SECOND DEGRE.

SECOND DEGRE.
Une fonction trinôme du second degré est une fonction f définie sur par f(x) = ax² + bx + c où a, b, c sont
des réels avec a non nul. = b² ‒ 4ac est le discriminant du trinôme f(x).
Si > 0 :
L équation f(x) = 0 a deux solutions : x1 = b2a et x2 = b2a
forme développée de f(x) : f(x) = ax² + bx + c
forme canonique de f(x) : f(x) = a(x + b
2a )² +
forme factorisée de f(x) : f(x) = a(x ‒ x1)(x ‒ x2)
Signe de f(x) :
x
‒ x1 x2 +
f(x)
Signe de a
Signe opposé à celui de a
Signe de a
Courbe de f : Si a > 0 Si a < 0
Si = 0 :
L équation f(x) = 0 a une solutions : x0 = ‒ b
2a .
forme développée de f(x) : f(x) = ax² + bx + c
forme canonique de f(x) : f(x) = a(x + b
2a )² +
forme factorisée de f(x) : f(x) = a(x ‒ x0)²
Signe de f(x) :
x
‒ x0 +
f(x)
Signe de a
Signe de a
Courbe de f : Si a > 0 Si a < 0
Si < 0 :
L équation f(x) = 0 n a pas de solution.
forme développée de f(x) : f(x) = ax² + bx + c
forme canonique de f(x) : f(x) = a(x + b
2a )² +
forme factorisée de f(x) : pas de forme factorisée
Signe de f(x) :
x
‒ +
f(x)
Signe de a
Courbe de f : Si a > 0 Si a < 0
-1-2-3
-1
-2
-3
0 1
1
x
y
2 3 4-1-2-3-4
2
3
-1
-2
0 1
1
x
y
2 3
2
3
0 1
1
x
y
2-1
-1
-2
0 1
1
x
y
-1
2
0 1
1
x
y
-1-2
-1
0 1
1
x
y

FONCTIONS.
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous réels a et b de I tels que a b, f(a)f(b).
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous réels a et b de I tels que a b, f(a)f(b).
Soit f une fonction et a un point de son ensemble de définition. Dire que la fonction f est dérivable en a
signifie que lorsque h tend vers 0, le taux d accroissement f(a h)f(a)
h tend vers un nombre L: Cette
limite s’appelle le nombre dérivé de f en a et se note f (a) : f (a) = lim
h0 f(a h)f(a)
h
Formules de dérivation :
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
f définie par f(x) =
f dérivable sur
fonction dérivée : f’(x) =
k, k
(fonction constante)
0
x
1
mx p (fonction affine)
m
x
+*
1
2x
xn, n ϵ .
nxn1
1
x
*
1
x²
u + v
I
u v
uv
I
u v uv
ku où k est un réel
I
ku
1
u
I si u ne s annule pas
sur I
u
u²
u
v
I si v ne s annule pas
sur I
u v uv
v²
La tangente à la courbe de f au point d abscisse a a pour équation y f (x)(x a)f(a).
Pour déterminer la position relative des courbes de deux fonctions f et g :
 on calcule f(x)g(x) et on l écrit sous forme de produit ou de quotient d expressions de la forme ax b
ou ax²bx c (factorisation, mise au même dénominateur).
 on construit le tableau de signes de f(x)g(x)
 on conclut avec les positions relatives des deux courbes :
si f(x)g(x) 0 sur un intervalle I : la courbe de f est au-dessus de celle de g sur I.
si f(x)g(x) 0 sur un intervalle I : la courbe de f est en dessous de celle de g sur I.
Pour déterminer le sens de variation d une fonction f sur son ensemble de définition :
 on détermine f (x) où f est la fonction dérive de f.
 on écrit f (x) sous forme de produit ou de quotient d expressions de la forme ax b ou ax²bx c
(factorisation, mise au même dénominateur).
 on construit le tableau de signes de f (x).
 on complète la dernière ligne du tableau avec les variations de f :
si f (x) 0 sur un intervalle I, f est strictement croissante sur I.
si f (x) 0 sur un intervalle I, f est strictement décroissante sur I.

SUITES
Une suite peut être définie de façon explicite par unf(n) (on a directement un en fonction de n) ou par
récurrence par la donnée d un terme et par un1f( ) un (on calcule un terme en utilisant le précédent).
Calcul de termes (par exemple calcul de u4) :
Suite définie de façon explicite par unf(n) : on remplace n par 4 pour calculer u4.
Suite définie par récurrence par u0 et un1f( ) un : on calcule successivement u1 ; u2 ; u3 et u4 en remplaçant
un par le dernier terme trouvé.
Etude des variations d une suite :
Méthode 1 : on étudie le signe de un1un :
si pour tout entier n, un1un 0, alors la suite u est croissante
si pour tout entier n, un1un 0, alors la suite u est décroissante
Méthode 2 : on utilise la fonction f définie sur [0 ; + [ telle que unf(n) :
si f est croissante sur [0 ; + [, alors la suite u est croissante.
si f est décroissante sur [0 ; + [, alors la suite u est décroissante.
Méthode 3 : si tous les termes de la suite sont positifs :
si pour tout entier n un1
un
> 1 alors la suite u est croissante
si pour tout entier n un1
un
< 1 alors la suite u est décroissante
SUITES ARITHMETIQUES
Une suite ( ) un est arithmétique s il existe un réel r tel que, pour tout n de , un1un = r : on passe d un
terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r.
Calcul d un terme : pour tous entiers naturels n et p : unu0nr et unup(n p)r.
Sommes de termes : pour tous entiers naturels n et p
u0u1... un (n1)( )
u0un
2
upup1... un(nombre de termes) premier terme dernier terme
2
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n1)
2 .
Montrer qu une suite est arithmétique : pour démontrer qu une suite est arithmétique, on montre que
un1un est une constante (indépendante de n).
SUITES GEOMETRIQUES
Une suite ( ) un est géométrique s il existe un réel q tel que, pour tout n de , un1
un
q : on passe d un terme
au suivant en multipliant toujours par le même nombre q.
Calcul d un terme : pour tous entiers naturels n et p : unu0 qn et unup qn p.
Sommes de termes pour tous entiers naturels n et p :
u0u1... unu0 1qn1
1q
upup1... unpremier terme 1qnombre de termes
1q
1 + q + q² + ... + qn = 1qn1
1q
Montrer qu une suite est géométrique : pour démontrer qu une suite est géométrique, on montre que
un1
un
est une constante (indépendante de n).

VECTEURS.
Coordonnées d un vecteur : Dans un repère, si A( ) xAyA et B( ) xByB, alors AB 
xBxA
yByA.
Colinéarité : Les vecteurs u(x y) et v(x y ) sont colinéaires si et seulement si xy yx 0.
Relation de Chasles : pour tous points A, B et C du plan, on a AB BC AC.
DROITES
Toute droite a une équation de la forme ax by c0, où a, b et c sont des réels. C est une équation
cartésienne de la droite.
Méthode Pour déterminer une équation cartésienne d une droite dont on connaît deux points A et B, on
exprime le fait qu un point M(x y) appartient à (AB) si et seulement si les vecteurs AB et AM sont
colinéaires puis on utilise la formule xy yx 0.
Un vecteur directeur d une droite est un vecteur non nul dont la direction est celle de la droite.
Soit D une droite d équation ax by c0, où a, b et c sont des réels ; le vecteur u
b
a est un vecteur
directeur de la droite D.
Méthode : pour déterminer si deux droites sont parallèles, on peut chercher un vecteur directeur de chacune
de ces droites et chercher si ces vecteurs sont colinéaires.
Méthode Pour déterminer une équation cartésienne d une droite dont on connaît un point A et un vecteur
directeur u
-b
a, on écrit que la droite a une équation de la forme ax by c0 et on détermine c en
utilisant les coordonnées du point A.