SECOND DEGRE.
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SECOND DEGRE. Une fonction trinôme du second degré est une fonction f définie sur par f(x) = ax² + bx + c où a, b, c sont des réels avec a non nul. = b² ‒ 4ac est le discriminant du trinôme f(x). Si > 0 : L équation f(x) = 0 a deux solutions : x1 = b et x2 = b 2a 2a forme développée de f(x) : f(x) = ax² + bx + c forme canonique de f(x) : f(x) = a(x + b )² + 2a forme factorisée de f(x) : f(x) = a(x ‒ x1)(x ‒ x2) Signe de f(x) : x ‒ x1 x2 + Signe de a Signe opposé à celui de a Signe de a f(x) Courbe de f : Si a > 0 Si a < 0 y y 3 1 2 1 -3 -2 -1 0 1 x -1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -2 -3 Si =0: L équation f(x) = 0 a une solutions : x0 = ‒ b . 2a forme développée de f(x) : f(x) = ax² + bx + c forme canonique de f(x) : f(x) = a(x + b )² + 2a forme factorisée de f(x) : f(x) = a(x ‒ x0)² Signe de f(x) : x ‒ Signe de a f(x) Courbe de f : Si a > 0 x0 + Signe de a Si a < 0 1 y 3 y -1 2 0 1 2 x -1 1 0 1 2 -2 3x Si < 0 : L équation f(x) = 0 n a pas de solution. forme développée de f(x) : f(x) = ax² + bx + c forme canonique de f(x) : f(x) = a(x + b )² + 2a forme factorisée de f(x) : pas de forme factorisée Signe de f(x) : x ‒ Signe de a f(x) Courbe de f : Si a > 0 + 1 Si a < 0 y y 2 -2 -1 0 1 -1 -1 0 1 x 1 x 4x FONCTIONS. Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous réels a et b de I tels que a b, f(a) f(b). Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous réels a et b de I tels que a b, f(a) f(b). Soit f une fonction et a un point de son ensemble de définition. Dire que la fonction f est dérivable en a signifie que lorsque h tend vers 0, le taux d accroissement f(a h) f(a) tend vers un nombre L: Cette h limite s’appelle le nombre dérivé de f en a et se note f (a) : f (a) = lim f(a h) f(a) h 0 h Formules de dérivation : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. f définie par f(x) = f dérivable sur k, k (fonction constante) x mx p (fonction affine) +* x xn, n ϵ . 1 x u+v uv ku où k est un réel 1 u u v * I I I I si u ne s annule pas sur I I si v ne s annule pas sur I fonction dérivée : f’(x) = 0 1 m 1 2 x nx n 1 1 x² u v u v uv ku u u² u v uv v² La tangente à la courbe de f au point d abscisse a a pour équation y f (x)(x a) f(a). Pour déterminer la position relative des courbes de deux fonctions f et g : on calcule f(x) g(x) et on l écrit sous forme de produit ou de quotient d expressions de la forme ax ou ax² bx c (factorisation, mise au même dénominateur). on construit le tableau de signes de f(x) g(x) on conclut avec les positions relatives des deux courbes : si f(x) g(x) 0 sur un intervalle I : la courbe de f est au-dessus de celle de g sur I. si f(x) g(x) 0 sur un intervalle I : la courbe de f est en dessous de celle de g sur I. Pour déterminer le sens de variation d une fonction f sur son ensemble de définition : on détermine f (x) où f est la fonction dérive de f. on écrit f (x) sous forme de produit ou de quotient d expressions de la forme ax b ou ax² bx (factorisation, mise au même dénominateur). on construit le tableau de signes de f (x). on complète la dernière ligne du tableau avec les variations de f : si f (x) 0 sur un intervalle I, f est strictement croissante sur I. si f (x) 0 sur un intervalle I, f est strictement décroissante sur I. c b SUITES Une suite peut être définie de façon explicite par un f(n) (on a directement un en fonction de n) ou par récurrence par la donnée d un terme et par un 1 f ( un ) (on calcule un terme en utilisant le précédent). Calcul de termes (par exemple calcul de u4) : Suite définie de façon explicite par un f(n) : on remplace n par 4 pour calculer u4. Suite définie par récurrence par u0 et un 1 f ( un ) : on calcule successivement u1 ; u2 ; u3 et u4 en remplaçant un par le dernier terme trouvé. Etude des variations d une suite : Méthode 1 : on étudie le signe de un 1 un : si pour tout entier n, un 1 un 0, alors la suite u est croissante si pour tout entier n, un 1 un 0, alors la suite u est décroissante Méthode 2 : on utilise la fonction f définie sur [0 ; + [ telle que un si f est croissante sur [0 ; + [, alors la suite u est croissante. si f est décroissante sur [0 ; + [, alors la suite u est décroissante. Méthode 3 : si tous les termes de la suite sont positifs : u si pour tout entier n n 1 > 1 alors la suite u est croissante un un 1 si pour tout entier n < 1 alors la suite u est décroissante un f(n) : SUITES ARITHMETIQUES Une suite ( un ) est arithmétique s il existe un réel r tel que, pour tout n de , un 1 un = r : on passe d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r. Calcul d un terme : pour tous entiers naturels n et p : un u0 nr et un up (n p)r. Sommes de termes : pour tous entiers naturels n et p (n 1)( u0 un ) u0 u1 ... un 2 up up 1 ... un (nombre de termes) 1 + 2 + 3 + ... + n = pre mier terme der nier terme 2 n(n 1) . 2 Montrer qu une suite est arithmétique : pour démontrer qu une suite est arithmétique, on montre que un 1 un est une constante (indépendante de n). SUITES GEOMETRIQUES Une suite ( un ) est géométrique s il existe un réel q tel que, pour tout n de , au suivant en multipliant toujours par le même nombre q. Calcul d un terme : pour tous entiers naturels n et p : un u0 Sommes de termes pour tous entiers naturels n et p : u0 u1 ... un up up 1 ... un u0 1 qn 1 q q n et un up un 1 un q : on passe d un terme q n p. 1 premier terme 1 q nombre de termes 1 q n 1 1 + q + q² + ... + q n = 1 q 1 q Montrer qu une suite est géométrique : pour démontrer qu une suite est géométrique, on montre que un 1 est une constante (indépendante de n). un VECTEURS. x B xA . Coordonnées d un vecteur : Dans un repère, si A ( xA yA ) et B ( xB yB ) , alors AB yB yA Colinéarité : Les vecteurs u (x y) et v (x y ) sont colinéaires si et seulement si xy yx 0. Relation de Chasles : pour tous points A, B et C du plan, on a AB BC AC . DROITES Toute droite a une équation de la forme ax cartésienne de la droite. by c 0, où a, b et c sont des réels. C est une équation Méthode Pour déterminer une équation cartésienne d une droite dont on connaît deux points A et B, on exprime le fait qu un point M(x y) appartient à (AB) si et seulement si les vecteurs AB et AM sont colinéaires puis on utilise la formule xy yx 0. Un vecteur directeur d une droite est un vecteur non nul dont la direction est celle de la droite. b Soit D une droite d équation ax by c 0, où a, b et c sont des réels ; le vecteur u est un vecteur a directeur de la droite D. Méthode : pour déterminer si deux droites sont parallèles, on peut chercher un vecteur directeur de chacune de ces droites et chercher si ces vecteurs sont colinéaires. Méthode Pour déterminer une équation cartésienne d une droite dont on connaît un point A et un vecteur -b directeur u , on écrit que la droite a une équation de la forme ax by c 0 et on détermine c en a utilisant les coordonnées du point A.
