
= – =
4
4 4
4
4
Antécédent :Soit k un nombre réel, on appelle antécédent de k, tout nombre x de D tel que
f(x)=k.
Remarque : un nombre donné peut être l’image d’aucun nombre, d’un ou de plusieurs : un
nombre donné peut donc avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
Exemple :
f est la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; + [ par f(x) = x – 2 x².
f(0,5) = 0 = f(0) donc 0 a au moins deux antécédents : 0 et 0,5.
Représentation graphique : f est une fonction définie sur D.
Dans un repère (O, i , j ) la courbe représentative C de la fonction f, est l’ensemble des
points de coordonnées (x ; y) tels que :
x D et y = f(x).
On dit que la courbe C a pour équation y = f(x) dans ce repère.
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2) Sens de variation
f est une fonction définie sur un intervalle I contenu dans D.
Dire que f est strictement croissante sur I
signifie que pour tous réels a et b de I :
si a < b alors f(a) < f(b)
(f conserve l’ordre)
Sa représentation graphique sur I
« monte ».
Dire que f est strictement décroissante sur I
signifie que pour tous réels a et b de I :
si a < b alors f(a) > f(b).
(f inverse l’ordre)
Sa représentation graphique sur I
« descend ».
Exemples :
Les courbes C1 et C2 représentent respectivement des fonctions
f et g définie sur [-2 ; 4].
D’après l’allure de la courbe C1, pour tous réels u et v de [-2 ; 4],
si u v alors f(u) f(v).
on dit que f est strictement croissante sur [-2 ; 4]
graphiquement : « La courbe monte ».
f(v)
f(u)
-2
O
u
v
4
D’après l’allure de la courbe C2, pour tous réels u et v de [-2 ; 4],
si u v alors g(u) g(v).
g est strictement décroissante sur [-2 ; 4].
graphiquement : « la courbe descend ».
3) Tableau de variation
Exemple : Soit la fonction f définie sur [-5 ; 3] par sa courbe :
3
1
-4
3
-1 O
-5
1
-1
Cette fonction est
- strictement décroissante sur [ –5 ; –4 ] et sur [ –1 ; 3 ].
- strictement croissante sur [ –4 ; –1 ] ;
On résume ainsi les informations dans un tableau de variations :
x
-5
4
-4
-1
3
3
f(x)
-1
-1
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4) Extremum (minimum, maximum)
f est une fonction définie sur un intervalle I contenu dans D.
Dire que f admet un minimum f( ) sur I
signifie que pour tout réel x de I :
f( ) f(x)
Dire que f admet un maximum f( ) sur I
signifie que pour tout réel x de I :
f( ) ≥ f(x)
Exemple : la fonction du paragraphe précédent admet un minimum : –1 atteint deux fois :
lorsque x = – 4 et lorsque x = 3.
Elle admet aussi un maximum : 4 atteint en x = – 5.
5) Résolution de l'équation f(x) = k
f est une fonction définie sur un intervalle I contenu dans D.
k est un nombre réel donné
Résoudre l'équation f(x) = k dans I revient à chercher les nombres réels x appartenant à I qui
ont pour image k par f, ( ou encore les antécédents de k).
Graphiquement, il suffit donc de chercher les points qui ont k comme ordonnée sur la courbe
représentative de f, les solutions sont alors les abscisses de ces points.
Dans l’intervalle [a ; b], l’équation f(x) = k a deux solutions : x =
1
et x =
2
Dans l’intervalle [b ; c], l’équation f(x) = k n’a pas de solution.
Existence et unicité de la solution
Si f est strictement croissante sur [a ; b], et si k appartient à l’intervalle [f(a) ; f(b)] alors
l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a ; b].
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Si f est strictement décroissante sur [a ; b], et si k appartient à l’intervalle [f(b) ; f(a)] alors
l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a ; b].
6) Résolution de l' inéquation f(x) > k
f est une fonction définie sur un intervalle I contenu dans D.
k est un nombre réel donné
Résoudre l'inéquation f(x) > k revient à chercher les nombres réels x qui ont une image
supérieure à k.
Il suffit donc de chercher les points de la courbe représentative de f qui ont une ordonnée
supérieure à k, c'est à dire les points de la courbe représentative de f qui sont au dessus de la
droite d'équation y = k, les solutions sont alors les abscisses de ces points.
Résoudre l'inéquation f(x) < k revient à chercher les nombres réels x qui ont une image
inférieure à k.
Il suffit donc de chercher les points de la courbe représentative de f qui ont une ordonnée
inférieure à k, c'est à dire les points de la courbe représentative de f qui sont en dessous de la
droite d'équation y = k, les solutions sont alors les abscisses de ces points.
L’ensemble des solutions dans [a ; d] de l’inéquation f(x) < k est [a ; d]
[c ; d]
L’ensemble des solutions dans [a ; d] de l’inéquation f(x) > k est ]b ; c[
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Application : signe de f(x) :
Pour déterminer le signe de f(x), selon les valeurs de x dans I, on résout : dans I : f(x) = 0 ;
f(x) > 0 et f(x) < 0.
Les résultats sont souvent reportés dans un tableau de signe.
Exemple :
Par lecture graphique, on voit que dans [1 ; 3] :
f(x) = 0 a pour solutions : – 1, 0 et 2 (abscisses des points d’intersection de la courbe
et de l’axe des abscisses)
L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) < 0 est ]0 ; 2[ (abscisses des points
situés au dessus de l’axe des abscisses).
L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) > 0 est ]–1 ; 0[
points situés au dessus de l’axe des abscisses).
]2; 3[ (abscisses des
Tableau de signe de la fonction f sur [1 ; 3] :
x
Signe de f(x)
–1
0
+
0
0
–
2
0
3
+
5